a1a2…aia ∑.(-l）r'aa2h…a. (6 这里∑表示对所有n级排列求和。 定义表明，为了计算级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积 把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这 项的符号。 由定义立即看出，n级行列式是由项组成的。 例1计算行列式 000 0020 0300 4000 这是一个四级行列式，在展开式中应该有4=24项，但是由于出现很多零，所以不等于零的 项数就大大减少了。我们具体地来看一下，展开式中项的一般形式是 ainazhasndan 显然，如果方≠4，那么，=0，从而这个项就等于零。因此只须考虑1=4的那些项：同理， 只须考虑2=3j,=2,j4=1这些列指标的项。这就是说，行列式中不为零的项只有 a44242a4,这一项，而x(4321)=6,这一项前面的符号应该是正的，所以 0001 0020 030024 4000 例2计算上三角行列式 ai1a12…ae 0a2…a2 (7) 00.a 先看一下形如(5)式的项有哪一些不为零，然后再来决定它们的符号。项的一般形式为 a1a2h…0 在行列式中第n行的元素除去am外全为零，因之，只要考虑。=n的那些项。在第n-1行中， 除去a-,an外，其余的项全为零，因之jn-1只有n-ln这两个可能。由于jn=n,所以j- 就不能等于n了，从而j=n-1。这样逐步推上去，不难看出，在展开式中，除去
n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 n n n j j nj j j j j j j a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) = (−1) （6） 这里 n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和。 定义表明，为了计算 n 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。 把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这 一项的符号。 由定义立即看出， n 级行列式是由 n! 项组成的。 例 1 计算行列式 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4！=24 项，但是由于出现很多零，所以不等于零的 项数就大大减少了。我们具体地来看一下，展开式中项的一般形式是 1 1 2 2 3 3 4 4 a j a j a j a j 显然，如果 j 1 4 ，那么 0 1 1 a j = ，从而这个项就等于零。因此只须考虑 j 1 = 4 的那些项；同理， 只须考虑 j 2 = 3, j 3 = 2, j 4 =1 这些列指标的项。这就是说，行列式中不为零的项只有 a14a23a32a41 这一项，而 (4321) = 6, 这一项前面的符号应该是正的，所以 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 =24 例 2 计算上三角行列式 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 （7） 先看一下形如（5）式的项有哪一些不为零，然后再来决定它们的符号。项的一般形式为 njn a j a j a 1 1 2 2 在行列式中第 n 行的元素除去 ann 外全为零，因之，只要考虑 j n = n 的那些项。在第 n −1 行中， 除去 an 1,n 1 an 1,n , − − − 外，其余的项全为零，因之 n − 1 j 只有 n −1, n 这两个可能。由于 j n = n ，所以 n−1 j 就不能等于 n 了，从而 j n−1 = n −1 。这样逐步推上去，不难看出，在展开式中，除去
a1a22…am 这一项外，其余的项全是0。而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号， 于 0aa…a=a,dzd (8) 00…am 换句话说，这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积，作 为(8)的特殊情形有 4,0…0 0d…0=dd,d, (9) 00…d 10…0 01…0 =1 (10) 00..1 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行列式。(9)说明了对角行列式的值等于主对 角线上元素的乘积。 容易看出，当行列式的元素全是数域P中的数时它的值也是数域P中的一个数。 在行列式的定义中， 为了决定每一项的正负号，把n个元素按行指标排起来。事实上 数的乘法是交换的，因而这n个元素的次序可以任意写的，一般地，”级行列式中的项可以写 成 aihah…a (11) 其中…，2n是两个n级排列。利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 (12) 事实上，为了根据定义来决定(11)的符号，就要把这n个元素重新排一下使得它们的行 指标成自然顺序，也就是排成 ara2g…0g (13) 于是它的符号是 (1) (14) 现在来证明，(12)与(14)是一致的。我们知道，由(11)变到(13)可以经过一系列元素 的对换来实现。每作一次对换，元素的行指标与列指标所指的排列42，与j2…jn就都同时 作一次对换，也就是t(42…i)与tUj2…j)同时改变奇偶性，因而它们的和 tin)+tjj2…jn)
a11a22 ann 这一项外，其余的项全是 0。而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号， 于是 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 = a11a22 ann （8） 换句话说，这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积，作 为（8）的特殊情形有 n n d d d d d d 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 = （9） 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 = （10） 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行列式。（9）说明了对角行列式的值等于主对 角线上元素的乘积。 容易看出，当行列式的元素全是数域 P 中的数时它的值也是数域 P 中的一个数。 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把 n 个元素按行指标排起来。事实上， 数的乘法是交换的，因而这 n 个元素的次序可以任意写的，一般地， n 级行列式中的项可以写 成 n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 （11） 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列。利用排列的性质，不难证明，（11）的符号等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 n n i i i + j j j （− ） （12） 事实上，为了根据定义来决定（11）的符号，就要把这 n 个元素重新排一下使得它们的行 指标成自然顺序，也就是排成 n a ja j anj 1 1 2 2 （13） 于是它的符号是 ( ) 1 2 ( 1) n j j j − （14） 现在来证明，（12）与（14）是一致的。我们知道，由（11）变到（13）可以经过一系列元素 的对换来实现。每作一次对换，元素的行指标与列指标所指的排列 n n i i i j j j 1 2 与 1 2 就都同时 作一次对换，也就是 ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n i i i 与 j j j 同时改变奇偶性，因而它们的和 ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n i i i + j j j
的奇偶性不改变。这就是说，对(11)作一次元素的对换不改变(12)的值。因此，在一系 列对换之后有 （-1)*h)=(-1D12H-)=(-1Uii》 这就证明了(12)与(14)是一致的。 例如，a2a2a4a4,是4级行列式中一项，t2314)-2,t(1243)-1,于是它的符号应为 (-)2=-1。如按行指标排列起来，就是a42a2a4,t(4123)=3,因而它的符号也是 (-1)3=-1。 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的， 因而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 a1a13·a1m (15) ana2…anm 由此即得行列式的下列性质 性质1行列互换，行列式不变，即 aa…a…a a21a22…a2m a2a22…an2 (16) am d2…am 事实上，元素a,在(16)的右端位于第j行第1列，这就是说，i是它的列指标，j是它 的行指标。因之，把右端按(15)展开就等于 ∑-d 它正是左端按(6)的展开式 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样 成立。例如，由(8)即得下三角形的行列式 la00…0 oa da dnda (17) aa2an3…anm 4n级行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个麻烦的问题。级行列式一共有项，计算 它就需要做(n-)个乘法。当n较大时，州是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式
的奇偶性不改变。这就是说，对（11）作一次元素的对换不改变（12）的值。因此，在一系 列对换之后有 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 n n i i i + j j j （− ） = (12 ) ( ) 1 2 1 n n + j j j − （ ） = ( ) 1 2 ( 1) n j j j − 这就证明了（12）与（14）是一致的。 例如， a21a32a14a43 是 4 级行列式中一项， (2314) = 2, (1243) = 1, 于是它的符号应为 ( 1) 1 2 1 − = − + 。如按行指标排列起来，就是 , (4123) 3, a14a21a32a43 = 因而它的符号也是 ( 1) 1 3 − = − 。 按（12）来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的， 因而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 i i i n i i i i ii i n n n a a a 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 = (−1) （15） 由此即得行列式的下列性质 性质 1 行列互换，行列式不变，即 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 = （16） 事实上，元素 ij a 在（16）的右端位于第 j 行第 i 列，这就是说， i 是它的列指标， j 是它 的行指标。因之，把右端按（15）展开就等于 n n n j j nj j j j j j j a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) 它正是左端按（6）的展开式。 性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样 成立。例如，由（8）即得下三角形的行列式 nn n n n nn a a a a a a a a a a 11 22 1 2 3 21 22 11 0 0 0 0 0 = （17） 4 n 级 行 列 式 的 性 质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个麻烦的问题。 n 级行列式一共有 n! 项，计算 它就需要做 n!(n −1) 个乘法。当 n 较大时， n! 是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式
几乎是不可能的事。因此，我们有必要进一步讨论行列式的性质，利用这些性质可以化简行 列式的计算。 在行列式的定义中，虽然每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行 与列，所以对于某一确定的行中个元素来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的 个元素。因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有a1,第二组的项都含 有a2等等。再分别把i行的元素提出米，就有 a11a12…ae alai…a=an4ta4a++aAn ………… (1) aia2…anm 其中A,代表那些含有a,的项在提出公因子a,之后的代数和，至于A,究竞是哪些项的和我们 暂且不管，到第6节再来讨论。从以上讨论可以知道，A中不再含有第i行的元素，也就是 4,A2,…,4n全与行列式中第i行的元素无关。由此即得 性质2 a2…alaa…an … ……… kon kep…k=ka…a a, ..a 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当与用这个数乘此 行列式 事实上，由(1) a11a12.a1m ka2…kaa=kanAn+ka2A2+…+kam Ain an2…am =k(a1A1+a2A2+…+anAn)】 |a1a2…a 令k=0,就有，如果行列式中一行为零，那么行列式为零。 性质3
几乎是不可能的事。因此，我们有必要进一步讨论行列式的性质，利用这些性质可以化简行 列式的计算。 在行列式的定义中，虽然每一项是 n 个元素的乘积，但是由于这 n 个元素是取自不同的行 与列，所以对于某一确定的行中 n 个元素来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一 个元素。因之， n 级行列式的 n ！项可以分成 n 组，第一组的项都含有 i1 a ，第二组的项都含 有 i2 a 等等。再分别把 i 行的元素提出来，就有 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin （1） 其中 i j A 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 i j a 之后的代数和，至于 i j A 究竟是哪些项的和我们 暂且不管，到第 6 节再来讨论。从以上讨论可以知道， Aij 中不再含有第 i 行的元素，也就是 Ai Ai Ain , , , 1 2 全与行列式中第 i 行的元素无关。由此即得 性质 2 n n nn i i i n n n n nn i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当与用这个数乘此 行列式。 事实上，由（1） n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 i i i i inAin = ka1A1 + ka 2A2 ++ ka ( ) ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin = k + ++ n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 = 令 k = 0, 就有，如果行列式中一行为零，那么行列式为零。 性质 3
。。 +c b.+c a a2 a a a a 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行 列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。 事实上，设这一行是第行，于是 …a b+Gb2+C3…bn+c … an ...am =(6+C)41+(b2+C2)A2+…+(bn+cn)An =(641+b242+…+bnAn)+(C41+C242+…+CnAn) a1a2…anlaa2…an =b,b3…bn+c1 C·C 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元 素都相同。 证明设行列式 aazan …=∑(-)%--a…a%…a。…a(2) a1a2…an am a2…am 中第i行与第k行相同，即 ag=agj=12…n (3) 为了证明(2)为零，只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了。事实上与项 ∑（-)ha'aa%a…a 同时出现的还有
n n nn n n n a a a b c b c b c a a a 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + n n nn n n a a a b b b a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + n n nn n n a a a c c c a a a 1 2 1 2 11 12 1 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行 列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。 事实上，设这一行是第 i 行，于是 n n nn n n n a a a b c b c b c a a a 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + = i i n n Ain (b c )A (b c )A (b c ) 1 + 1 1 + 2 + 2 2 ++ + = (b1Ai1 + b2Ai2 ++ bn Ain ) + ( ) 1 i1 2 i2 nAin c A + c A ++ c n n nn n n a a a b b b a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + n n nn n n a a a c c c a a a 1 2 1 2 11 12 1 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元 素都相同。 证明 设行列式 i k n n i k n j i j kj nj j j j j j j n n n n k k kn i i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = (−1) （2） 中第 i 行与第 k 行相同，即 aij = akj , j = 1,2, ,n （3） 为了证明（2）为零，只须证明（2）的右端所出现的项全能两两相消就行了。事实上与项 i k n n i k n j ij kj nj j j j j j j a a a a 1 1 1 1 ( ) (−1) 同时出现的还有