f"(0)(0)f(x) = f(0)+ f'(0)x一Y2!k!.+c,xh,= C +Cx+c,x?即多项式函数的幂级数展开式就是它本身例3 求函数f(x)=er 的幂级数展开式解 由于 f(n)(x)=e*,f(n)(0)=1(n=1,2,.),因此 feor,xn+1(0 ≤0≤1)的拉格朗日余项为R,(x)=(n +1)!显见返回前页后页
前页 后页 返回 = + + + + ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! k k f f f x f f x x x k 即多项式函数的幂级数展开式就是它本身. 例3 求函数 f (x) = e x 的幂级数展开式. 解 ( ) ( ) ( ) e , (0) 1( 1,2, ), n x n 由于 f x f n f = = = 因此 e 1 ( ) (0 1). ( 1)! x n R x x n n + = + 的拉格朗日余项为 显见 = + + + + 2 0 1 2 , k k c c x c x c x
ellynt[R,(x)<(n+1)!y=et6对任何实数x,都有4elxl(n=2)[ x [+1= 0,lim2n- (n + 1)!(n= 0)1因而 lim R,(x)= 0.02 x1n->00n=3-2 F由定理14.11得到11e* =1+-.n"+..*,x e(-00, +00)x+r1!2!n!前页后页返回
前页 后页 返回 | | e 1 | ( ) | | | . ( 1)! x n R x x n n + + 对任何实数 x, 都有 | | e 1 lim | | 0, ( 1)! x n n x n + → = + → n = n 因而 lim ( ) 0. R x 由定理 14.11得到 1 1 1 2 e 1 , ( , ). 1! 2! ! x n x x x x n = + + + + + − + ( ) n = 0 ( ) n = 3 ( ) n = 2 e x y = −1 O 1 x 2 2 4 6 −2 y