X1 13.若x,y满足约束条件x-2y≤0, 则z=x+y的最大值为 解析:约束条件对应的平面区域是以点(1,、(01)和(-2,-1)为顶点的三角形,当目标 函数y=-x+:经过点1,时,取得最大值 答案: x-y+1≥0 14.若x,y满足约束条件x+y-3≥20,则==x-2y的最小值为 3≤0, 解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,由z=x-2y得y=x x-y+1=0 2,作直线y=2x并平移,观察可知,当直线经过点4(34时, 二min=3-2×4=-5 x=3x+3=0 答案:-5 -+520 15.已知x,y满足x+y≥0, 若使得=ax+y取最大值的点(x,y)有无数个,则a的 值等于 解析:先根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,当直线z=ax+y能和直线AB 重合时,z取得最大值的点(x,y)有无数个,∴-a=kB=1,:a=
13．若 x，y 满足约束条件 x－y＋1≥0， x－2y≤0， x＋2y－2≤0， 则 z＝x＋y 的最大值为________． 解析：约束条件对应的平面区域是以点(1， 1 2 )、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标 函数 y＝－x＋z 经过点(1， 1 2 )时，z 取得最大值3 2 . 答案：3 2 14．若 x，y 满足约束条件 x－y＋1≥0， x＋y－3≥0， x－3≤0， 则 z＝x－2y 的最小值为________． 解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由 z＝x－2y 得 y＝ 1 2 x － 1 2 z，作直线 y＝ 1 2 x 并平移，观察可知，当直线经过点 A(3,4)时， zmin＝3－2×4＝－5. 答案：－5 15．已知 x，y 满足 x－y＋5≥0， x＋y≥0， x≤3， 若使得 z＝ax＋y 取最大值的点(x，y)有无数个，则 a 的 值等于__________． 解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线 z＝ax＋y 能和直线 AB 重合时，z 取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1
答案 0 16.设x,y满足约束条件x-2y-1≤0,则=2+3y-5的最小值为 ≤1 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图可知二=2x+3y-5经过 点A(-1,-1)时,z取得最小值,二m=2×(-1)+3×(-1)-5=-10 =0 x-2y-1= A(-1,-1) 答案:-10 B组能力提升练 1.在平面直角坐标系中,不等式组x-y≤0,(r为常数)表示的平面区域的面积为兀,若 x2+y2≤r2 y满足上述约束条件,则=++1 x+3 的最小值为( B 7 D 解析:作出不等式组表示的平面区域,如图所示,由题意,知, +y+l 2 2 =π,解得r=2,z= 易知表示可行域内的点P(32 (x,y)与点P(-3,2)的连线的斜率,由图可知当点x,y)与点P的连 线与圆x2+y2=P相切时斜率最小.设切线方程为y-2=kx+3),即kx-y+3k+2=0,则 +1=2,解得k=成k=0舍),即从=m112=.2 3k+2 有 ,故选D 答案:D
答案：－1 16．设 x，y 满足约束条件 2x－y＋1≥0 x－2y－1≤0， x≤1 则 z＝2x＋3y－5 的最小值为________． 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知 z＝2x＋3y－5 经过 点 A(－1，－1)时，z 取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. 答案：－10 B 组 能力提升练 1．在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y≤0， x－y≤0， x 2＋y 2≤r 2 (r 为常数)表示的平面区域的面积为 π，若 x、y 满足上述约束条件，则 z＝ x＋y＋1 x＋3 的最小值为( ) A．－1 B．－ 5 2＋1 7 C.1 3 D．－ 7 5 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知1 4 πr 2 ＝π，解得 r＝2，z＝ x＋y＋1 x＋3 ＝1＋ y－2 x＋3 ，易知 y－2 x＋3 表示可行域内的点 (x，y)与点 P(－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x，y)与点 P 的连 线与圆 x 2＋y 2＝r 2 相切时斜率最小．设切线方程为 y－2＝k(x＋3)，即 kx－y＋3k＋2＝0，则 有 |3k＋2| k 2＋1 ＝2，解得 k＝－ 12 5 或 k＝0(舍)，所以 zmin＝1－ 12 5 ＝－ 7 5 ，故选 D. 答案：D
x-y+1≥0, 2.已知区域D:{x+y-1≥0,的面积为S,点集7={(x,y)∈D≥k+1在坐标系中对 应区域的面积为S,则k的值为() B 解析:作出不等式组对应的区域,如图中阴影部分所示 y-3=0 直线y=k+1过定点4(0,1,点集7=(x,)∈D≥k+在xy-10 坐标系中对应区域的面积为S,则直线y=kx+1过BC中点E x-y+1=0, 即B(2,3) x-y+1=0 3x-y-3=0, 又(10),BC的中点为,,则赐=3+1,解得k=3,故选A 答案:A 3.设x,y满足约束条件 x-y≤-1且==x+ay的最小值为7,则a=() B.3 C.-5或3 D.5或一3 解析:联立方程 解得 代入x+ay=7中,解得a=3或-5 当a=-5时,z=x+qy的最大值是7;当a=3时,z=x+ay的最小值是7,故选B 答案:B x+y-2≤0, 4.x,y满足约束条件x-2y-2≤0,若=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a x-y+2≥0, 的值为() B.2 C.2或1 D.2或 x+y-2=02x-y+2=0 x-2y-2=0
2．已知区域 D： x－y＋1≥0， x＋y－1≥0， 3x－y－3≤0 的面积为 S，点集 T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对 应区域的面积为1 2 S，则 k 的值为( ) A.1 3 B.1 2 C．2 D．3 解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示． 直线 y＝kx＋1 过定点 A(0，1)，点集 T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在 坐标系中对应区域的面积为1 2 S，则直线 y＝kx＋1 过 BC 中点 E. 由 x－y＋1＝0， 3x－y－3＝0， 解得 x＝2， y＝3， 即 B(2,3)． 又 C(1,0)，∴BC 的中点为 E 3 2 ， 3 2 ，则3 2 ＝ 3 2 k＋1，解得 k＝ 1 3 ，故选 A. 答案：A 3．设 x，y 满足约束条件 x＋y≥a， x－y≤－1， 且 z＝x＋ay 的最小值为 7，则 a＝( ) A．－5 B．3 C．－5 或 3 D．5 或－3 解析：联立方程 x＋y＝a x－y＝－1 ，解得 x＝ a－1 2 y＝ a＋1 2 ，代入 x＋ay＝7 中，解得 a＝3 或－5， 当 a＝－5 时，z＝x＋ay 的最大值是 7；当 a＝3 时，z＝x＋ay 的最小值是 7，故选 B. 答案：B 4．x，y 满足约束条件 x＋y－2≤0， x－2y－2≤0， 2x－y＋2≥0， 若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( ) A.1 2 或－1 B．2 或 1 2 C．2 或 1 D．2 或－1
解析:如图,由y=ax+=知=的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使=y ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2;当a时,要使=y-ax取得最大值的最优解 不唯一,则a=-1 答案:D 已知圆C:(x-a02+0-b)=1,平面区域9:1x-y+3≥0,若圆心C∈,且圆C 与x轴相切,则a2+b2的最大值为() B.2 解析:平面区域Ω为如图际示的阴影部分,因为圆心C(a,b) ∈Ω,且圆C与x轴相切,所以点C在如图所示的线段MN上,y=x+3 线段MN的方程为y=1(-2≤x≤6由图形得当点C在点M6)20123436 处时,a2+b2取得最大值62+12=37,故选C 答案:C x≥2, 6.(2018河南八市高三质检)已知x,y满足约束条件x+y≤4, 目标函数z=6x+ 2x+y+c≥0 2y的最小值是10,则z的最大值是() B D.26 解析:由=6x+2y,得y=-3x+2,作出不等式组所表示可行域的 3x+y=0 大致图形如图中阴影部分所示,由图可知当直线y=-3x+经过点C 2x+y+e=0 时,直线的纵截距最小,即z=6x+2y取得最小值10,由 6x+2y=10, x=2, 解得 即C(2,-1),将其代入直线方程 x=2 2x+y+c=0,得c=5,即直线方程为-2x+y+5=0,平移直线3x+y=0,当直线经过点 2x+y+5=0, D时,直线的纵截距最大,此时=取最大值,由 即D(3,1)
解析：如图，由 y＝ax＋z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距，故当 a>0 时，要使 z＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a＝2；当 a<0 时，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解 不唯一，则 a＝－1. 答案：D 5．已知圆 C：(x－a) 2＋(y－b) 2＝1，平面区域 Ω： x＋y－7≤0， x－y＋3≥0， y≥0. 若圆心 C∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，则 a 2＋b 2 的最大值为 ( ) A．5 B．29 C．37 D．49 解析：平面区域 Ω 为如图所示的阴影部分，因为圆心 C(a，b) ∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，所以点 C 在如图所示的线段 MN 上， 线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当点C在点N(6,1) 处时，a 2＋b 2 取得最大值 6 2＋1 2＝37，故选 C. 答案：C 6．(2018·河南八市高三质检)已知 x，y 满足约束条件 x≥2， x＋y≤4， －2x＋y＋c≥0， 目标函数 z＝6x＋ 2y 的最小值是 10，则 z 的最大值是( ) A．20 B．22 C．24 D．26 解析：由 z＝6x＋2y，得 y＝－3x＋ z 2 ，作出不等式组所表示可行域的 大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线 y＝－3x＋ z 2 经过点 C 时，直线的 纵截距 最小， 即 z ＝6x＋2y 取 得最小值 10，由 6x＋2y＝10， x＝2， 解得 x＝2， y＝－1， 即 C(2，－1)，将其代入直线方程 －2x＋y＋c＝0，得 c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线 3x＋y＝0，当直线经过点 D 时，直线的纵截距最大，此时 z 取最大值，由 －2x＋y＋5＝0， x＋y＝4， 得 x＝3， y＝1， 即 D(3,1)