三收敛定理下面的定理称为傅里叶级数收敛定理定理15. 3 若以2元为周期的函数在[-元,元]上按段光滑，则在每一点x的左，右极限的算术平均值，即I(x+0) + f(x- 0) _ % + Z(a, cos x + b, in mx)22n=1其中an,bn为 的傅里叶系数若的导函数在[a,b]上续，则称f 在[a,b]上光滑。但若定义在a,b上除了至多有有限个第一
若 的导函数在[a,b]上续，则称 在[a,b]上光 滑。但若定义在[a,b]上除了至多有有限个第一 三 收敛定理 定理15.3 若以 为周期的函数 在 上按段光滑，则在每一点x的左，右极限的算术平 均值，即 ( cos sin ) 2 2 ( 0) ( 0) 1 0 a nx b nx f x f x a n n = + n + + + − = 2 [−, ] 下面的定理称为傅里叶级数收敛定理 f f f 其中 an bn , 为 f 的傅里叶系数
类间断点的函数f的导函数f在「a,bl上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上的导函数的左右极限存在，则称在[a,b]上按段光滑。根据上述定义，若函数在[a,b]上按段光滑，1则有如下性质：1 在「a，b上可积2 f在[a,b]上每一点都存在 f(x土O)，且有f(x+t)- f(x+0)1= f(x+0)lim t-→0+t(13)f(x-t)-f(x-0)lim f(x-0)tt→0+
类间断点的函数 的导函数 在[a,b]上除了至 多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上的 导函数的左右极限存在，则称 在[a,b]上按段 光滑。 ' f 根据上述定义，若函数 在[a,b]上按段光滑， 则有如下性质： 1 在[a,b]上可积。 2 在[a,b]上每一点都存在 f (x 0) ,且有： ( 0) ( ) ( 0) lim ( 0) ( ) ( 0) lim ' 0 ' 0 = − − − − = + + − + + + → → f x t f x t f x f x t f x t f x t t （13） f f f f f
3在补充定义f'在[a,bl上那些至多有限个不存在f'点上的值后（记为f），在「a,b」上可积推论：若是以2元为周期的连续函数，且在[一元,元]上按段光滑，则的傅里叶级数在（-,)上收敛于例1 设0≤x≤元xf(x)二10-元<x<0求的傅里叶级数展开式
求 的傅里叶级数展开式。 推论：若 是以2 为周期的连续函数，且在 上按段光滑，则 的傅里叶级数在 上收敛于 3 在补充定义 在[a,b]上那些至多有限个不存 在 点上的值后（记为 ），在[a,b]上可积。 ' f ' f ' f [−, ] ( , ) − 例1 设 0 ( ) 0 0 x x f x x = − f f f
解：函数f及其周期延拓后的图象如图15-3所示。显然是按段光滑的，故由定理15.3（收敛定理），它可以展开成傅里叶级数。由于元_ f(x)dx = -% =二 ["xdx =2元 Jo元 当 n≥1 时f(x)cos nxdx福an =元x cos nxdxC
当 时 解：函数 及其周期延拓后的图象如图15-3 所示。显然 是按段光滑的，故由定理15.3（收 敛定理），它可以展开成傅里叶级数。由于 2 1 ( ) 1 0 0 = = = − a f x dx xdx n 1 f f 0 1 ( )cos 1 cos a f x nxdx n x nxdx − = =
1[" sin nxdxxsin nxn元n元1cos nx2n~元1(cos nx - 1)2n'元2当n是奇数时2元-u[0当n是奇数时
0 0 2 0 2 2 1 1 sin | sin 1 cos | 1 (cos 1) 2 0 x nx nxdx n n nx n nx n u = − = = − = − 当n是奇数时 当n是奇数时