第三章系统的数学模型3.2系统的传递函数3.2.1传递函数的基本概念对线性定常系统，若输入为x,(t)，输出为x(t)，系统微分方程的一般形式可表示为dm-lx;(t)d"-lx.(t)d"x。(t)d"x,(t)5.+box,(t).+aox(t)=bd27dt m-1dtndtn-1dtm在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件x,(O_)，x;(0_),，x(m-l)(O_）和x(0_)，x(0_),"，x(n-1)(0_)均为零时U拉氏变换微分性质--sm-I +...+bo)X,(s-jsn-- +...+ao)X.(s)=(bms" + bm-la,s"+an-
第三章 系统的数学模型 3.2 系统的传递函数 3.2.1传递函数的基本概念 对线性定常系统，若输入为 ，输出为 ，系 统微分方程的一般形式可表示为 x (t) i x (t) o ( ) d d ( ) d d ( ) ( ) d d ( ) d d ( ) 1 0 1 1 0 1 1 1 b x t t x t b t x t a x t b t x t a t x t a m i i m m m i m n o m o n n n o n n + + + = + + + − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 1 1 a s a s a X s b s b s b X s i m m m o m n n n n + + + = + + + − − − − 在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、 输出的初始条件 (0 ) (0 ) (0 ) ( 1) − − − − m i i i x ，x ，，x (0 ) (0 ) (0 ) ( 1) − − − − n o o o x ，x ，，x 和 均为零时 拉氏变换微分性质
第三章系统的数学模型定义：在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统（环节或元件）输出x（t)的拉氏变换X。(s)与输入x,(t)的拉氏变换X,(s)之比，称为系统（环节或元件）的传递函数，用G(s）表示，L[x (t)]b..s" +bm-jsm-1 +...+boX.(s)mG(s) =n≥mL[x, (t)]a,s" +an-sn-l +...+ aoX,(s)方框图表示X,(s)X(s)X.(s) =G(s)X,(s)G(s)
第三章 系统的数学模型 在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零 时，线性定常系统（环节或元件）输出 的拉 氏变换 与输入 的拉氏变换 之比，称 为系统（环节或元件）的传递函数，用 表示。 x (t) o X (s) o x (t) i X (s) i G(s) n m a s a s a b s b s b X s X s L x t L x t G s n n n n m m m m i o i + + + + + + = = = − − − − 0 1 1 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X (s) G(s)X (s) o = i 定义： X (s) i G(s) X (s) o 方框图表示
第三章系统的数学模型传递函数具有如下一些主要特点：(1)传递函数的分母反映了系统的固有特性；传递函数的分子反映了系统与外界之间的联系。(2)传递函数分母中s的阶次n不会小于分子中s的阶次m，即n≥m。(3)传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的。(4)初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏逆变换完全取决于系统的传递函数。(5)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。(6)传递函数适用于对单输入、单输出的线性定常系统的动态特性进行描述
第三章 系统的数学模型 (1)传递函数的分母反映了系统的固有特性；传递 函数的分子反映了系统与外界之间的联系。 传递函数具有如下一些主要特点： (2) 传递函数分母中s的阶次n不会小于分子中s的 阶次m，即n≥m。 (3) 传递函数可以有量纲，也可以是无量纲的。 (5) 物理性质不同的系统、环节或元件，可以具 有相同类型的传递函数。 (6) 传递函数适用于对单输入、单输出的线性定 常系统的动态特性进行描述。 (4) 初始状态为零时，对于给定的输入，系统输 出的拉氏逆变换完全取决于系统的传递函数
第三章系统的数学模型3.2.2传递函数的零点、极点和放大系数系统的传递函数G(s)通过因式分解后可以写成：K(s - z)(s- z2)...(s - zm)G(s) =K为常数(s - p)(s- p2)..·(s - pn)零点：G(s)=0的根Z1,Z2…,Zm为传递函数G(s)的m个零点。极点：lim G(s)= 8o的根。s→piPi，P2.……,P,为传递函数G(s)的n个极点。传递函数的极点就是系统微分方程的特征根
第三章 系统的数学模型 3.2.2 传递函数的零点、极点和放大系数 系统的传递函数G(s) 通过因式分解后可以写成： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z G s − − − − − − = K为常数 零点： G(s)＝0的根。 z1 ,z2 ,.,zm为传递函数G(s)的m个零点。 = → lim G(s) pi s 极点： 的根。 p1 , p2 ,., pn 为传递函数G(s)的n个极点。 传递函数的极点就是系统微分方程的特征根
第三章系统的数学模型用拉氏变换求解系统的微分方程可得系统的瞬态响应分量：ept, e" sin ot, e cosot其中，p和＋ jの是系统传递函数的极点，也就是系统微分方程的特征根。假定所有极点是负数或具有负实部的复数，即p<0S<0时，瞬态分量将趋近于零。此时，系统稳定。系统是否稳定由系统的极点性质所决定当系统的输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能
第三章 系统的数学模型 用拉氏变换求解系统的微分方程可得系统的瞬态 响应分量： ， pt e e t t sin e t t ， cos 其中，p和 + j 是系统传递函数的极点，也就是 系统微分方程的特征根。 p 0 0 假定所有极点是负数或具有负实部的复数，即 时，瞬态分量将趋近于零。此时，系统稳定。 系统是否稳定由系统的极点性质所决定。 当系统的输入信号一定时，系统的零、 极点决定着系统的动态性能