第二章函数基本近(一 插值逼近 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
1 上一页 下一页 第二章 函数基本逼近(一) -----插值逼近
当精确函数y=f)非常复杂或未知时 在一系列节点 处测得函数值 yo=fo) 八(xn) 由此构造一个简单易算的近似函数g(x)≈fx), 满足条件 g(x)=f(x;)(i=0,……,n) 这里的g(x)称为(x)的插值函数。 最常用的插值函数是多项式 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
2 上一页 下一页 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时， 在一系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0 ), …, yn = f(xn )， 由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) f(x)， 满足条件 g(xi ) = f(xi ) (i = 0, …, n) 这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是 多项式 …?
g(x)≈f(x) x copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
3 上一页 下一页 x0 x1 x2 x x3 x4 g(x) f(x)
§1拉格朗日多项式/ Lagrange Polynomial ⊙ 求n次多项式P(x)=a0+a1x+…+anx"使得 Pn(x1)=y;,i=0, 条件:无重合节点,即≠jx1≠x 称为拉氏基函数 * Lagrange Basis"l,GE 满足条件(x)=n/ Kronecker Delta 可贴r1xAA、x 两点的直线。 →R(x=B少1-(x-xn) xo /+/七 xixo n=∑(x)y lo(x) l1(x) 4 copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
4 上一页 下一页 §1 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */ Pn ( xi ) = yi , i = 0, ... , n 求 n 次多项式 使得 n Pn (x) = a0 + a1 x ++ an x 条件：无重合节点，即 i j xi x j n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1 (x) = a0 + a1 x 使得 1 0 0 1 1 1 P ( x ) = y , P ( x ) = y 可见 P1 (x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1 , y1 ) 两点的直线。 ( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 x x x x y y P x y - - - = + 0 1 1 x x x x - - 1 0 0 x x x x - - = y0 + y1 l0 (x) l1 (x) = = 1 0 ( ) i i x yi l 称为拉氏基函数 /* Lagrange Basis */， 满足条件 l i (xj )=ij /* Kronecker Delta */
n≥1希里找到(),i=0,…,n使得(x);然后令 P2(x)=∑(x),则显然有Pn(x)=y )每 与节点有关,而与∫无关 Lagrange Polynomial Li(i) (x1=x) C-x (x)=∏ -x) I→E(x)=∑l copyright@湘潭大学数学与计算科学学院 上一真下一真
5 上一页 下一页 n 1 希望找到l i (x)，i = 0, …, n 使得 l i (xj )=ij ；然后令 = = n i n i i P x l x y 0 ( ) ( ) ，则显然有Pn (xj ) = yj 。 l i (x) 每个 l i 有 n 个根 x0 … xi … xn = = - - - = - n j j i li x Ci x x x xi x xn Ci x xj 0 ( ) ( 0 )...( )...( ) ( ) - = = j i i j i i i x x l x C ( ) 1 ( ) 1 = - - = n j j i i j j i x x x x l x 0 ( ) ( ) ( ) = = n i n i i L x l x y 0 ( ) ( ) Lagrange Polynomial 与节点 有关，而与 f 无关