第一章测量与误差的基本知识测量与误差是一门专门的科学，深入研究它需要丰富的实验经验和厚实的数学基础。本章只介绍测量与误差、误差处理、有效数字、测量结果的不确定度评定等基本知识。这些知识不仅在每一个物理实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。第一节测量与误差1.1测量及其分类物理实验离不开对物理量进行测量，测量可归纳为直接测量和间接测量两类。直接测量：凡使用仪器和量具直接测得（读出）被测量的数值，这类测量为直接测量，如用电流表测电流，用温度计测温度等。间接测量：有些物理量常常需要根据一些理论公式，用直接测量的数据计算出被测物理量，这样的测量为间接测量。如对一段导线上的电阻可以采用直接测出流过它的电流1和其两端的电压U，根据欧姆定律R=，计算出电阻R，R的/测量即为间接测量。测量有时根据需要可分为单次测量和多次测量，不同的测量，误差的估算不一样。对一个物理量的测量过程就是寻找这个量的客观实际值的过程，理论证明待测量的客观实际值（真值）需经过无穷次测量后取平均值方可找到。考虑到实验仪器、测量方法、环境和测量者等因素的限制，单纯追求增加测量次数去寻找真值是没有意义的，所以使用任何仪器的任何一次测量，其结果都与真值有差异，这种差异就叫误差。实验总是根据所要求的精确度来制定方案、选用仪器的。在一定的要求下，还1
第一章 测 与误 识 量 差的基本知 测量与误差是一门专门的科学，深入研究它需要丰富的实验经验和厚实的数学 基础。本章只介绍测量与误差、误差处理、有效数字、测量结果的不确定度评定等 基本知识。这些知识不仅在每一个物理实验中都要用到，而且是今后从事科学实验 工作所必须了解和掌握的。 第一节 测量与误差 1.1 测量及其分类 物理实验离不开对物理量进行测量，测量可归纳为直接测量和间接测量两类。 直接测量：凡使用仪器和量具直接测得(读出)被测量的数值，这类测量为直接 测量，如用电流表测电流，用温度计测温度等。 间接测量：有些物理量常常需要根据一些理论公式，用直接测量的数据计算出 被测物理量，这样的测量为间接测量。如对一段导线上的电阻可以采用直接测出流 过它的电流 I 和其 两端的电压U ，根据欧姆定律 I U R = ，计算出电阻 R ，R 的 测量即为间接测量。 测量有时根据需要可分为单次测量和多次测量，不同的测量，误差的估算不一 样。 对一个物理量的测量过程就是寻找这个量的客观实际值的过程，理论证明待测 量的客观实际值(真值)需经过无穷次测量后取平均值方可找到。考虑到实验仪器、 测量方法、环境和测量者等因素的限制，单纯追求增加测量次数去寻找真值是没有 意义的，所以使用任何仪器的任何一次测量，其结果都与真值有差异，这种差异就 叫误差。 实验总是根据所要求的精确度来制定方案、选用仪器的。在一定的要求下，还 1
要以最小的代价来取得最好的结果，不能要求仪器越高级越好，环境条件（如恒温、恒湿）越稳定越好，测量次数越多越好等等，这样要求是不切实际或是浪费的。测量结果的误差是各个因素所引起的误差的总和。减少某些因素所引起的误差，可能代价较小；而减小另一些因素所引起的误差，所需的代价可能很大。为了提高测量的精确程度，往往是着力于减小某一两项主要的误差，于是，就要根据要求和误差的考虑进行合理的设计以及选择实验方案和仪器。实验的精华就在于此。1.2误差的基本知识前已讲述，在任何测量中，由于各种原因，测量值与客观实际值（称为真值）之间总是存在着差异。我们把测量值x与真值x。之差就称为测量值的绝对误差（简称误差）。记为4x(1-1-1)Ax'= x-x误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程始终。使用任何一种仪器，进行任何一次测量，都会引起误差。测量所根据的方法和理论越繁多，所用的仪器装置越复杂经历的时间越长，引进误差的机会可能性就越大。误差根据其性质分为两类：系统误差和偶然误差。1.2.1系统误差定义及分类系统误差是在同一被测量的多次测量过程中保持恒定或以可以预知变化的测量误差的分量.例如总是使测量结果向一个方向偏离，偏离数值是一定的或按一定规律变化的。它的来源有几个方面。①仪器误差：这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。如仪器零点不准，放大器非线性，照相底板的收缩，在20℃标定的标准电阻在30℃下使用等。②理论（方法）误差：这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性或实验条件不能达到理论公式所规定的要求及测量方法所带来的。如理论公式没有把散热考虑在内：1T=2元,Vg上的成立条件是没有把接线电阻和接触电阻考虑在内：单摆的周期公式摆角趋于零，这在实际是达不到的；还有用伏安法测电阻时电表内阻的影响是否考2
要以最小的代价来取得最好的结果，不能要求仪器越高级越好，环境条件(如恒温、 恒湿)越稳定越好，测量次数越多越好等等，这样要求是不切实际或是浪费的。测量 结果的误差是各个因素所引起的误差的总和。减少某些因素所引起的误差，可能代 价较小；而减小另一些因素所引起的误差，所需的代价可能很大。为了提高测量的 精确程度，往往是着力于减小某一两项主要的误差，于是，就要根据要求和误差的 考虑进行合理的设计以及选择实验方案和仪器。实验的精华就在于此。 1.2 误差的基本知识 前已讲述，在任何测量中，由于各种原因，测量值与客观实际值(称为真值)之 间总是存在着差异。我们把测量值 x 与真值 之差就称为测量值的绝对误差(简称误 差)。记为 0 x Δx′ 0 Δ ′ = − xxx (1-1-1) 误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程始终。使用任何一种仪器，进行 任何一次 测量，都会引起误差。测量所根据的方法和理论越繁多，所用的仪器装置越复杂， 经历的时间越长，引进误差的机会可能性就越大。 误差根据其性质分为两类：系统误差和偶然误差。 1.2.1 系统误差定义及分类 系统误差是在同一被测量的多次测量过程中保持恒定或以可以预知变化的测量 误差的分量.例如总是使测量结果向一个方向偏离，偏离数值是一定的或按一定规律 变化的。它的来源有几个方面。 ①仪器误差：这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。如仪 器零点不准，放大器非线性，照相底板的收缩，在 20℃标定的标准电阻在 30℃下使 用等。 ②理论(方法)误差：这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性或实验条件不能 达到理论公式所规定的要求及测量方法所带来的。如理论公式没有把散热考虑在内； 没有把接线电阻和接触电阻考虑在内；单摆的周期公式 g l = 2T π 上的成立条件是 摆角趋于零，这在实际是达不到的；还有用伏安法测电阻时电表内阻的影响是否考 2
虑在内等都属此类。③个人误差：这是由于观测者本人的心理特点及习惯偏向造成的。如使用停表计时，有人停表过长，有人停表过短，并非态度不认真所至。系统误差是有定值的，如游标尺的零点不准；有些是积累性的，用受热膨胀的钢质米尺进行测量，其指示值就小于真实长度，误差值随着测量长度成比例增加；还有些呈周期性变化，如仪器的转动中心与刻度盘的几何中心不重合造成的偏心差就是一种周期性变化的系统误差。系统误差总是使测量结果偏大或者偏小，其特征是带有确定性。因此，多次测量求平均值并不能消除系统误差。解决的方案是只有找到系统误差产生的原因，才可以采取一定的方法去消除它的影响或对测量结果进行修正。在某些重要的精密实验中，对系统误差的分析处理基至对整个工作的科学意义和水平起决定作用。表1列出了常用仪器的技术条件和仪器误差限，供在测量不确定度时对系统误差作综合考虑。表1-1-1常用仪器的技术条件和仪器误差限量具（仪器）最小分度值仪器误差限米尺1mm4 =0. 5mm游标卡尺50分度0.02mm4夜=0.02mm20分度0.05mm4枚=0. 05mm螺旋测微计0.01mm4夜=0.005mm（千分尺）物理天平0.01g（天平感量）4=0.01g（取天平感量）1℃普通温度计4枚=0.5℃指针式电表4=准确度等级%X满量程（准确度等级）数字表4夜=a%×读数+ND注：a-误差相对项系数，如1、2数字。D-最后一单位读数。N-最后一单位读数的N倍。数字式仪表的仪器误差可简单地取所显示的稳定不变的数字最小显示量。4夜=最小显示量。1.2.2随机误差（偶然误差）及其分布规律①随机误差随机误差：相同条件下重复测量同一量，由于各种偶然因素的影响，使得测量值随机变化，这种因随机变化而引起的误差称为随机误差（偶然误差）。如读数的上下3
虑在内等都属此类。 ③个人误差：这是由于观测者本人的心理特点及习惯偏向造成的。如使用停表计时， 有人停表过长，有人停表过短，并非态度不认真所至。 系统误差是有定值的，如游标尺的零点不准；有些是积累性的，用受热膨胀的 钢质米尺进行测量，其指示值就小于真实长度，误差值随着测量长度成比例增加； 还有些呈周期性变化，如仪器的转动中心与刻度盘的几何中心不重合造成的偏心差 就是一种周期性变化的系统误差。 系统误差总是使测量结果偏大或者偏小，其特征是带有确定性。因此，多次测 量求平均值并不能消除系统误差。解决的方案是只有找到系统误差产生的原因，才 可以采取一定的方法去消除它的影响或对测量结果进行修正。在某些重要的精密实 验中，对系统误差的分析处理甚至对整个工作的科学意义和水平起决定作用。表 1 列出了常用仪器的技术条件和仪器误差限，供在测量不确定度时对系统误差作综合 考虑。 表 1-1-1 常用仪器的技术条件和仪器误差限 量具（仪器） 最小分度值 仪器误差限 米尺 1mm Δ仪 =0.5mm 游标卡尺 50 分度 20 分度 0.02mm 0.05mm Δ仪 =0.02mm Δ仪 =0.05mm 螺旋测微计 （千分尺） 0.01mm Δ仪 =0.005mm 物理天平 0.01g（天平感量） Δ仪 =0.01g（取天平感量） 普通温度计 1℃ Δ仪 =0.5℃ 指针式电表 （准确度等级） Δ仪 =准确度等级%×满量程 数字表 Δ仪 =a%×读数+ND 注：a-误差相对项系数，如 1、2. 数字。D-最后一单位读数。N-最后一单位读数的 N 倍。 数字式仪表的仪器误差可简单．．地取所显示的稳定不变的数字最小显示量。 Δ仪 =最小显示量。 1.2.2 随机误差(偶然误差)及其分布规律 ①随机误差 随机误差:相同条件下重复测量同一量，由于各种偶然因素的影响，使得测量值 随机变化，这种因随机变化而引起的误差称为随机误差(偶然误差)。如读数的上下 3
涨落、环境温度的起伏、气流的扰动等因素影响，使得测量结果的量值无规则地弥散在一定范围内。随机误差的存在，使每次测量值可能偏大或偏小，不能确定。随机误差是不能消除的。然而数理统计学与计量学的研究表明，当测量次数足够多时，便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性，即随机误差的分布服从一定的统计规律。P(x)68.3%99.7%30olN-0+a+3g图1-1-1正态分布曲线②随机误差的正态分布规律当测量次数n8时，随机误差服从正态分布（高斯分布）规律。标准化正态分布曲线如图1-1-1所示。图中，随机误差x=N-N。（N为第i次测量值，N。为测量量真值）p（x）为测量值的概率密度，正态分布的概率密度函数为p(a)=一(-)(1-1-2)2元若取图1-1-1中曲线与x轴所围面积为1，概率密度函数p(x)满足归一条件：[ p(r)dx= 1(1-1-3)表示全部概率之和为1.其中。是该函数式中的一个参量。它的数值标志着随机误差的离散程度，又称为总体标准误差。它的大小决定曲线的形状。α值愈小，分布曲线愈陡，峰值p(x)愈高；α值愈大，分布曲线愈平坦，峰值p(x)愈低。测量次数n→时，标准误差4
涨落、环境温度的起伏、气流的扰动等因素影响，使得测量结果的量值无规则地弥 散在一定范围内。随机误差的存在，使每次测量值可能偏大或偏小，不能确定。随 机误差是不能消除的。然而数理统计学与计量学的研究表明，当测量次数足够多时， 便可以发现这些测量值呈现出一定的规律性，即随机误差的分布服从一定的统计规 律。 图 1-1-1 正态分布曲线 ②随机误差的正态分布规律 当测量次数 时，随机误差服从正态分布(高斯分布)规律。标准化正态分 布曲线如图 1-1-1 所示。图中，随机误差 n ∞→ = − NNx 0i ( 为第i 次测量值， 为测 量量真值) p( Ni N0 x )为测量值的概率密度，正态分布的概率密度函数为 ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 2 2 x e 2 1 xp σ σπ (1-1-2) 若取图 1-1-1 中曲线与 x 轴所围面积为 1， 概率密度函数 (xp )满足归一条件： ( ) = 1dxxp ∫ ∞ ∞− (1-1-3) 表示全部概率之和为 1． 其中σ 是该函数式中的一个参量。它的数值标志着随机误差的离散程度，又称 为总体标准误差。它的大小决定曲线的形状。σ 值愈小，分布曲线愈陡峭，峰值 (xp ) 愈高；σ 值愈大，分布曲线愈平坦，峰值 (xp )愈低。测量次数n ∞→ 时，标准误差 4
定义为12xo(x)= lim,(1-1-4)n-→n从正态分布曲线可看出：测量值在随机误差x=0处出现的概率密度最大：误差较小的数据比误差较大的数据出现的概率大：绝对误差很大的数据出现的概率几乎等于零。③置信区间与置信概率如图1-1-1中阴影部分可算出P=p(x)x=68.3%，随机误差在（-α，+)区间概率为68.3%。P=zp(x)x=95.4%，随机误差在（-20，+20)区间概率为95.4%。P=p()dx=99.7%，随机误差在（-3g，+3α）区间概率为99.7%。在测量次数相当多的情况下，如果出现测量值误差的绝对值大于土3c的数据可以认为这是由于过失引起的异常数据，应加以剔除。但是，对于测量次数较少的情况，这种方法就不可靠，而需要采用另外的判别准则。说明：物理实验中常将3s（贝赛尔公式计算s，下面介绍）代替3c作为剔除实验数据中坏值的标准，称为误差极值。可以认为在测量次数n有限的情况下，对物理量的任一次测量值，其偏差大于3s，的可能性几乎不存在。如果某测量值N有N，-N≥3s，时，则需要考虑测量过程是否存在异常，并将该数据从实验结果中剔除。服从正态分布的随机误差有如下特征：单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。：对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。。有界性：绝对值很大的误差出现的概率近于零。：抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋近于零。当测量次数n→时，测量值的平均值可作为被测量真值的最佳估计，平均值趋近于真值。增加测量次数，可以减小偶然误差，这就是我们在实际工作中常常采取重复多次5
定义为 ( ) ∑= ∞→ = n 1i 2 i n x n 1 σ limx (1-1-4) 从正态分布曲线可看出：测量值在随机误差 = 0x 处出现的概率密度最大；误差 较小的数据比误差较大的数据出现的概率大；绝对误差很大的数据出现的概率几乎 等于零。 ③置信区间与置信概率 如图 1-1-1 中阴影部分可算出 = ( ) = %3.68dxxpP ∫ + − σ σ ，随机误差在( −σ ，+σ )区间概率为 68.3％。 ( ) %4.95dxxpP 2 2 = = ∫ + − σ σ ,随机误差在( − 2σ ，+ 2σ )区间概率为 95.4％。 ( ) %7.99dxxpP 3 3 = = ∫ + − σ σ ，随机误差在( − 3σ ，+ 3σ )区间概率为 99.7％。 在测量次数相当多的情况下，如果出现测量值误差的绝对值大于± 3σ 的数据可 以认为这是由于过失引起的异常数据，应加以剔除。但是，对于测量次数较少的情 况，这种方法就不可靠，而需要采用另外的判别准则。 说明:物理实验中常将 s3 x (贝赛尔公式计算 s x 下面介绍)代替3σ 作为剔除实 验数据中坏值的标准，称为误差极值。可以认为在测量次数 n 有限的情况下，对物 理量的任一次测量值，其偏差大于 s3 x 的可能性几乎不存在。如果某测量值 Ni 有 i x ≥− s3NN 时，则需要考虑测量过程是否存在异常，并将该数据从实验结果中剔 除。 ④服从正态分布的随机误差有如下特征 ．单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。 ．对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。 ．有界性：绝对值很大的误差出现的概率近于零。 ．抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋近于零。当测量次数 n ∞→ 时,测量值的平均值可作为被测量真值的最佳估计，平均值趋近于真值。 增加测量次数，可以减小偶然误差，这就是我们在实际工作中常常采取重复多次 5