高等数学公式手册 二○○六年七月
高 等 数 学 公 式 手 册 二〇〇六年七月
导数公式 (tgx)'=sec (arcsin x)=.I (ctx) (secx)=secx·t (arccos) (cscx)'=-cScx ctx (a)=a Ina 1+x (log。x) (arcctgx)=- ln 基本积分表: jtgxdx=-Inlcos x[+C sec xdx= tgx+C cos x 「 ctex= Inlsin x+C =csc xdx=-ctgx+C sec xdx=In sec x+tgx+C sin x csc xdx= Ncsc x-ctgx +C texdx arct -+C a dx=-+C d x a+x In a2-x2 2a a-x chxdx= shx +C =arcsin -+C n(x+√ I sin"xdx= cos"xdr=n-1 +a2)+C a-+ JVa2-x'dr=3Va2-x2+g-arcsin +C 三角函数的有理式积分: sInx= - cOSx= 1+ 2’a。2d 1+t
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u tg u u x u u x + = = + − = + = ， ， ， x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2 ′ = ′ = ′ = − ⋅ ′ = ⋅ ′ = − ′ = 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x + ′ = − + ′ = − ′ = − − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + ± + ± = + = + = + ⋅ = − + ⋅ = + = = − + = = + x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C = + − + − + = − + + − = − = + + = − + = + + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − + + − = − − + − + + = + + + + + − = = = − C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 π π
些初等函数: 两个重要极限 双曲正弦:sh sIn x li 2 双曲余弦:chx= e"+e lim(1+-)=e=2.718281828459045 双曲正切:hx chx e+e arshx=In(x arch=±ln(x+ arthx =-In 三角函数公式 ·诱导公式 函数 角A sin costgctg sina cosa -tga 90°-a cosa sina ctga tga 90°+a sina -ctga -tge 180-a sina -- -ctga 180+a-sina-cosa tga ctga 270°a 270°+a cost sIna 3600-a-sina cosa - -ctga 3600+asina cosa ctga 和差角公式 ·和差化积公式 sin(atp)=sina cos Btcosa sin B sina+sin B=2sin a+Boc a-B coS cos(a+B)=cosa cos B+sin asin B sina-sin B=2 cos +B g(a士B)= 1+ga·1gB cg(a± cga·cgB+1 cosa+cos B=2cos<+B a-B 2 c!gB±cga cosa-cos B=2sin a+B a-B SIn
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − − = + − + = + − − = + − + = β α α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ± ⋅ ± = ⋅ ± ± = ± = ± = ± 1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin m m m x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x − + = = ± + − = + + + − = = + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ) 2.718281828459045... 1 lim(1 1 sin lim 0 + = = = →∞ → e x x x x x x
倍角公式: sin 2a= 2 sin a cosa cos 2a=2cos2a-1=1-2sin a=cos2a-sin a sin 3a=3sina-4sin'a ctga= cig'a-l cos 3a=4 cos'a-3cosa 2(g 883a- 3tga-iga ig a 半角公式: I+cosa SIn 1-cosa 1-cosa sina 1+cosa 1+cosa sIna 1g 1+cosa sina 1+cosa cosa sina 1-cosa 正弦定理:a b SinC-2R ·余弦定理:c2=a2+b2-2 abcess in a ·反三角函数性质: arcsinx arccos arctan=一-aCCg 高阶导数公式—莱布尼兹( Leibniz)公式: (n)=∑Cnn (n)v+nu"pt n(n-1) n(n-1)…(n-k+1) m-k)y4)+ 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f()(b-a) 柯西中值定理:b)-f(a)_f( F(b-F(a F( 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理
·倍角公式： ·半角公式： α α α α α α α α α α α α α α α α α α 1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin − = + = − + = ± + = − = + − = ± + = ± − = ± tg ctg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = ·余弦定理：c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ·反三角函数性质： x = − x arctgx = − arcctgx 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v + + − − + ′′ + + − = + ′ + = − − − = − ∑ L L L 中值定理与导数应用： 当 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f F b F a f b f a f b f a f b a = ′ ′ = − − − = ′ − F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ξ ξ ξ α α α α α α α α α α 2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin tg tg tg tg − − = = − = − α α α α α α α α α α α α α α 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos tg tg tg ctg ctg ctg − = − = = − = − = − =
曲率 弧微分公式:d=√1+y2d,其中y=1ga 平均曲率K=a△a:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量:As:M弧长 M点的曲率:K=lim △0△s|ds 直线:K=0 半径为a的圆:K=- 定积分的近似计算: 矩形法∫/(x)=(0+y1+…+y-) 梯形法:f(x)≈=L(y+yn) 抛物线法:∫(x) b (y+yn)+2(y2+y4+…+yn-2)+4(1+y3 ) 定积分应用相关公式: 功:W=F 水压力:F=pA 引力:F=k,k为引力系数 函数的平均值:y f(x)d 均方根
曲率： . 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y tg s = = + ′ ′′ = = Δ Δ = Δ ′ Δ ′ Δ Δ = = + ′ ′ = Δ → 半径为 的圆： 直线： 点的曲率： 平均曲率： 从 点到 点，切线斜率的倾角变化量； ： 弧长。 弧微分公式： 其中 α α α α α 定积分的近似计算： ∫ ∫ ∫ − − − − + + + + + + + + + − ≈ + + + + − ≈ + + + − ≈ b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1 L L L L 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式： ∫ ∫ − − = = = ⋅ = ⋅ b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功：