如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x)的一个根或翠点。 推论a是f(x)的根的充分必要条件是(x-afx)。 由这个关系，我们可以定义重根的概念。a称为f(x)的k重根，如果(x-a)是f(x的k重 根，如果(x-a)是f(x)的k重根。当k=1时，a称为单根；当k>1时，a称为重根。 定理8Px中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算。 证明对零次多项式定理显然成立。 设f(x)是一个次数>0的多项式，把f(x)分解成不可约多项式的乘积。由上面的推论与根的 重数的定义，显然(x)在数域P中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不 超过n。 定理9如果多项式f(x),g(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数a,4,,a 有相同的值，即 1（a)=g(a) i=1,2,…,n+l,那么fx)=g(x). 证明由定理的条件，有 fa,)-g(a,)=0,i=1,2,…,n+1 这就是说，多项式fx)-g(x)有n+1个不同的根。如果f(x)-g(x)≠0，那么它就是一个次数 不超过n的多项式，由定理8，它不可能有n+1个根。因此，f(x)=g(x)。 因为数域P中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同。 如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相 等实际上是一致的，换句话说，数域上的多项式既可作为形式表达式来出来处理，也可以作 为函数来处理。但是应该指出，考虑今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些。 第七节复系数与实系数多项式的因式分解 代数基本定理每个次数21的复系数多项式在复数域中有一根。 定理的证明 E本课程中不讲，将在复变函数讨论 代数基本定理显然可以等价叙述为：每个次数之1的复系数多项式，在复数域上一定有 次因式。 由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。换句话说，不可约多项式 只有一次多项式。于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理每个次数21的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分
如果 f (x) 在 x = a 时函数值 f (a) = 0 ，那么 a 就称为 f (x) 的一个根或零点。 推论 a 是 f (x) 的根的充分必要条件是 (x − a) f (x) 。 由这个关系，我们可以定义重根的概念。 a 称为 f (x) 的 k 重根，如果 (x − a)是 f (x)的k 重 根，如果（ x −a ）是 f (x) 的 k 重根。当 k =1 时， a 称为单根；当 k 1 时， a 称为重根。 定理 8 Px中n 次多项式 (n 0) 在数域 P 中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算。 证明 对零次多项式定理显然成立。 设 f (x) 是一个次数>0 的多项式，把 f (x) 分解成不可约多项式的乘积。由上面的推论与根的 重数的定义，显然 f (x) 在数域 P 中根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不 超过 n。 定理 9 如果多项式 f (x), g(x) 的次数都不超过 n ，而它们对 n +1 个不同的数 1 2 1 , , , a a an+ 有相同的值，即 ( ) ( ) ai g ai f = i =1,2, ,n +1,那么f (x) = g(x)。 证明 由定理的条件，有 f (a ) − g(a ) = 0,i =1,2, ,n +1. i i 这就是说，多项式 f (x) − g(x)有n +1 个不同的根。如果 f (x) − g(x) 0 ，那么它就是一个次数 不超过 n 的多项式，由定理 8，它不可能有 n +1 个根。因此， f (x) = g(x) 。 因为数域 P 中有无穷多个数，所以定理 9 说明了，不同的多项式定义的函数也不相同。 如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面的结论表明，多项式的恒等与多项式相 等实际上是一致的，换句话说，数域上的多项式既可作为形式表达式来出来处理，也可以作 为函数来处理。但是应该指出，考虑今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些。 第七节 复系数与实系数多项式的因式分解 代数基本定理 每个次数 1 的复系数多项式在复数域中有一根。 这个定理的证明在本课程中不讲，将在复变函数讨论。 代数基本定理显然可以等价叙述为：每个次数 1 的复系数多项式，在复数域上一定有一 次因式。 由此可知，在复数域上所有次数大于 1 的多项式全是可约的。换句话说，不可约多项式 只有一次多项式。于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成： 复系数多项式因式分解定理 每个次数 1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分
解成一次因式的乘积。 因此，复系数多项式具有标准分解式 f(x)=a,(x-a)(x-a).(x-a,)" 其中a,a2,…,a,是不同的复数，1,2，…，1，是正整数。标准分解式说明了每个n次复系数多项 式恰有n个复根（重根按重数计算）。 下面来讨论实系数多项式的分解 对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即，如果a是实系数多项式∫(x)的复根，那 么a的共轭数a也是f(x)的根，因为设 f(x)=ax"+ax++ax+do 其中a。,a,…,an是实数。由假设 f(a）=ana"+an-a-+…+a,a+a。=0. 两边取共轭数，有 f(a)=a,a"+aa+...+aa+ao=0. 这就是说，f(a)=0,a也是f(x)的根。 由此可以证明 实系数多项式因式分解定理每个次数之1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解 成一次因式与 次不可约因式的乘积 证明定理对一次多项式显然成立。 假设定理对次数<n的多项式已经证明。 设fx)是n次事实系数多项式。由代数基本定理，fx)有一复数根a。如果a是实数，那么 f（x)=(x-a)/x) 其中f(x)是n-I次实系数多项式。如果a不是实数，那么a也是f(x)的根且a≠a。于是 f(x)=(x-a)(x-a)f(x) 显然(x-a(x-a)-x2-(a+a)x+aa是一实系数二次不可约多项式。从而(x)是n-2次实 系数多项式。由归纳法假定，f(x)减(x)可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之 fx)也可以如此分解。 因此，实系数多项式具有标准分解式 f(x)=a(x-c)(x-c,)"(x2+pix+q)"..(x2+px+q,) 其中G,…,C,，…P,,…,9全是实数，1，…，，k,…,k,是正整数，并且
解成一次因式的乘积。 因此，复系数多项式具有标准分解式 s l s l l f (x) an (x a ) (x a ) (x a ) 1 2 = − 1 − 2 − 其中 a a as , , , 1 2 是不同的复数， s l ,l , ,l 1 2 是正整数。标准分解式说明了每个 n 次复系数多项 式恰有 n 个复根（重根按重数计算）。 下面来讨论实系数多项式的分解。 对于实系数多项式，以下的事实是基本的，即，如果 a 是实系数多项式 f (x) 的复根，那 么 a 的共轭数 a 也是 f (x) 的根，因为设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 其中 a a an , , , 0 1 是实数。由假设 ( ) 0. 1 0 1 = + 1 + + + = − f a a a a − a a a a n n n n 两边取共轭数，有 ( ) 0. 1 0 1 = + 1 + + + = − f a a a a − a a a a n n n n 这就是说， f (a) = 0,a也是f (x) 的根。 由此可以证明 实系数多项式因式分解定理 每个次数 1 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解 成一次因式与二次不可约因式的乘积。 证明 定理对一次多项式显然成立。 假设定理对次数 n 的多项式已经证明。 设 f (x)是n 次事实系数多项式。由代数基本定理， f (x) 有一复数根 a 。如果 a 是实数，那么 ( ) ( ) ( ) 1 f x = x − a f x 其中 f 1 (x)是n −1 次实系数多项式。如果 a 不是实数，那么 a 也是 f (x) 的根且 a a 。于是 ( ) ( )( ) ( ) 2 f x = x − a x − a f x 显然 (x − a)(x − a) = x − (a + a)x + aa 2 是一实系数二次不可约多项式。从而 ( ) 2 f x 是 n − 2 次实 系数多项式。由归纳法假定， ( ) ( ) 1 2 f x 或f x 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之 f (x) 也可以如此分解。 因此，实系数多项式具有标准分解式 r k r r l s k s l f (x) an (x c ) (x c ) (x p x q ) (x p x q ) 2 1 1 2 1 1 1 = − − + + + + 其 中 s p pr q qr c , ,c , , , , , , 1 1 1 全 是 实 数 ， s r l , ,l , k , , k 1 1 是 正 整 数 ， 并 且
x2+p,x+q.=1,2,…,r)是不可约的也就是适合条件p,2-4g,<0,i=1,2,…,r 代数基本定理虽然肯定了n次方程有n个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法。高 次方程求根的问题还远远没有解决。特别是在应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个 问题是相当复杂的，“它构成计算数学的一个分支，这里不再时论了。 第八节有理系数多项式 现在再来看有理数域上一元多项式的因式分解。作为因式分解定理的一个特殊情形，每 个次数之1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但对于任意 一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个复杂的问题，即使要判别一个有理系 数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题。有理系数多项式的因式分解的问题，可以归 结为整系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题：在有理 系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。 设 f(x)=a x"+ax++ax+ao 是一有理系数多项式。选取适当的整数总可以使g(x)是一整系数多项式。如果(x)的各项 系数有公因子，就可以提出来，得到 cf(x)=dg(x) 也就是 其中g(x)是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子。 例如 如果一个非零的整系数多项式g(x)=bx”+bn-1x+…+b的系数bn,bn-1,…,b没有异于 ±1的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。上面的分析表明，任何 一个非零的有理系数多项式f(x)都可以表示成一个有理数r与一个本原多项式g(x)的乘积， 即 f(x)=rg(x) 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。亦即，如果 f(x)=g(x)=581(x) 其中g(x),g(x)都是本原多项式，那么必有 r=,g(x)=±g1(x)
( 1,2, , ) 2 x p x q i r + i + i = 是不可约的也就是适合条件 4 0, 1,2, , . 2 p q i r i − i = 代数基本定理虽然肯定了 n 次方程有 n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法。高 次方程求根的问题还远远没有解决。特别是在应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个 问题是相当复杂的，它构成计算数学的一个分支，这里不再讨论了。 第八节 有理系数多项式 现在再来看有理数域上一元多项式的因式分解。作为因式分解定理的一个特殊情形，每 个次数 1 的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但对于任意 一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个复杂的问题，即使要判别一个有理系 数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题。有理系数多项式的因式分解的问题，可以归 结为整系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题；在有理 系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 是一有理系数多项式。选取适当的整数总可以使 cf (x) 是一整系数多项式。如果 cf (x) 的各项 系数有公因子，就可以提出来，得到 cf (x) = dg(x) 也就是 ( ) g(x) c d f x = 其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 1 的公因子。 例如 (5 15 3 ) 15 2 5 2 2 3 2 4 2 4 2 x − x − x = x − x − x 如果一个非零的整系数多项式 0 1 1 g(x) b x b x b n n n = n + + + − − 的系数 1 0 bn ,bn− , ,b 没有异于 1 的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。上面的分析表明，任何 一个非零的有理系数多项式 f (x) 都可以表示成一个有理数 r 与一个本原多项式 g(x) 的乘积， 即 f (x) = rg(x) 可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。亦即，如果 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x = rg x = r g x 其中 ( ), ( ) 1 g x g x 都是本原多项式，那么必有 , ( ) ( ) 1 1 r = r g x = g x
因为f(x)与g(x)只差一个常数倍，所以f(x)的因式分解问题，可以归结为本原多项式 g(x)的因式分解问题。下面我们进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有 理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。 定理10（高斯(Gauss)引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 证明设 f(x)=anx”+an-1x+…+ax+a0 g(x)=bnx"+bn-1x+…+b 是两个本原多项式，而 h(x)=f(x)g(x)=d+d++do 是它们的乘积。我们用反证法。如果(x)不是本原的，也就是说，x)的系数 dm,dm,,d,有一个异于士1的公因子，那么就有一个素数p能整除(x)的每一个系数。 因为f(x)是本原的，所以p不能同时整除fx)的每一个系数。令a,是第一个不能被p整除的 系数，即 Po,…,pa,p不能整除a, 同样地，g(x)也是本原的，令b,是第一个不能被P整除的系数，即 pb。,…,pb,p不能整除b, 我们来看(x)的系数d,由乘积定义 dty=a,b,+a+b-+a+2b-2+…+a-bm+a-2b+2+… 由上面的假设，p整除等式左端的d,p整除右端a,b,以外的每一项，但是p不能整除a,b, 这是不可能的。这就证明了，(x)一定也是本原多项式。 定理11如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘 积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。 证明设整系数多项式f(x)有分解式 f(x)=g(x)h(x) 其中g(x),(x)是有理系数多项式，且 a(g(x))<af(x)).a(h(x))<af(x))
因为 f (x)与g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x) 的因式分解问题，可以归结为本原多项式 g(x) 的因式分解问题。下面我们进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有 理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的。 定理 10 （高斯 (Gauss) 引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 证明 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 0 1 1 g(x) b x b x b n n n = n + + + − − 是两个本原多项式，而 0 1 1 h(x) f (x)g(x) d x d x d n m n m n m = = n m + + + + − + − + + 是它们的乘积。我们用反证法。如果 h(x) 不是本原的，也就是说， h(x) 的系数 1 0 dn+m ,dn+m− , ,d 有一个异于 1 的公因子，那么就有一个素数 p 能整除 h(x) 的每一个系数。 因为 f (x) 是本原的，所以 p 不能同时整除 f (x) 的每一个系数。令 i a 是第一个不能被 p 整除的 系数，即 p a p ai p不能整除ai , , , 0 −1 同样地， g(x) 也是本原的，令 j b 是第一个不能被 p 整除的系数，即 pb pbj p不能整除bj , , , 0 −1 我们来看 h(x) 的系数 di+ j ，由乘积定义 di+ j = ai bj + ai+1bj−1 + ai+2bj−2 ++ ai−1bj+1 + ai−2bj+2 + 由上面的假设， p 整除等式左端的 di+ j ，p 整除右端 aibj 以外的每一项，但是 p 不能整除 aibj 。 这是不可能的。这就证明了， h(x) 一定也是本原多项式。 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘 积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。 证明 设整系数多项式 f (x) 有分解式 f (x) = g(x)h(x) 其中 g(x), h(x) 是有理系数多项式，且 (g(x)) ( f (x)), (h(x)) ( f (x))
令 f(x)=af(x), g(x)=rg(x),h(x)=sh(x) 这里(x,g(x),h(x)都是本原多项式，a是整数，r,s是有理数，于是 f(x)=rsg (x)h (x) 由定理10，g(x)h,(x)是本原多项式，从而 "5=土a 这就是说，s是一整数。因此，我们有 f(x)=(r5g(x))h(x) 这里g(x)与h,(x)都是整系数多项式，且次数都低于f(x)的次数。 推论设f(x,g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的。如果fx)=g(x)hx),其中hx)是有 理系数多项式，那么Mx)一定是整系数的 定理12设 f(x)=ax"+ax++ax+do 是一个整系数多项式，而二是它的一个有理根，其中r,s互素，那么必有s0,ra特别地，如 果f(x)的首项系数a。=1,那么f(x)的有理根都是整数，而且是a的因子。 证明因为二是∫(x)的一个有理根。因此在有理数域上 (x-f(x) 从而 (sx-r)f(x) 因为r,s互素，所以x-r是一个本原多项式。根据上述推论， fx)=(r-rbn-x"+…+b,) 式中b,…,b都是整数。比较两边系数，即得 a=sb1,do=-rbo 因此 sa,rao 例1求方程
令 ( ) ( ) 1 f x = af x ， ( ) ( ), ( ) ( ), 1 1 g x = rg x h x = sh x 这里 ( ), ( ), ( ) 1 1 1 f x g x h x 都是本原多项式， a 是整数， r,s 是有理数，于是 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 af x = rsg x h x 由定理 10， ( ) ( ) 1 1 g x h x 是本原多项式，从而 rs = a 这就是说， rs 是一整数。因此，我们有 ( ) ( ( )) ( ) 1 1 f x = rsg x h x 这里 ( ) ( ) 1 1 rsg x 与h x 都是整系数多项式，且次数都低于 f (x) 的次数。 推论 设 f (x), g(x) 是整系数多项式，且 g(x) 是本原的。如果 f (x) = g(x)h(x),其中h(x) 是有 理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数的 定理 12 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 是一个整系数多项式，而 s r 是它的一个有理根，其中 r,s 互素，那么必有 . a0 s a rn 特别地，如 果 f (x) 的首项系数 an = 1 ，那么 f (x) 的有理根都是整数，而且是 0 a 的因子。 证明 因为 s r 是 f (x) 的一个有理根。因此在有理数域上 ( ) f (x) s r x − 从而 (sx − r) f (x) 因为 r,s 互素，所以 sx −r 是一个本原多项式。根据上述推论， ( ) ( )( ) 0 1 f x sx r b 1 x b n = − n + + − − 式中 1 0 bn− , ,b 都是整数。比较两边系数，即得 1 0 0 an = sbn− ,a = −rb 因此 . a0 s a rn 例 1 求方程