偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如,函数 ≠ f(,y 在点P(0.0)处有f(0,0)=0及f(00)=0,所以 x:△ △-[fx(0,0)·Ax+f(0,0)·△y √△x)2+(△y 如果考虑点P(x+Ax,y+△y)沿着直线y=x趋于P(00),则 Ax·△ (△n3+(4y)2△x4y4xAx1 (△x)2+(△y)2(Ax)2+(△x)22 它不能随ρ→0而趋于0,这表示p→0时, A-[(0.0)·Ax+f(0.0)·△y] 并不是较p高阶的无穷小,因此函数在点P(0,0)处的全微分并不存在,即函数在点P(0,0) 处是不可微分的 由定理1及这个例子可知,偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是, 如果再假定函数的各个偏导数连续,则可以证明函数是可微分的,即有下面定理。 定理2(充分条件)如果函数=f(x,y)的偏导费a 在点P(x,y)连续,则函 数在该点可微分 证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此),所以假定 偏导数在点P(x,y)连续,就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思(以后凡说到 偏导数在某一点连续均应如此理解)。设点P(x+Ax,y+△y)为这邻域内任意一点,考察函 数的全增量 Az=f(x+Ax,y+ Ay)-f(x, y) =f(x+Ax, y+Ay)-f(x,y+Ay]+f(x,y+Ay)-f(,y)l 在第一个方括号内的表达式,由于y+△y不变,因而可以看作是x的一元函数
偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数 z = f (x, y) = + = + + 0, 0 , 0, 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy 在点 P(0,0) 处有 fx(0,0) = 0 及 fy(0,0) = 0 ，所以 z −[ fx(0,0)x + fy(0,0)y] = 2 2 ( ) ( ) x y x y + , 如果考虑点 P'(x + x, y + y) 沿着直线 y = x 趋于 P(0,0) ，则 2 2 ( ) ( ) x y x y + = 2 2 ( ) ( ) x y x y + = 2 2 ( ) ( ) x x x x + = 2 1 , 它不能随 → 0 而趋于 0，这表示 → 0 时， z −[ fx(0,0)x + fy(0,0)y] 并不是较 高阶的无穷小，因此函数在点 P(0,0) 处的全微分并不存在，即函数在点 P(0,0) 处是不可微分的。 由定理 1 及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是， 如果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理。 定理 2（充分条件） 如果函数 z = f (x, y) 的偏导数 x z 、 y z 在点 P(x, y) 连续，则函 数在该点可微分。 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定 偏导数在点 P(x, y) 连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到 偏导数在某一点连续均应如此理解）。设点 P(x + x, y + y) 为这邻域内任意一点，考察函 数的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) − f (x, y)]。 在第一个方括号内的表达式，由于 y + y 不变，因而可以看作是 x 的一元函数
f(x,y+Δy)的增量。于是,应用拉格郎日中值定理,得到 A=∫(x+Ax,y+△y)-f(x,y+△y)Ax f(x+O1Ax,y+△y)(0<61<1) 又假设,f(x,y)在点P(x,y)连续,所以上式可写为 f(x+Ax,y+△y)-f(x,y+△y) =f(x,y)△x+Ex, 其中1为Ax、△y的函数,且当Ax→>0,Δy→0时,E1→0 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 ∫(x,y+Δy)-f(x,y)=f(x,y)4y+E2y 其中E2为△y的函数,且当△y→0时,E2→0 由(4)、(5)式可见,在偏导数连续的假定下,全增量A可以表示为 f(x, y)Ar+f(x, y)Ay+ElAx+E2Ay 容易看出 8.Ax+a E|+|E2 它是随着Δx→>0,Δy→>0即p→>0而趋于零。 这就证明了二=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的。 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件,可以完全类似的推广 到三元和三元以上的多元函数 习惯上,我们将自变量的增量△x、Ay分别记作本、,并分别称为自变量x、y的 微分。这样,函数z=f(x,y)的全微分就可以写为 如果三元函数u=p(x,y,=)可以微分,那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和
f (x, y + y) 的增量。于是，应用拉格郎日中值定理，得到 z = f (x + x, y + y) − f (x, y + y)x = fx(x +1x, y + y) 1 (0 1) 又假设， fx(x, y) 在点 P(x, y) 连续，所以上式可写为 f (x + x, y + y) − f (x, y + y) = fx(x, y)x + 1x ， （4） 其中 1 为 x 、 y 的函数，且当 x →0， y → 0 时， 1 →0。 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 f (x, y + y) − f (x, y) = fy(x, y)y + 2y ， （5） 其中 2 为 y 的函数，且当 y → 0 时， 2 →0 。 由（4）、（5）式可见，在偏导数连续的假定下，全增量 z 可以表示为 z = fx(x, y)x + fy(x, y)y + 1x + 2y 。 （6） 容易看出 | x + y 1 2 | | 1 | + | 2 | ， 它是随着 x →0， y → 0 即 → 0 而趋于零。 这就证明了 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 是可微分的。 以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广 到三元和三元以上的多元函数。 习惯上，我们将自变量的增量 x 、y 分别记作 dx、dy ，并分别称为自变量 x、y 的 微分。这样，函数 z = f (x, y) 的全微分就可以写为 dz = x z dx + y z dy . (7) 如果三元函数 u = (x, y,z) 可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， 即