安徽建筑工业学院：《弹性力学》第四章 平面问题的极坐标解答（6/9）

与4.7簿板圖孔应力集中 孔边应力集中:孔边陈近区域应力发生局部增大的现象 特点:a孔边周围应力局部增大(应力重新分布) b集中是在一定范围内,是局部现 象,超过一定距离就无影响。 c集中同孔的形状有关,与孔的大小无关。 受力模型 1.模型:分析薄板(无限大)长度与高度>>孔径。 略去体力分量,试求{G}。孔半径a 巨薄板可采用直角坐标, p圆孔采用极坐标较方便。 研究孔问题采用极坐标

§4.7 薄板圆孔应力集中 一. 孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。 特点： a.孔边周围应力局部增大（应力重新分布） b.集中是在一定范围内，是局部现 象，超过一定距离就无影响。 c.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。 1. 模型：分析薄板（无限大）长度与高度>>孔径。 略去体力分量，试求{σ}。孔半径a。 a p 薄板可采用直角坐标， 圆孔采用极坐标较方便。 研究孔问题采用极坐标。 二. 受力模型

将薄板直边变换为圆边(采用极坐标方便) 取b>>a,以b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的 圆环研究 在半径为b的圆周上,各点受力状态都是两向 等拉状态,即σx=q,y→D,T2y=0,由坐标变换 式(4-7)求得及坐标下的应力分量。 p07 re m 10 0m I 2 +2t sin cos o=o sin o +o, cos -2t, sin o cos o (1) (o, - sin o cos o+I,(cos o-sin o)

将薄板直边变换为圆边（采用极坐标方便） 在半径为b的圆周上，各点受力状态都是两向 等拉状态，即x=q， y=p，xy=0，由坐标变换 式（4-7）求得及坐标下的应力分量。      = − + − = + − = + + ( )sin cos (cos sin ) sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin cos 2 2 2 2 2 2                            y x xy x y xy x y xy 取b>>a,以b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的 圆环研究       −             −  =      m l p l m m l r l m r r 0 0 0        （1）

2.应力边界条件 +coS 2o sin X y N a (b) ①p=b-0 0 ==+-cOS 22 = COS p sin

2. 应力边界条件 a p x y 0 A  q q q (a)    cos 2 2 2 p p = +    cos 2 2 2 p p = −   sin 2 2 p = −   = 0   = 0 ①  = b →  ②  = r y o x (b)   cos 2 2 2 p p = +   sin 2 2 p = −    cos 2 2 2 p p = −

三.极坐标下问题的平衡方程和相容方程 1.平衡方程 pp 0 dp pao (2) aLpe poo p 中 2= 0 O 2相容方程(00 2 )(on+6)=0 dp pdp pdo 2 即[(p)+n+a)=0(3 pdp ap p 四.求应力函数 根据远场应力的边界条件可以设三个应力分量可能 的形式分别为:

三. 极坐标下问题的平衡方程和相容方程 1. 平衡方程 = 0 − +   +               0 2 + =   +             2.相容方程 ( )( ) 0 2 2 2 2 2 + =   +   +            [ ( ) ]( ) 0 2 2 2 + =   +               即 四.求应力函数 根据远场应力的边界条件可以设三个应力分量可能 的形式分别为： （2） （3）

F(p)+f(p)cos 2g =G()+g()cos2中 (3) t=pb)2U SO 把(3)式分别代入(2)式得 p,+F-G+(,+f-g+2h)cos2=0 (p g+2h)sn20=0 (4) 4 (F+G)+,(F+G)+2(+g)+(f+g)-2(+g)c0n12p=0 pdp 由(4)式得到两组方程 第一组 (F+G)+-,(F+G)=0 (5) 1b+F-G=0

把（3）式分别代入（2）式得 由（4）式得到两组方程：   = F() + f () cos 2   = G() + g() cos 2   = h()sin 2 （3） + − + ( + − + 2 ) cos 2 = 0     f g h d df F G d dF( − 2 + 2 )sin 2 = 0   g h d dh F G） d d F G d d ( + ) + ( + 2 2    ( )] 2 0 4 [ ( ) ( ) 2 2 2 + + + − +  =     f g f g con d d f g d d + 第一组 + F − G = 0 d dF   ( ) ( 0 2 2 + + F + G）= d d F G d d    （4） （5）