统计分析离散时间随机系统基本分析基本特点考虑到（为书写方便，下式中暂时认为w=0）=Φk.k-12k-1+Ik-1Wk1Tk:=kk-1Φk-1k-2Tk-2+kk-1Fk-2Wk-2+k-1Wk-1:kΦk:020 +Φh;Fi-1Wi-11其中,Φk0=Φkk-1Φk-1,k-2**Φ1,0而Hk+Uyk=由此可知，与%也是高斯随机失量Qns2020Prof.Yuan-LiCai(XJTU)6/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 基本特点 考虑到（为书写方便，下式中暂时认为 uk = 0） xk = Φk,k−1xk−1 + Γk−1wk−1 = Φk,k−1Φk−1,k−2xk−2 + Φk,k−1Γk−2wk−2 + Γk−1wk−1 . . . = Φk,0x0 + X k i=1 Φk,iΓi−1wi−1 其中, Φk,0 = Φk,k−1Φk−1,k−2 · · · Φ1,0. 而 yk = Hkxk + vk 由此可知，xk 与 yk 也是高斯随机矢量. Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 6 / 39
离散时间随机系统基本分析统计分析相关性性质当k<i时，有(8)E<k,w,>=0(9)E<yk,uj>=0DQa口-pring2020Prof.Yuan-LiCai(XJTUinerOntmalFilte7/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 相关性性质 当 k < j 时，有 E < xk, wj >= 0 (8) E < yk, vj >= 0 (9) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 7 / 39
离散时间随机系统基本分析统计分析状态均值传播方程(10)+1=+1,++1uk(11)10=moDaa口pring2020Prof.Yuan-LiCai(XJTU)inerOntmalFilte8/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 状态均值传播方程 xk+1 = Φk+1,kxk + Ψk+1,kuk (10) x0 = m0 (11) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 8 / 39
统计分析离散时间随机系统基本分析状态方差传播方程因为+1+1=+1[]+[W-所以Pk+1 = [k+1 -+1][k+1 -+1]T=+1,PT+1.h+AQT++1,[K-[W-WJTT+[[+1,考虑到（8），最后可得(12)PR+1=Φk+1,POT+1,k+IAQFTDQQ2020ProfYiaCaXTU9/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 状态方差传播方程 因为 xk+1 − xk+1 = Φk+1,k[xk − xk)] + Γk[wk − wk] 所以 Pk+1 = E[xk+1 − xk+1][xk+1 − xk+1] T = Φk+1,kPkΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k +Φk+1,k[xk − xk][wk − wk] TΓ T k +Γk[wk − wk][xk − xk] TΦ T k+1,k 考虑到 (8)，最后可得 Pk+1 = Φk+1,kPkΦ T k+1,k + ΓkQkΓ T k (12) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 9 / 39
统计分析离散时间随机系统基本分析状态（自）协方差方程记Pk,j = cov[rk, r]当k≥i时，因为k=+i-1i-1=1=致=+Z+1i-1Wi-1=Pki=ET-Φk,ET=kPi=ΦkiP所以ΦkjPjiifk≥j(13)PkjPAOT.if k<jQaProfYCaXITu202010/39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 离散时间随机系统基本分析 统计分析 状态 (自) 协方差方程 记 Pk,j = cov[xk, xj ] 当 k ≥ j 时，因为 xk = Φk,jxj + X k i=j+1 Φk,iΓi−1wi−1 ⇒ ¯xk = Φk,j¯xj ˚xk = Φk,j˚xj + Pk i=j+1 Φk,iΓi−1wi−1 Pk,j = E˚xk˚x T j = Φk,jE˚xj˚x T j = Φk,jPj,j = Φk,jPj 所以 Pk,j = Φk,jPj if k ≥ j PkΦ T j,k if k < j (13) Prof.Yuan-Li Cai (XJTU) Linear Optimal Filtering Spring 2020 10 / 39