第七章空间解析几何与向量代数 第一节空间直角坐标系 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。 教学重点:1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点:空间思想的建立 教学内容: 空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维) 如图7-1,其符合右手规则。即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以一角度 转向正向y轴时,大拇指的指向就是轴的正向。 2.间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x轴、y轴、二轴,坐标面分别为 oy面、yOz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7-2所示 图7-1右手规则演示图图7-2空间直角坐标系图图7-3空间两点M1M2的距离图 3.空间点M(x,y,)的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应 起来 注意:特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点 b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法 4.空间两点间的距离。若M1(x1,y1,=1)、M2(x2,y2,=2)为空间任意两点,则M1M2
第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意 义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－1，其符合右手规则。即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以 2 角度 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向。 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为： x 轴、 y 轴、 z 轴，坐标面分别为 xoy 面、 yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图 7－2 所示。 图 7－1 右手规则演示图 图 7－2 空间直角坐标系图 图 7－3 空间两点 M1M2 的距离图 3．空间点 M (x, y,z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应 起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。 4．空间两点间的距离。若 ( , , ) 1 1 1 1 M x y z 、 ( , , ) 2 2 2 2 M x y z 为空间任意两点，则 M1M2
的距离(见图7-3),利用直角三角形勾股定理为: d2=|MM2}2=|MN2+|NM2 MP +pN+NM2I 而 M, P=2-x PN=Iv2 M2|=12- 所以 d=M,M2=V(x2-x) 特殊地:若两点分别为M(x,y,z),o(0,0.0) d=oM=√x2+y2+2 例1:求证以M(431)、M2(72)、M3(523)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明:|M1M1=(4-7)2+(3-1)2+(1-2)2=14 M2M2=(5-72+(2-1)2+(3-2)2=6 M3M1F2=(5-4)2+(2-32+(3-1)2=6 由于M2Ml=|M3M|,原结论成立。 例2:设P在x轴上,它到P(0,√2,3)的距离为到点P(O,1-1)的距离的两倍,求点P的坐 标 解:因为P在x轴上,设P点坐标为(x,00) P=x2+(2)+32=√2+11p|=x2++1)+1=√x+2 PR=2PPI ±1 所求点为:(,0,0),(-1,00) 小结:空间直角坐标系(轴、面、卦限) 空间两点间距离公式 作业
的距离（见图 7－3），利用直角三角形勾股定理为： 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 M p pN NM d M M M N NM = + + = = + 而 1 2 1 M P = x − x 2 1 PN = y − y 2 2 1 NM = z − z 所以 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 d = M M = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 特殊地：若两点分别为 M (x, y,z) ，o(0,0,0) 2 2 2 d = oM = x + y + z 例 1：求证以 (4,3,1) M1 、 (7,1,2) M2 、 (5,2,3) M3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: (4 7) (3 1) (1 2) 14 2 2 2 2 M1M 2 = − + − + − = (5 7) (2 1) (3 2) 6 2 2 2 2 M 2M3 = − + − + − = (5 4) (2 3) (3 1) 6 2 2 2 2 M3M1 = − + − + − = 由于 M2M3 = M3M1 ，原结论成立。 例 2：设 P 在 x 轴上，它到 (0, 2,3) P1 的距离为到点 (0,1, 1) P2 − 的距离的两倍，求点 P 的坐 标。 解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 (x,0,0) ( 2) 3 11 2 2 2 2 PP1 = x + + = x + ( 1) 1 2 2 2 2 2 PP2 = x + − + = x + PP1 = 2PP2 11 2 2 2 2 x + = x + x = 1 所求点为： (1,0,0)， (−1,0,0) 小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限） 空间两点间距离公式 作业：
第二节向量及其运算 教学目的:使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。 教学重点:1.向量的概念 2.向量的运算 教学难点:向量平行与垂直的关系 教学内容: 向量的概念 1.向量:既有大小,又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向 量的大小,其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量) 2.量的表示方法有:a、i、F、OM等等 3.向量相等a=b:如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全 重合的向量) 4.的模:向量的大小,记为,、pV 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5.量平行a∥b:两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平 6.负向量:大小相等但方向相反的向量,记为-a 二、向量的运算 1.加减法a+b=c:加法运算规律:平行四边形法则(有 时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换率和结合率见图 7-4 图7-4加法运算图 2.a-b=c即a+(-b)=c 3.向量与数的乘法Aa:设是一个数,向量a与A的乘积Aa规定为 (1)λ>0时,M与a同向,|aa=A|a (2)λ=0时, 0 (3)A<0时,与a反向,|nHA‖al
第二节 向量及其运算 教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.向量的概念 2.向量的运算 教学难点：向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、 i 、 F 、 OM 等等。 3． 向量相等 a = b：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为 a 、 OM 。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平 行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为−a 二、向量的运算 1．加减法 a + b = c ：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图 7－4 图 7－4 加法运算图 2． a −b = c 即 a + (−b) = c 3．向量与数的乘法 a ：设 是一个数，向量 a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0 时， a 与 a 同向， | a |= | a | (2) = 0 时， a = 0 (3) 0 时， a 与 a 反向， | a |=| || a | a b c
其满足的运算规律有:结合率、分配率。设a表示与非零向量a同方向的单位向量,那么 定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必 要条件是:存在唯一的实数A,使b=Aa 例1:在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b,试用a 和b表示向量MA、MB、MC和MD,这里M是平行四边 形对角线的交点。(见图7-5) 图7-4 解:a+b=AC=2AM,于是MA=-(a+b) 2*b 由于MC=-MA,于是MC=-(a 又由于-a+b=BD=2MD,于是Ml 由于MB=-MD,于是MB=-(b-a) 小结:本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自由 向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算 作业:作业卡P72~P73
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 0 a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a a a 0 = 定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于 a 的充分必 要条件是：存在唯一的实数λ，使 b＝a 例 1：在平行四边形 ABCD 中，设 AB = a ，AD = b ，试用 a 和 b 表示向量 MA、MB 、MC 和 MD ，这里 M 是平行四边 形对角线的交点。（见图 7－5） 图 7－4 解： → → a + b = AC = 2 AM ，于是 ( ) 2 1 = − a + b → MA 由于 → → MC = − MA ， 于是 ( ) 2 1 = a + b → MC 又由于 → → − a + b = BD = 2MD ，于是 ( ) 2 1 = b − a → MD 由于 → → MB = − MD ， 于是 ( ) 2 1 = − b − a → MB 小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由 向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。 作业：作业卡 P72~P73
第三节向量的坐标 教学目的:进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点:1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点:1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学内容 向量在轴上的投影 1.几个概念 (1)轴上有向线段的值:设有一轴,AB是轴u上的有向线段,如果数λ满足 =,且当AB与轴同向时是正的,当AB与轴n反向时是负的,那么数叫 做轴u上有向线段AB的值,记做AB,即A=AB。设e是与u轴同方向的单位向量,则 Ab=de (2)设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有AC=AB+B (3)两向量夹角的概念:设有两个非零向量a和b,任取空间一点O,作O4=a OB=b,规定不超过z的∠OB称为向量a和b的夹角,记为(b) (4)空间一点A在轴u上的投影:通过点A作轴的垂直平面,该平面与轴的交点A 叫做点A在轴上的投影。 (5)向量AB在轴l上的投影:设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别 为点A和B,那么轴上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影,记做 Pr ju ab。 2.投影定理 性质1:向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角q的余弦 Pr i AB=Ab o 性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
第三节 向量的坐标 教学目的：进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。 教学重点：1.向量的坐标表示式 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学难点：1.向量的坐标表示 2.向量的模与方向余弦的坐标表示式 教学内容： 一、向量在轴上的投影 1．几个概念 (1) 轴上有向线段的值：设有一轴 u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数 满足 = AB ，且当 AB 与轴 u 同向时 是正的，当 AB 与轴 u 反向时 是负的，那么数 叫 做轴 u 上有向线段 AB 的值，记做 AB，即 = AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，则 AB = e (2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 AC = AB + BC (3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和 b，任取空间一点 O，作 OA = a ， OB = b，规定不超过 的 AOB 称为向量 a 和 b 的夹角，记为 (a,b) (4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影：通过点 A 作轴 u 的垂直平面，该平面与轴 u 的交点 ' A 叫做点 A 在轴 u 上的投影。 (5) 向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别 为点 ' A 和 ' B ，那么轴 u 上的有向线段的值 ' ' A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影，记做 Pr j u AB。 2．投影定理 性质 1：向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦： Pr j u AB = AB cos 性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即