款售角 利用公式证明闭包相等 20 证明：(s(R)=s((R) r(S(R))=r(RUR) =(RURUIA =(RUIA)U(ROIA1)(注意：IA=',并用等幂率) =(ROIAU(ROIA =S(RUOIA) =S((R) 注意：(s(R)一般省略为rs(R)
利用公式证明闭包相等 证明：r(s(R)) = s(r(R)) r(s(R)) = r(RR-1 ) = (RR-1 )IA = (RIA )(R-1IA -1 ) (注意：IA=IA -1 , 并用等幂率) = (RIA )(RIA ) -1 = s(RIA ) = s(r(R)) 注意：r(s(R))一般省略为rs(R)
用定义证明有关闭包的性质 证明：st(R)sts(R) 注意：左边是(R)的对称闭包，根据定义，我们只需证明： (1)ts(R)满足对称性，(2)t(R)三s(R) 证明(2)，考虑到左边是R的传递闭包，我们只需要证明： (①)Rcs(R)(显然)，(ts(R)满足传递性（显然）。 证明（①）：对任意(xy)∈s(R),3t,12,,tk,满足 (x,t)∈s(R),(G1,t2)∈s(R),,(tk,y)∈s(R),而s(R)满足 对称性，∴.(y,t)∈s(R),,(2,t)∈s(R),(41,x)∈s(R), 于是：(y,x)∈t(R),.t(R)满足对称性。 注意：传递关系的对称闭包不一定是传递的。比如：{(1,3)}
用定义证明有关闭包的性质 1 ( ) ;(2) ( ) ( ) ( ) ts R t R ts R t R （） 满足对称性 注意：左边是 的对称闭包，根据定义，我们只需证明： 证明：st(R) ts(R) 于是： 满足对称性。 对称性， 而 满足 证明 对任意 满足 显然 ， 满足传递性 显然 。 证明 考虑到左边是 的传递闭包，我们只需要证明： ( , ) ( ), ( ) ( , ) ( ),...,( , ) ( ),( , ) ( ), ( , ) ( ),( , ) ( ),...,( , ) ( ), ( ) (1): (x, y) ( ), , ,..., , (i) ( ) ( ) (ii) ( ) ( ) (2), 2 1 1 1 1 2 1 2 y x t s R t s R y t s R t t s R t x s R x t s R t t s R t y s R s R t s R t t t R t s R t s R R k k k 注意：传递关系的对称闭包不一定是传递的。比如：{(1,3)}