§4.9半平面体在边界上受集中力 计算模型 1.计算简图 p 单位厚度的受力体一个边界为平 面,而在平面以下为无限大的物 体。略去体力分量,取单位厚度 上所受力为P,应用逆解法求{a} 2.边界条件 0 如如=0 二.拉梅麦克斯方尔直角坐标方程 1.主应力迹线坐标系 主应力G1和a2正交,两个主力 的迹线可以构成正交坐标系 G转到a2逆针向为正而且o增加逆针向转时为S正向
§4.9 半平面体在边界上受集中力 一. 计算模型 p 单位厚度的受力体一个边界为平 面，而在平面以下为无限大的物 体。略去体力分量，取单位厚度 上所受力为P，应用逆解法求{σ}。 1. 计算简图 2.边界条件 0, 0 2 2 = = = = r 二. 拉梅—麦克斯韦尔直角坐标方程 1. 主应力迹线坐标系 主应力 正交，两个主力 的迹线可以构成正交坐标系 1 和 2 S2 O X Y 1 2 o x φ y 1 转到 2 逆针向为正而且增加逆针向转时为S正向 1 s
2.主应力坐标下的方程 do 十 OIx=O ax (1) # 0,+o (2 △ 根据斜方向上的应力公式的 △中香 +出a Σ+△cos2y) On=(2-△cos2p (3) sIn 图作厅在出边长力形体元上的力 把(3)式代入(1)式得
2. 主应力坐标下的方程 根据斜方向上的应力公式 1 2 1 2 = − = + （2） = = − = + sin 2 2 ( cos 2 ) 2 1 ( cos 2 ) 2 1 xy y x （3） （1） = 0 + x y x yx = 0 + x y xy y 把（3）式代入（1）式得
O∑A 0p,O△ +-cos2小-2△sn2p-++ p sin2小+2△xcos2小=0 若小=0,则cos2=1,sn2=0,ax=ds1,dy=ds2 (+△),2△p 0 (5) S p O中1 则有 S 00y+p2 0 (6a) 同理o2+1-2=0 (6b) ￥无限平面受法向集中力的应力计算 直线=±与小=0上zm=0显然它们是主应力迹线 另一组主应力迹线与其正交,故必为一组半圆弧
cos 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 2 = 0 + + − + x x x y y 1 2 若 = 0，则cos2 =1,sin 2 = 0,dx = ds ,dy = ds 0 ( ) 2 1 2 = + + s s (5) 2 2 1 = ds 则有 0 2 1 2 1 1 = − + s (6a) 0 1 1 2 2 2 = − + s 同理 (6b) 三. 半无限平面受法向集中力的应力计算 直线 0 0 2 = = = 与 上 显然它们是主应力迹线 另一组主应力迹线与其正交，故必为一组半圆弧 p o x φ y
1→>∞,平衡方程变为 (7a) dp (7b) pao 由(7b)o=f(0 图5.3在不问截下弯的应力条校图 根据边界条件 0知道σ=f(p)=0 小中=士受 KK D p x向平衡∫σ pp cos do=F x/2 图2.9沧应力较四与先罩应力条位图的比 2F K COS
0 2 = − + (7a) = 0 (7b) cos K D K − = = − = − d = F / 2 / 2 cos 由（7b） (), = f 根据边界条件 0 2 = = 知道 = f () = 0 cos 2F = − 1 →, 平衡方程变为 X向平衡 2 K =
2F cOS P (4-22) 此时:1)半平面内σ的分布规律一等应力圆 极坐标中圆方程:p= Dcos o 2F 而 nD (o 2){o解答采用直角坐标表示 2=TIlorI m‖6 0 00‖-ml
此时：1）半平面内 的分布规律 —等应力圆 极坐标中圆方程： = Dcos , ( 0) 2 = − = = DF 而2）解答采用直角坐标表示 T T −1 = = = = = − 0 2 cos F （ 4 -22 ） − − = m l l m m l l m yx y x xy 0 00