引理的证明 对[a,b]作分划序列 a=x0<x<x2<…<x(a)=bn=1,2,3, 70|=max(x22-xm):1≤i≤k lim T=0 n→)00 作函数列 :x∈ 0 x是7()的分点 i=1.2.3.….k n=1.2.3. 5n5
lim | | 0 | | max{ : 1 } ( ) ( ) 1 ( ) ( ) = = − → − n n n n i n i n T T x x i k 作函数列 1,2,3,, , 1,2,3, 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) = = − = − i k n x T M m x x x x n n n i n i n i n i T n 是 的分点 T (n) : a = x0 (n) x1 (n) x2 (n) xk (n n ) = b n =1,2,3, 对 [a,b]作分划序列 xi-1 xi 引理的证明
引理的证明 令E={xEa6]:x是7(m=123…)分点 则mE=0,且mnOo2(x)=0(x),x∈[61-E n→0 令A,B为f(x)在ab上的上、下确界, 则对一切n有|Onm(x)B-A由控制收敛定理可知 n)0a,b7(m) (r)dx=l, a(x)dx Ja, bl
引理的证明 m E x x x a b E E x a b x T n n T n n = = − = = → 0, lim ( ) ( ), [ , ] { [ , ]: ( 1,2,3, ) }, ( ) ( ) 则 且 令 是 的分点 则对一切 有 由控制收敛定理可知 令 为 在 上的上、下确界， | ( )| , , ( ) [ , ] n ( ) x B A A B f x a b n T − lim ( ) ( ) , [ , ] [ , ] ( ) = n→ a b T a b n x dx x dx xi-1 xi
引理的证明 n-)00 J[a, b] r(n(dx= o(x)dx a, 6] 另一方面 (n)( (x)dx=lim 2(Mm-m( )(( -xim n→>0a n→ ∑Mm(x0-x)-m∑m1(x0-x( n→0 从而结 I f(x)dx-f(x)dx 论成立
引理的证明 另一方面 lim ( ) ( ) , [ , ] [ , ] ( ) = → a b a b T n n x dx x dx f x dx f x dx M x x m x x b a b a n i n i k i n i n n i n i k i n i n n n ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) = − = − − − − = → − = → 从而结 论成立 xi-1 xi lim ( ) lim ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) [ , ] ( ) n i n i k i n i n i n a b T n x dx M m x x n n − = → → = − −
教材p-104有另一种证明 1 Riemann可积的内在刻画 定理:有界函数(x)在[a,b]上 Riemann i可积的 充要条件是x在b上的不连续点全体为零 测度集 证明:若fx) Riemann可积则fx)的 Darboux上、下积分相等, 从而[o(x)hx=f(x)drx-f(x)d=0, 又o(x)≥0ae.于[a,b, 故0(x)在[a,b上几乎处处为零
1.Riemann可积的内在刻画 定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的 充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零 测度集 教材p-104有另一种证明 从而 ( ) ( ) ( ) 0， [ , ] = − = x dx f x dx f x dx b a b a b a 证明：若f(x) Riemann可积,则f(x) 的 Darboux上、下积分相等， 故 在 上几乎处处为零。 又 于 ( ) [ , ] ( ) 0 . . [ , ], x a b x a e a b