2x-x3+2x-3=0 的有理根。 这个方程的有理根只可能是±1出号+号用综合除法可以看出，除去1以外全不是它的 根，因之这个方程的有理根只有x=1. 例2证明 fx)=x3-5x+1 在有理数域上不可约。 如果f(x)可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根。但是∫(x)的有理根 只可能是士1，直接验算可知±1全不是根，因而f(x)在有理数域上不可约。 定论我曲的有，及在水解决第二个问首先我们来证明 f(x)=a x"+ax++ax+ao 是一个整系数多项式。如果有一个素数P,使得 1.p不整除an: 2.plan-l,a-2,…,a: 3.p2不整除a。 那么f(x)在有理数域上是不可约的。 证明如果∫(x)在有理数域上可约，那么由定理11，∫(x)可以分解成两个次数较低的整系 数多项式的乘积： f(x)=(b,x+b1x+…bcmx"+Cm-xm-1+…+co)(U,m<n,I+m=m） 因此 因为pa,所以p能整除b,或co。但是p2不整除a。,所以p不能同时整除b,或c。。因此 不妨假定pb但p不整除c。另一方面，因为p不整除an,所以p不整除b。假定b,b,…,b, 中第一个不能被p整除的是b。比较f(x中x的系数，得等式 as=bC。+bC+·+bC 式中a,b1,…,b都能被p整除。但是p是一个素数，所以b与c中至少有一个被p整除，这
2 2 3 0 4 3 x − x + x − = 的有理根。 这个方程的有理根只可能是 . 2 3 , 2 1 1,3, 用综合除法可以看出，除去 1 以外全不是它的 根，因之这个方程的有理根只有 x =1. 例2 证明 ( ) 5 1 3 f x = x − x + 在有理数域上不可约。 如果 f (x) 可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根。但是 f (x) 的有理根 只可能是 1。 直接验算可知 1 全不是根，因而 f (x) 在有理数域上不可约。 以上的讨论解决了我们提出的第一个问题，现在来解决第二个问题。首先我们来证明 定理 13 （艾森斯坦因 （Eisenstein） 判别法）设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 是一个整系数多项式。如果有一个素数 p, 使得 1． p 不整除 n a ； 2． 1 2 0 p an− ,an− , ,a ； 3． 2 p 不整除 0 a 那么 f (x) 在有理数域上是不可约的。 证明 如果 f (x) 在有理数域上可约，那么由定理 11，f (x) 可以分解成两个次数较低的整系 数多项式的乘积： ( ) ( )( ) 0 1 1 0 1 1 f x b x b x b c x c x c m m m m l l l = l + + + − − + + − − (l,m n,l + m = n) 因此 0 0 0 a b c ,a b c n = l m = 因为 p a0 ，所以 p 能整除 0 0 b 或c 。但是 2 p 不整除 0 a ，所以 p 不能同时整除 0 0 b 或c 。因此 不妨假定 p b0但p 不整除 0 c 。另一方面，因为 p 不整除 n a ，所以 p 不整除 l b 。假定 b b bl , , , 0 1 中第一个不能被 p 整除的是 k b 。比较 k f (x)中x 的系数，得等式 k k k k a b c b c b c = 0 + −1 1 ++ 0 式中 1 0 ak ,bk− , ,b 都能被 p 整除。但是 p 是一个素数，所以 0 b c k与 中至少有一个被 p 整除，这
是矛盾的。 根据定理13，可知对于任意的n,多项式 x”+2 在有理数域上是不可约的。由此可见，在有理数域上，存在任意次数的不可约多项式。 第二章行列式 1 解方程是代数中一个基本的问愿，特别是在中学代数中，解方程占有重要的地位。因此 这个问题是读者所熟悉的。在中学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。 这一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。这一章是引进行列式来解线 性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 在中学代数课中学过，对于二元线性方程组 ∫ax+a2x2=b (azx+azx2=b2 当二级行列式 aua0 azaz 时，该方程组有唯一解，即
是矛盾的。 根据定理 13，可知对于任意的 n ，多项式 + 2 n x 在有理数域上是不可约的。由此可见，在有理数域上，存在任意次数的不可约多项式。 第二章 行 列 式 1 引 言 解方程是代数中一个基本的问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要的地位。因此 这个问题是读者所熟悉的。在中学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。 这一章主要地就是讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。这一章是引进行列式来解线 性方程组，而下一章则在更一般的情况下来讨论解线性方程组的问题。 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容。 在中学代数课中学过，对于二元线性方程组 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 当二级行列式 0 21 22 11 12 a a a a 时，该方程组有唯一解，即
b,an an b az b anan a21a22 对于三元线性方程组有相仿的结论。在这一章我们要把这个结果推广到元线性方程组 [ak+a2x2+…+anxn=b azx+az++aznx=b2 anx1+an2x2+…+amxn=b 的情形。为此，我们首先要给出级行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容。 2非列 作为定义n级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质。 定义1由1,2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。 例如，2431是一个四级排列，45321是一个5级排列。我们知道n级排列的总数是 n-(n-1)）-(n-2)…21 我们记 12…(n-)n= 读为n级乘。例如：4！=43·2.1=24,51=120随着n的增大迅速增大。例如10！=3628800。 显然12n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的： 其它的排列都或多或少地破坏自然顺序 定义2在 个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 例如2431中，21,43,41,31是逆序数，2431的逆序数就是4，而45321的逆序数是9。 排列2…jn的逆序数记为Uj2…jn)。 定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列 例如，2431是偶排列：45321是奇排列：12n的逆序数为零，因之是偶排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为n级 排列，同样可以定义上面这些概念。 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换 称为一个对换。例如，经过 ,2对换，排列 431就变成了1432，排列2134就变成了1234， 显然，如果连续施行两次的对换，那么就还原了。由此得知，二个对换把全部m级排列两两 配对，使每个配成对的级排列在这个对换下互变。 关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。 定理1对换改变排列的奇偶性
, 21 22 11 12 2 22 1 12 1 a a a a b a b a x = , 21 22 11 12 21 2 11 1 2 a a a a a b a b x = 对于三元线性方程组有相仿的结论。在这一章我们要把这个结果推广到 n 元线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 的情形。为此，我们首先要给出 n 级行列式的定义并讨论它的性质，这就是本章的主要内容。 2 排 列 作为定义 n 级行列式的准备，我们先来讨论一下排列的性质。 定义 1 由 1,2, ,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列。 例如，2431 是一个四级排列，45321 是一个 5 级排列。我们知道 n 级排列的总数是 n (n −1)(n − 2)2 1 我们记 1 2(n −1) n = n!. 读为 n 级乘。例如： 4！= 4321= 24，5！=120.n! 随着 n 的增大迅速增大。例如 10！=3628800。 显然 12n 也是一个 n 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排列起来的； 其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 例如 2431 中，21，43，41，31 是逆序数，2431 的逆序数就是 4，而 45321 的逆序数是 9。 排列 n j j j 1 2 的逆序数记为 ( ) 1 2 n j j j 。 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例如，2431 是偶排列；45321 是奇排列； 12n 的逆序数为零，因之是偶排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排列，一般地也称为 n 级 排列，同样可以定义上面这些概念。 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列。这样一个变换 称为一个对换。例如，经过 1，2 对换，排列 2431 就变成了 1432，排列 2134 就变成了 1234。 显然，如果连续施行两次的对换，那么就还原了。由此得知，一个对换把全部 n 级排列两两 配对，使每个配成对的 n 级排列在这个对换下互变。 关于排列的奇偶性，我们有下面的基本事实。 定理 1 对换改变排列的奇偶性
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形，排列 …jk… (1) 经过，k对换变成 ,kj… (2) 显然，在排列(1)中如j,k与其他的数构成逆序，则在排列(2)中仍然构成逆序：如果不构 成逆序则在(2)中也不构成逆序：不同的知识，k的次序。如果原来，k组成逆序，那么经 过对换，逆序数就减少一个：如果原来，k不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个， 不论增加1还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形定理成立。 再看一般的情形，设排列为 …j2…1,k… (3) 经过j,k对换，排列(3)变成 …ki2…i,j… (4) 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现。从(3)出发，把k与，对 换，再与对换，由此依次下去，把k一位一位地向左移动，经过s+1次相邻位置的对换， 排列(3)就变成 …kii2…i.… (5) 从(5)出发，再把了一位一位地向右移动，经过s次相邻位置的对换，排列(5)就变成排列 (4)。因之，j,k对换可以通过2s+1次相邻位置的对换来实现。2s+1是奇数，相邻位置的 对换改变排列的奇偶性。显然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性。 定理2任意一个n级排列与排列12n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个 数与这个排列有相同的奇偶性 证明对排列的级数”作数学归纳法，来证任意一个n级排列都可以经过一系列对换变成 12…n。 1级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对n-l级排列已经成立，现在来证对级排列的情形结论也成立。 设2…jn是一个n级排列，如果jn=n,那么根据归纳法假设，n-1级排列j2…j 可以经过一系列对换变成12…n-1,于是这一系列对换也就把2…jn变成了12n。如果 jn≠n,那么对j2…jn作jn,n对换，它就变成…jn,这就归结成上面的情形，因此
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列。 证明 先看一个特殊的情形，即对换的两个数在排列中是相邻的情形，排列 jk （1） 经过 j, k 对换变成 kj （2） 显然，在排列（1）中如 j, k 与其他的数构成逆序，则在排列（2）中仍然构成逆序；如果不构 成逆序则在（2）中也不构成逆序；不同的知识 j, k 的次序。如果原来 j, k 组成逆序，那么经 过对换，逆序数就减少一个；如果原来 j, k 不组成逆序，那么经过对换，逆序数就增加一个， 不论增加 1 还是减少 1，排列的逆序数的奇偶性总是变了。因之，在这个特殊的情形定理成立。 再看一般的情形，设排列为 ji1 i 2 i s k （3） 经过 j, k 对换，排列（3）变成 ki1 i 2 i s j （4） 不难看出，这样一个对换可以通过一系列的相邻数的对换来实现。从（3）出发，把 s k与i 对 换，再与 s−1 i 对换,由此依次下去，把 k 一位一位地向左移动，经过 s +1 次相邻位置的对换， 排列（3）就变成 kji1 i 2 i s （5） 从（5）出发，再把 j 一位一位地向右移动，经过 s 次相邻位置的对换，排列（5）就变成排列 （4）。因之， j, k 对换可以通过 2s +1 次相邻位置的对换来实现。 2s +1 是奇数，相邻位置的 对换改变排列的奇偶性。显然，奇数次这样的对换的最终结果还是改变奇偶性。 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12n 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个 数与这个排列有相同的奇偶性。 证明 对排列的级数 n 作数学归纳法，来证任意一个 n 级排列都可以经过一系列对换变成 12n。 1 级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对 n −1 级排列已经成立，现在来证对 n 级排列的情形结论也成立。 设 n j j j 1 2 是一个 n 级排列，如果 j n = n ，那么根据归纳法假设， n −1 级排列 1 2 n−1 j j j 可以经过一系列对换变成 12n −1 ，于是这一系列对换也就把 n j j j 1 2 变成了 12n 。如果 j n n ，那么对 n j j j 1 2 作 j n , n 对换，它就变成 j 1 j 2 j n −1n ，这就归结成上面的情形，因此
结论普遍成立。 3n级行列式 现在给出级行列式的定义，从这一节开始，我们总是取一固定的数域P作为基础，所 谈到的数都是指这个数域P中的数，所考虑的行列式也都是数域P上的行列式，以后不再特 别说明 在给出n级行列式的定义之前，先看以下二级和三级行列式的定义。我们有 lan a=ddduda (1) a21a2a2=a1a22a3+a2a23a31+a3a21a32-a13a2a31-a2a21a3-a11a23a32 a31a32a3 (2) 从二级和三级行列式的定义可以看出，它们都是一些乘积的代数和， 而每一项乘积都是 由行列式中位于不同行和不同列的元素构成的额，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘 积组成。在n=2时，由不同行不同列的元素构成的额乘积只有a1an和a12a1这两项，在n=3 时也不难看出只有(2)中的6项。这是二级和三级行列式的特征的一个方面。另一方面。每 项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的 般形式可以写成 41a上h43 (3) 其中，是1,2,3的一个排列，可以看出，当3是偶排列时，对应的项在(2)中带有正 号当2是奇排列时带有负号。二级行列式显然也符合这个原则。 定义4n级行列式 aa2…a a2a2…a2a (4) …… ataa…an 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 aiah…0. (5) 的代数和，这里2…jn是1,2，…，n的一个排列，每一项(5)都按下列规则带有符号：当 2jn是偶排列时，(5)带有正号，当j2…jn是奇排列时，(5)带有负号。这一定义可 写成
结论普遍成立。 3 n 级 行 列 式 现在给出 n 级行列式的定义，从这一节开始，我们总是取一固定的数域 P 作为基础，所 谈到的数都是指这个数域 P 中的数，所考虑的行列式也都是数域 P 上的行列式，以后不再特 别说明了。 在给出 n 级行列式的定义之前，先看以下二级和三级行列式的定义。我们有 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − （1） 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + − − − （2） 从二级和三级行列式的定义可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是 由行列式中位于不同行和不同列的元素构成的额，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘 积组成。在 n = 2 时，由不同行不同列的元素构成的额乘积只有 a11a22和a12a21 这两项，在 n = 3 时也不难看出只有（2）中的 6 项。这是二级和三级行列式的特征的一个方面。另一方面。每 一项乘积都带有符号。这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式（2）中，项的 一般形式可以写成 1 1 2 2 3 3 a j a j a j （3） 其中 j 1 j 2 j 3是1，2，3 的一个排列，可以看出，当 1 2 3 j j j 是偶排列时，对应的项在（2）中带有正 号当 1 2 3 j j j 是奇排列时带有负号。二级行列式显然也符合这个原则。 定义 4 n 级行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 （4） 等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 njn a j a j a 1 1 2 2 （5） 的代数和，这里 n j j j 1 2 是 1,2, ,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当 n j j j 1 2 是偶排列时，（5）带有正号，当 n j j j 1 2 是奇排列时，（5）带有负号。这一定义可 写成