证：由定理条件，函数f在「-元,元1上连续且可积。对（9）式逐项积分得(" f(x)dx7αZ(a, I", cos nxdx + b, J", sin nxdx)Idx +2?n=1由关系式（6）知，上式右边括号内的积分都等于零。所以ao[", f (x) dx =×2元= a元2
证：由定理条件，函数f在 [−, ] 上连续且 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n f x dx a dx a nxdx b nxdx − − − − = = + + 由关系式（6）知，上式右边括号内的积分都 等于零。所以 可积。对（9）式逐项积分得 0 ( ) 2 2 a f x dx − = = a0
即得ao = - I" f(x) dx现以coskx 乘（9）式两边（k为整数），得f(x)cos kx8aoZ(a, cos nx cos kx + b, sin nx cos ka) (11) cos kx +2n=1从第十三章S1习题4知道，由级数（9）一致
即得 0 1 a f x dx ( ) − = 现以 cos kx 乘（9）式两边（k为整数），得 ( ) 0 1 ( )cos cos ( cos cos sin cos ) 11 2 n n n f x kx a kx a nx kx b nx kx = = + + 从第十三章§1习题4知道，由级数（9）一致
收敛，可推出级数（11）也一致收敛。于是级数（11）逐项求积，有 f(x)cos kxdx8ao7(a,)cos kxdx +cos nx cos kxdx2元Tn=l元+ b.sin nx cos kxdx)n元由三角函数的正交性，右边除以αk为系
收敛，可推出级数（11）也一致收敛。于是级数 （11）逐项求积，有 0 1 ( )cos cos ( cos cos 2 sin cos ) n n n f x kxdx a kxdx a nx kxdx b nx kxdx − − − = − = + + 由三角函数的正交性，右边除以 ak 为系
(" cos2 kx dx = 元 外,数的那一项积分其他各项积分都等于0，于是得出：["_ f(x)cos kxdx =a,元(k =1,2,...),即a, =-}, f(x)cos kxdx(K=1, 2, ..),元J-元同理，（9）式两边乘以sinkx,，并逐项求积，可得h=二f(x)sinkx dx (k =1,2,.)2
2 cos kx dx − = 外， 其他各项积分都等于0，于是得出： ( )cos ( 1,2,.), k f x kxdx a k − = = 即 − = a f x kxdx k ( ) cos 1 (K=1,2,.), 同理，（9）式两边乘以sinkx,并逐项求积，可得 1 ( )sin ( 1,2,.) k b f x kx dx k − = = 数的那一项积分
一般地说，若f是以2元为周期且在「一元,元]上可积的函数，则可按公式（10）计算出b，它们称为函数，（关于三角函数系）%积里叶级数，以的傅单叶系数为系数的三角级数（9）称为（关于三角级数系）的傅里叶级数记作ao(a, cos nx + b, sin nx)(12)Z(f (x).2n=1
一般地说，若f是以 为周期且在 [−, ] 上可积的函数，则 可按公式（10）计算出 n b ，它们称为函数 （关于三角函数系）的傅 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 12 2 n n n a f x a nx b nx = + + （ ） 里叶级数，以 的傅里叶系数为系数的三角级数 （9）称为 （关于三角级数系）的傅里叶级数， 记作 2 n a 和 f f