定理14.11设f在点x。具有任意阶导数，那么f在区间(x。-r,x。+r)上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式lx-xkr的x，有lim R,(x) = 0,n>8这里R,(x)是f在点x泰勒公式的余项本定理的证明可以直接从第六章83泰勒定理推出如果f能在点x,的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数f在点x的这一邻域内可以展开成泰勒级数，并称等式后页返回前页
前页 后页 返回 定理14.11 设 f 在点 0 x 具有任意阶导数, 那么 f 在 区间 0 0 ( , ) x r x r − + 上等于它的泰勒级数的和函数的 0 充分条件是: 对一切满足不等式 | | x x r − 的 x , 有 lim ( ) 0, n n R x → = ( ) R x n 0 这里 是 x f 在点 泰勒公式的余项. 本定理的证明可以直接从第六章§3泰勒定理推出. 如果 f 能在点 0 x 的某邻域上等于其泰勒级数的和函 数, 则称函数 f 在点 0 x 的这一邻域内可以展开成泰 勒级数, 并称等式
f(x)= f(x)+ f(x)(x-x,) + "(x))+..2!+"(x)(4)x-xo)"+..n!的右边为f在x=x,处的泰勒展开式，或幂级数展开式.由级数的逐项求导性质可得：8若f为幂级数Za,x"在收敛区间(-R, R)上的和函n=0数，则Za,x"就是f 在(-R,R)上的泰勒展开式,n=0后页返回前页
前页 后页 返回 = + − + − + 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ! f x f x f x f x x x x x 的右边为 f 在 0 x x = 处的泰勒展开式, 或幂级数展 开式. 由级数的逐项求导性质可得: 0 n n n a x = 若 f 为幂级数 在收敛区间 ( , ) −R R 上的和函 0 n n n a x = 数, 则 就是 f 在 ( , ) −R R 上的泰勒展开式, + − + ( ) 0 0 ( )( ) (4) ! n n f x x x n
即幂级数展开式是惟一的在实际应用上，主要讨论函数在x。=0处的展开式这时(3）式就变成f"(0)f(0) + F(0)(0)X++2!1!n!称为麦克劳林级数从定理14.11知道，余项对确定函数能否展开为幕级数是极为重要的，下面我们重新写出当x=0时的后页返回前页
前页 后页 返回 即幂级数展开式是惟一的. 在实际应用上, 主要讨论函数在 0 x = 0 处的展开式, 这时(3)式就变成 ( ) 2 (0) (0) (0) (0) , 1! 2! ! n n f f f f x x x n + + + + + 称为麦克劳林级数. 从定理14.11知道, 余项对确定函数能否展开为幂级 数是极为重要的, 下面我们重新写出当 0 x = 0 时的
积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项，以便于后面的讨论.它们分别是R,(x) -_* y(a(0)(x-1)"d,n!Jo1(5)x"+1,5在0 与x之间,R,(x) :(n+1)f(n+)(0x)(1-0)"xn+1,0 ≤0≤1.L后页返回前页
前页 后页 返回 积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项, 以便 于后面的讨论. 它们分别是 ( 1) 0 1 ( ) ( )( ) d , ! x n n R x f t x t t n n + = − 1 ( 1) 1 ( ) ( ) , 0 , ( 1)! n n R x f x x n n + + = + 在 与 之间 1 ( 1) 1 ( ) ( )(1 ) ,0 1. ! n n n R x f x x n n + + = −
二、初等函数的幂级数展开式例2求k次多项式函数f(x) =Co +cx+cx? +.ix的幂级数展开式解由于n!Cn'n<k,(0) =0,n>k,总有 limR,(x)=0,因而n>00后页返回前页
前页 后页 返回 二、初等函数的幂级数展开式 例2 求k次多项式函数 2 0 1 2 ( ) k k f x c c x c x c x = + + + + 的幂级数展开式. 解 由于 ( ) ! , , (0) 0, , n n c n k n f n k = lim ( ) 0, n n R x → 总有 = 因而