limb=b →0 n→0 liman=a, limb=b n→00 n→0 VE>0,3N(6)>0,当n>N时,有 a-al< b-b< An-4= a+i(b-b)< +1b.-bl n 88 <一十 lim A= A n→0
a a, b b n n n n lim = lim = → → ( ) a a, b b n n n n lim = lim = → → 2 2 0 0 − − a a , b b , N( ) , n N , n n 当 时 有 An − A = an − a + i( bn − b ) an − a + bn − b + = 2 2 lim An A n = →
1定义 设复数列{A,∑ A=A,+A,+…+A+ n 称为复数项级数其最前n项的和 Sn=A+A2++An称为复数项级数的部分和 如{Sn}收敛于S,则称级数∑A是收敛的 以∑4=s表示此时称级数有和s n=1 如{Sn}发散,则称级数∑A是发散的
二 复数项级数 ⚫ 设复数列{An }, 称为复数项级数. 其最前n项的和 Sn=A1+A2+…+An称为复数项级数的部分和 = + ++ + = n n 1 An A1 A2 A 1 定义 如{Sn}收敛于S，则称级数 是收敛的. n=1 An 如{Sn}发散，则称级数 是发散的. n=1 An A s , s. n 以 n = 表 示 此时称级数有和 =1
级数的次 定理2级数∑A。收敛的充要条件是∑an n 和∑b。都收敛。 分析∵Sn=A1+A2+…+An =(a1+a2+…+an)+i(b1+b2+…+b) ∑ 收敛< lim sn=S=A+iB n→0 0 ∑an收敛 li im( 1+a,+∷+a →0 ∑b收敛 →1imn(b 1+b2+…+bn=B n→
2 级数的收敛条件 定理2 级数 收敛的充要条件是 和 都收敛。 n=1 An n=1 n a n=1 bn ( a a a ) i( b b b ) S A A A n n n n = + + + + + + + = + + + 1 2 1 2 1 2 收敛 n=0 An Sn S A iB n lim = = + → + + + = + + + = → → ( b b b ) B ( a a a ) A n n n n lim lim 1 2 1 2 分析 收敛 0 n n a = 收敛 0 n n b =
定理3级数∑An收敛的必要条件是 lim an=0 H=1 n→0 定理4如∑A收敛,则∑A也收敛,且有不等式 n=1 =1 ∑4|s∑A成立 n=1 n=1 分析 ∑An=∑Van2+bn2 n □→∑阳n与∑收敛 n an|≤ an2+b2,hn≤van2+6m
n=1 定理3 级数 An 收敛的必要条件是 = 0 → n n limA 定理4 A A . A , A , n n n n n n n n 成 立 如 收 敛 则 也收敛 且有不等式 = = = = 1 1 1 1 分析 n=1 2 2 1 , n n n n A a b = = + a b 1 1 n n n n = = 与 收敛 2 2 2 2 , n n n n n n a a b b a b + +