此外就没有了。反之，具有这个性质的次数≥1的多项式一定不可约的。由此可知，不可约多 项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两种关系，或者p(xf(x)或者(p(x),f(x)=1。事 实上，如果(p(x,fx)=dx,那么dx)或者是1或者是cp(x(c≠0)。当d(x)=cpx)时，就 有pxf(x)。 定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x),由 pxf(x)g(x)一定推出pxf(x)或者p(xg(x). 证明如果pxf(x),那么结论已经成立。 如果p(xfx),那么由以上说明可知 (px,f(x)=1 于是由定理4即得p(x)g(x)。 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式(x)整除一些多项式 (x),f(x),…,(x)的乘积f(x)(x)…∫(x),那么p(x)一定整除这些多项式之中的一个。 因式分解及唯一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域 P上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式 fx)=p(x)p2(x…P,(x)=q(xq(x…g,(x) 那么必有s=1,并且适当排列因式的次序后有 p(x)=c4.(xi=1,2,…,s, 其中C(i=1,2…,)是一些非零常数。 证明先证分解式的存在。对(x)的次数作数学归纳法。 因为一次多项式是不可约的，所以n=1时时结论成立。 设(f(x》=n,并设结论对于次数低于n的多项式己经成立。如果f(x)是不可约多项式，结 论显然的无妨设f(x)不是不可约的，即有 (x)=f(x)5(x) 其中(x,(x)的次数低于n。由归纳法假定f(x),(x)都可以分解成数域P上一些不可约 多项式的乘积。把f(x),f(x)的分解式喝起来就得到f(x)的一个分解式
此外就没有了。反之，具有这个性质的次数 1 的多项式一定不可约的。由此可知，不可约多 项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两种关系，或者 p(x) f (x) 或者 (p(x), f (x)) =1 。事 实上，如果 (p(x), f (x)) = d(x), 那么 d (x) 或者是 1 或者是 cp(x)(c 0) 。当 d(x) = cp(x) 时，就 有 p(x) f (x)。 定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f (x) ， g(x) ，由 p(x) f (x)g(x) 一定推出 p(x) f (x) 或者 p(x) g(x)。 证明 如果 p(x) f (x) ，那么结论已经成立。 如果 p(x) f (x) ，那么由以上说明可知 (p(x), f (x)) =1 于是由定理 4 即得 p(x) g(x)。 利用数学归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的乘积 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x s ，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个。 因式分解及唯一性定理 数域 P 上每一个次数 1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是说，如果有两个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x = s = t 那么必有 s = t ，并且适当排列因式的次序后有 p x c q x i s i i i ( ) = ( ), =1,2, , ， 其中 c (i 1,2, ,s) i = 是一些非零常数。 证明 先证分解式的存在。对 f (x) 的次数作数学归纳法。 因为一次多项式是不可约的，所以 n =1 时时结论成立。 设 ( f (x)) = n ，并设结论对于次数低于 n 的多项式已经成立。如果 f (x) 是不可约多项式，结 论显然的无妨设 f (x) 不是不可约的，即有 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x = f x f x 其中 ( ), ( ) 1 2 f x f x 的次数低于 n 。由归纳法假定 ( ), ( ) 1 2 f x f x 都可以分解成数域 P 上一些不可约 多项式的乘积。把 ( ), ( ) 1 2 f x f x 的分解式喝起来就得到 f (x) 的一个分解式
由归纳法原理，结论普遍成立。 再证唯一性。设fx)可以分解成不可约多项式的乘积 f（x)=P,(xp(x)…p,(x) 如果f(x)还有另一个分解式 fx)=q(x)4(x)4,(x) 其中q,(x=1,2…,)都是不可约多项式，于是 f(x)=p,(x)p2(x)…p,(x)=g,(x)q2(x…q,(x) (1) 对s作归纳法，当s=1,f(x)是不可约多项式，由定义必有 S=1=1 且 f(x)=p(x)=q(x) 再社不可约因式的个数为s-1时唯一性已证。 又(1)，p,(xq,(x)q(x)q,(x),因此，P,(x)必能除尽其中的一个，无妨设 p(x)g(x) 因为4(x)也是不可约多项式，所以有 p,(x)=c9,(x) (2) 在(1)式两边消去q4,(x),就有 p2(x)…p,(x)=C1q2(x)q,(x) 由归纳法假定，有 S-1=1-1,即s=1, (3) 并且适当排列次序之后有 P2(x)=c2Gq2(x,即p2(x)=c292(x) p(x)-c9.(xi=1,2,…,S) (4) (2),(3),(4),合起来即为所要证的。这就证明了分解的唯一性。 在多项式fx)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项 系数为1的多项式，在把相同的不可约因式合并，于是∫(x)的分解式成为 f(x)=p(x)p(x)…p,(x)
由归纳法原理，结论普遍成立。 再证唯一性。设 f (x) 可以分解成不可约多项式的乘积 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x p x p x p x = s 如果 f (x) 还有另一个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x q x q x q x = t 其中 q (x)(i 1,2, ,t) i = 都是不可约多项式，于是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x = s = t （1） 对 s 作归纳法，当 s = 1, f (x) 是不可约多项式，由定义必有 s = t =1 且 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x = p x = q x 再社不可约因式的个数为 s −1 时唯一性已证。 又（1）， ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 p x q x q x q x t ，因此， ( ) 1 p x 必能除尽其中的一个，无妨设 ( ) ( ) 1 1 p x q x 因为 ( ) 1 q x 也是不可约多项式，所以有 ( ) ( ) 1 1 1 p x = c q x （2） 在（1）式两边消去 ( ) 1 q x ，就有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 p x p x c q x q x s t − = 由归纳法假定，有 s −1= t −1,即s = t, （3） 并且适当排列次序之后有 ( ) ( ), ( ) ( ). 2 2 2 2 1 2 2 1 p x = c c q x p x = c q x − 即 p (x) c q (x)(i 1,2, ,s). i = i i = （4） （2），（3），（4），合起来即为所要证的。这就证明了分解的唯一性。 在多项式 f (x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项 系数为 1 的多项式，在把相同的不可约因式合并，于是 f (x) 的分解式成为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s r r =
其中c是f(x)的首项系数，P,(x),P2(x,,P,(x)是不同的首项系数为1的不可约多项式，而 上，，，5是正整数。这种分解式称为标准分解式。 杂松甘色可以看山，和杂除法是无多项大烟式分国金的纯我肉避季安电有份 对于任意整数a,b,b≠0，都存在唯一的整数q,r使 a=qb+r, 其中0≤r<。 第六节重因式 定义9不可约多项式p(x)称为多项式fx的k重因式，如果p(xf(x),而p(x)不整除 f(x). 如果k=0,那么p(x)根本不是f(x)的因式：如果k=l,那么p(x)称为fx)的单因式：如果k>1, 那么p(x)称为fx)的重因式。 显然，如果f(x)的标准分解式为 fx)=p”(x)p°(x…p,() 那么P,(x),P(x,…,P,(x)分别是(x)的斯重，5重，，I重因式。指数=1的那些不可约 因式是单因式：指数，>1的那些不可约因式是重因式。 设有多项式 f(x)=anx”+an-x-+…+ax+a, 我们规定它的微商是比∫(x)低一次的多项式 f(x)=ax+a(n-2)x"2+...+a 这种规定来自数学分析，下面给出关于多项式微商的基本公式： (f(x)+g(x))=f(x)+g(x) cf(x))'=cf(x) (f(x)g(x)'=f"(x)g(x)+f(x)g'(x) (f(x)'=mfm-'(x)f"(x)
其中 c 是 f (x) 的首项系数， ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x s 是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而 s r ,r , ,r 1 2 是正整数。这种分解式称为标准分解式。 由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础。我们知道整数也有带 余除法，即 对于任意整数 a,b,b 0, 都存在唯一的整数 q,r 使 a = qb + r, 其中 0 r b 。 第六节重 因 式 定义 9 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x)的 k 重因式，如果 p (x) f (x), k 而 ( ) 1 p x k+ 不整除 f (x). 如果 k = 0,那么p(x) 根本不是 f (x) 的因式；如果 k = 1, 那么 p(x) 称为 f (x)的 单因式；如果 k 1, 那么 p(x) 称为 f (x)的 重因式。 显然，如果 f (x) 的标准分解式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s r r = 那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x s 分别是 f (x) 的 1 r 重， 2 r 重，…, s r 重因式。指数 ri =1 的那些不可约 因式是单因式；指数 ri 1 的那些不可约因式是重因式。 设有多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 我们规定它的微商是比 f (x) 低一次的多项式 1 2 1 1 f (x) a x a (n 2)x a n n n = n + − + + − − − 这种规定来自数学分析，下面给出关于多项式微商的基本公式： ( f (x) + g(x)) = f (x) + g (x) cf (x)) = cf (x) ( f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ( )) ( ( ) ( )) 1 f x m f x f x m m = −
同样可以定义高阶微商的概念。微商∫"(x)称为fx)的一阶微商：∫'(x)的微商称为f(x)的二 阶徽商；fx)的k阶微商记为∫(x)。 定理6如果不可约的多项式px)是f(x的k重因式(k≥)，那么它是微商f"(x)的k-1重因 式。 证明由假设，x)可以分解为 f(x)=p*(x)g(x) 其中p(x)不能整除g(x)。因此 f(x)=p(x)(kg(x)p'(x)+p(x)g'(x)) 这说明p-(xf"(x)。如果令 h(x)=kg(x)p(x)+p(x)g'(x) 那么p(x)整除等式右端的第二项，但不能整除第一项。因此(x)不能整除h(x),从而p(x) 不能整除f"(x)。这说明p(x)是∫"(x)的k-1重因式。 推论1如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，那么p(x)是 f(x),f"(x),…,(x)的因式，但不是f(x)的因式。 证明根据定理6，对k作数学归纳法即得。 推论2不可约多项式px)是f(x)的k重因式的充分必要条件为px)是f(x)与f"(x,)的 公因式。 证明(x)的重因式必须是∫"(x)的因式：反之，如果(x)的不可约因式也是∫"(x)的因式， 它必定不是f(x)的单因式。 推论3多项式fx)没有重因式的充分必要条件是f(x)与f"(x)互素。 这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算一辗转相除法来解决， 这个方法甚至是机械的。下面给出一种有效方法。 设f(x)具有标准分解式 f(x)=c甲"(x)P2”(x)…P,'(x) 根据定理6，(x)与∫"(x)的最大公因式必须具有标准分解式 p(xp-(x…p-(x)
同样可以定义高阶微商的概念。微商 f (x) 称为 f (x) 的一阶微商； f (x) 的微商称为 f (x) 的二 阶微商； f (x) 的 k 阶微商记为 ( ) ( ) f x k 。 定理 6 如果不可约的多项式 p(x)是f (x)的k 重因式 (k 1), 那么它是微商 f (x) 的 k −1 重因 式。 证明 由假设， f (x) 可以分解为 f (x) p (x)g(x) k = 其中 p(x) 不能整除 g(x) 。因此 ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 1 f x p x k g x p x p x g x k = + − 这说明 ( ) ( ) 1 p x f x k − 。如果令 h(x) = k g(x) p (x) + p(x)g (x) 那么 p(x) 整除等式右端的第二项，但不能整除第一项。因此 p(x) 不能整除 h(x) ，从而 p (x) k 不能整除 f (x) 。这说明 p(x) 是 f (x) 的 k −1 重因式。 推 论 1 如 果 不 可 约 多 项 式 p(x) 是 f (x) 的 k 重 因 式 (k 1) ， 那 么 p(x) 是 ( ), ( ), , ( ) ( 1) f x f x f x k− 的因式，但不是 f (x) k 的因式。 证明 根据定理 6，对 k 作数学归纳法即得。 推论 2 不可约多项式 p(x) 是 f (x) 的 k 重因式的充分必要条件为 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的 公因式。 证明 f (x) 的重因式必须是 f (x) 的因式；反之，如果 f (x) 的不可约因式也是 f (x) 的因式， 它必定不是 f (x) 的单因式。 推论 3 多项式 f (x) 没有重因式的充分必要条件是 f (x) 与 f (x) 互素。 这个推论表明，判别一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算—辗转相除法来解决， 这个方法甚至是机械的。下面给出一种有效方法。 设 f (x) 具有标准分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s r r = 根据定理 6， f (x) 与 f (x) 的最大公因式必须具有标准分解式 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 1 2 p x p x p x s r s r − r − −
于是 /rx》=p,p.-p,(倒 f(x) 这是一个没有重因式的多项式，但是它们与x)具有完全相同的不可约因式。因此不，这是 一个去掉因式重数的有效方法。 第六节多项式函数 f(x)=ax+ax-+…+an (1) 是P中的多项式，a是P中的数，在(I)中用a代x所得的数 aa+a,a+…+an 称为fx)当x=a时的值，记为f(a)。这样一来，多项式fx)就定义了一个数域P上的函数， 可以由一个多项式来定义的函数称为数域P上的多项式函数。当P是实数域时，就是数学分 析中所讨论的多项式函数。 因为x在与数域P中的数进行计算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如 h,(x)=f(w)+g(x) h(x)=f(x)g(x) 那么 h (a)=f(a)+g(a) h,(a)=f(a)g(a) 定理7（余数定理）用一次多项式x-a去除多项式fx),所得的余式是一个常数，这个 常数等于函数值f(a)。 证明用x-a去除多项式f(x),设商为q(x),余式为一常数c,于是 f(x)=(x-a)q(x)+c 以a代xr,得 f(a)=c
于是 ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) 1 2 cp x p x p x f x f x f x = s 这是一个没有重因式的多项式，但是它们与 f (x) 具有完全相同的不可约因式。因此不，这是 一个去掉因式重数的有效方法。 第六节 多项式函数 设 n n n f x = a x + a x + + a ( ) 0 1 −1 （1） 是 Px 中的多项式， a 是 P 中的数，在（1）中用 a代x 所得的数 n n n a a + a a + + a 0 1 −1 称为 f (x) 当 x = a 时的值，记为 f (a) 。这样一来，多项式 f (x) 就定义了一个数域 P 上的函数。 可以由一个多项式来定义的函数称为数域 P 上的多项式函数。当 P 是实数域时，就是数学分 析中所讨论的多项式函数。 因为 x 在与数域 P 中的数进行计算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如 果 ( ) ( ) ( ) 1 h x = f x + g x ( ) ( ) ( ) 2 h x = f x g x 那么 ( ) ( ) ( ) h1 a = f a + g a ( ) ( ) ( ) h2 a = f a g a 定理 7（余数定理）用一次多项式 x −a 去除多项式 f (x) ，所得的余式是一个常数，这个 常数等于函数值 f (a)。 证明 用 x −a 去除多项式 f (x) ，设商为 q(x) ，余式为一常数 c ，于是 f (x) = (x − a)q(x) + c 以 a代x ，得 f (a) = c