第三章系统的数学模型u(t)例3-71如图所示的机电系统中，为输入电压，为输出位移。R和L分别为铁芯线圈的电阻与电感，m为质量块质量，k为弹簧刚度，c为阻尼器阻尼系数，功率放大器为理想放大器，增益为K。?线圈电流假定铁芯线圈反电动势为在质量块上产生的电磁力为并设全部初始条件为零。试列写该系统的输入输出微分方程。CMmLR功率放大器+i(t)u(t)O
第三章 系统的数学模型 例3－7 如图所示的机电系统中， 为输入电压， 为输出位移。R和L分别为铁芯线圈的电阻与电 感，m为质量块质量，k为弹簧刚度，c为阻尼器 阻尼系数，功率放大器为理想放大器，增益为K。 假定铁芯线圈反电动势为 ,线圈电流 在质量块上产生的电磁力为 ,并设全部初始 条件为零。试列写该系统的输入输出微分方程。 u(t) x(t) e k dx(t) dt = 2 i(t) ( ) 2 k i t R L u(t) i(t) + − m c c 功 率 放 大 器 x(t)
第三章 系统的数学模型di(t)对于电气系统：Ku(t) = Ri(t) + L+edtdx(t)dtdx(t)d'x(t)对于机械系统：k,i(t)Ymdt?dtx(t)CmR功率放大器O+i(t)u(t)O
第三章 系统的数学模型 对于电气系统： t x t e k e t i t Ku t Ri t L d d ( ) d d ( ) ( ) ( ) = 2 = + + 对于机械系统： 2 2 2 d d ( ) ( ) d d ( ) ( ) t x t k x t m t x t k i t − c − = ( ) ( ) k R t x t k cR k L t x t m R cL t x t k Ku t = m L + + + + + + d d ( ) d d ( ) d d ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 消去中间变量，并整理得 即为该系统的输入输出微分方程。 R L u(t) i(t) + − m c c 功 率 放 大 器 x(t)
第三章系统的数学模型例3一8试列写如图所示的电枢控制直流电动机的输入输出微分方程。电枢的输入电压u(为输入量，电动机转速の(t)为输出量，图中R、L分别为电枢电路的电阻和电感,M.(t)为折合到电动机轴上的总负载转矩，设激磁磁通Q为常值。解：对于电枢回路，设+o电枢旋转时产生的反电OR动势为E(t)，其大小+0i(t)与激磁磁通Q及转速负载u(t)ENJ,f成正比，方向与电枢电+压相反? E(t) = Qの(t)
第三章 系统的数学模型 例3－8 试列写如图所示的电枢控制直流电动机 的输入输出微分方程。电枢的输入电压 为输 入量，电动机转速 为输出量，图中R、L分 别为电枢电路的电阻和电感， 为折合到电动 机轴上的总负载转矩，设激磁磁通 为常值。 u(t) (t) M (t) c Q 负 载 L R u(t) i(t) + − SM f i − + E − + J , f 解：对于电枢回路，设 电枢旋转时产生的反电 动势为 ，其大小 与激磁磁通 及转速 成正比，方向与电枢电 压相反E(t) Q E(t) = Q(t)
第三章系统的数学模型di(t)根据基尔霍夫定律，得：u(t)=+ Ri(t) + E(t)dt对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为M(t），电动机的转矩系数为C。，则电磁回路的转矩方程Mm(t)=Ci(t)对于负载而言，设是电动机折合到电动机轴上的粘性摩擦系数，J是电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量，则电动机轴上的转矩平衡方程为d(t)+ fo(t) = Mm(t) - M.(t)dt消去中间变量，得到电枢控制直流电机微分方程d'o(t)dM.(t)do(t)JL-(JR+ fL)+ RM.(t)(fR+ C,O)o(t)= C,u(t)-df?dtdt
第三章 系统的数学模型 对于负载而言，设f是电动机折合到电动机轴上的 粘性摩擦系数，J是电动机和负载折合到电动机轴 上的转动惯量，则电动机轴上的转矩平衡方程为 ( ) ( ) ( ) d d ( ) f t M t M t t ω t J + = m − c 消去中间变量，得到电枢控制直流电机微分方程 ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) 2 2 RM t t M t f R C Q t C u t L t t JR f L t ω t JL c c + + + + e = e − + Ce M (t) C i(t) m = e M (t) m 对于电磁回路，设电枢电流产生的电磁转矩为 ，电动机的转矩系数为 ，则电磁回路的 转矩方程 根据基尔霍夫定律，得： ( ) ( ) d d ( ) ( ) Ri t E t t i t u t = L + +
第三章系统的数学模型在工程应用中，由于电枢电路电感L较小，通常忽略不计，因而上式可简化为Tdo()+(t) = K,u(t) - K,M.(tdtT=JR/CfR+C.O)是电动机的时间常数K,=C/fR+C.Q）K,=R/fR+CQ是电动机传递系数如果电枢电阻R和电动机的转动惯量J都很小，可忽略不计时，上式还可进一步简化为Qw(t) = u(t)这时，电动机的转速の(t)与电枢电压u(t)成正比，于是，电动机可作为测速发电机使用
第三章 系统的数学模型 Q(t) = u(t) T JR ( fR C Q) = + e ( ) K1 = Ce fR +Ce Q ( ) K2 = R fR +Ce Q 是电动机的时间常数 是电动机传递系数 如果电枢电阻R和电动机的转动惯量J都很小， 可忽略不计时，上式还可进一步简化为 这时，电动机的转速 (t)与电枢电压 u(t)成正 比，于是，电动机可作为测速发电机使用。 ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 2 t K u t K M t t t T + = − c 在工程应用中，由于电枢电路电感L较小，通常 忽略不计，因而上式可简化为