安徽建筑工业学院：《弹性力学》第七章 空间问题的基本理论

第七章空间问题的基本理论 §7-1平衡微分方程 应力分量: oo 2 XY2 XZ xz sVZ 体力分量: J T yx {X}={X;Y;z} 在物体内的任意一点P,取PA=dx,PB=dy,PC=dz,割 取一平行六面体,研究应力逐点变化的规律

x y z  x  y  z  xy yx yz  zy  zx xz 第七章 空间问题的基本理论 §7-1平衡微分方程 应力分量： {}={x ;y ;z ;xy;xz ;yz} 体力分量： {X}={X;Y;Z} 在物体内的任意一点P，取PA=dx，PB=dy，PC=dz，割 取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律

O.+ dz az +--dy A dx 根椐平衡条件:∑F=0 o +x dx dyd=-odyd=+(Tx+a dy )dxd=-tyndxdr ax +(r o1 d- )dxdy-T dxdy+ Xdxdydz=0

 xy  xz  yx  zx  yz  zy x  y z dy y y y   +   dz z z z   +   dx x x x   +   dy y yx yx   +   x y z 0 dy y yz yz   +   dz z zy zy   +   dz z zx zx   +   dx x xzx xz   +   Z X Y 根椐平衡条件： Fx = 0 ( ) 0 ( ) − + =   + + −    − + +        + dz dxdy dxdy Xdxdydz z dy dxdz dxdz x dx dydz dydz x z x z x z x yx yx x yx x x         

由∑F=0和∑F=0可得类似表达式,整理并两边除以 dxdydz,注意到剪应力互等关系,得: 00:,0Ix01+X=0 Ox av az OznOσ,Ozwo +Y=0(7-1) Ox at ot ao z 一由对三根轴的合力矩分别为零,可证明剪应力互等 (7-1)为空间问题的平衡方程 独力未知函数为6个,平衡方程数目为3个,问题是超 静定的。须考虑几何、物理方面关系

由：Fy = 0和Fz = 0 可得类似表达式，整理并两边除以 dxdydz ，注意到剪应力互等关系，得： + = 0  +  +     X x y z  x  yx  z x + = 0  +  +     Y x y z  xy  y  z y + = 0  +  +     z x y z  xz  yz  z （7-1） 由对三根轴的合力矩分别为零，可证明剪应力互等。 （7-1）为空间问题的平衡方程。 独力未知函数为6个，平衡方程数目为3个，问题是超 静定的。须考虑几何、物理方面关系

§72几何及物理方程 几何方程 平面问题中,通过研究度oy平面内平行于x轴、y轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程,若用同样的方法分 析02、O不两平面内相应线元的变形,可得类似的方程 在小变形情况下,在推导过程中,忽略第一次变形在以后 ●变形过程中的影响。可得下式 ou ax Ov?/yz ayaz (7-8) 如用矩阵表示:

§7-2几何及物理方程 平面问题中，通过研究度oxy平面内平行于x轴、y 轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分 析oyz、ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。 在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后 变形过程中的影响。可得下式：          +   =   +   =   +   =   =   =   = x w z u z v y w y u x v z w y v x u xy yz xz x y z       , , , , （7-8） 如用矩阵表示： 一、几何方程

应变列阵 E E 8. yyy y 几何方程: Oy a,aa a adult Ov ax a Oy az az ox (7-8)

    T x y z xy yz xz xz yz xy z y x              =                       应变列阵： =   T x w z u z v y w y u x v z w y v x u x w z u z v y w y u x v z w y v x u         +     +     +         =                                       +     +     +          = 几何方程： （7-8)