对上面例的分析,可以看到,无论一个正数取得多么 小,总可以找到自然数n,在这项以后的所有项与1的距 离都可以小于该数.数学上用E来表示一个任意小的正 数.由此得到极限的精确定义:
对上面例的分析，可以看到，无论一个正数取得多么 小，总可以找到自然数 n，在这项以后的所有项与 1的距 离都可以小于该数．数学上用 ε 来表示一个任意小的正 数．由此得到极限的精确定义：
3极限的定义 定义设数列(xn)n1,如果存在常数a,使得对任意给 定的正数E(不论它多么小),总存在自然数N,只要N>n, 不等式 x-a<e 都成立,那么称常数a是数列(xn)=1的极限,,或则 称数列(xn)n1收敛于a,记为 Im a n→00
3.极限的定义 定义 设数列 ，如果存在常数a，使得对任意给 定的正数ε (不论它多么小)，总存在自然数N，只要N>n, 不等式 ( ) n n 1 x ∞= n x a− <ε lim , n n x a →∞ = 都成立，那么称常数a 是数列 的极限，，或则 称数列 收敛于a，记为 ( ) n n 1 x ∞= ( ) n n 1 x ∞=
或则 →>a(n→> 如果这样的常数a不存在,就说数列没有极限,或称数 列是发散的 注定义中的正数是一个任意小的数,不能把它和 个很小的数混为一谈 注定义中的自然数N,实际上是某一项的序号, n>N, 表示自该项以后的所有项
或则 ( ) nx a → →n ∞ 如果这样的常数a 不存在，就说数列没有极限，或称数 列是发散的． 注 定义中的正数ε是一个任意小的数，不能把它和一 个很小的数混为一谈． 注 定义中的自然数N，实际上是某一项的序号， n>N， 表示自该项以后的所有项．
4数列极限的几何意义 设数列(x)。收敛于a,则由定义,对任意给定的正 数6,一定存在正整数N,当n>N时,所有的x都落在 一个以a为中心,E为半径的空心邻域中 000000000000 00 a-8 a+a
4.数列极限的几何意义 设数列 收敛于a，则由定义，对任意给定的正 数ε，一定存在正整数N，当 n>N 时，所有的 xn 都落在 一个以 a 为中心， ε 为半径的空心邻域中． ( ) n n 1 x ∞= a-ε a a+ε x1 x2 x3 xN+1 xN+2 xN+3 xN x
数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法 即对给定的任意正数,去寻找满足不等式的N.寻找 办法是从rnl经过不等式的变形,逐步解出N
数列极限的定义实际上也给出了证明极限的方法： 即对给定的任意正数 ε，去寻找满足不等式的 N．寻找 办法是从 |x n - a| 经过不等式的变形，逐步解出 N．