35二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 教材拓展 次不等式组)表示平面区域 (1)直角坐标平面内的一条直线Ax+By+C=0把整个坐标平面分成三部分,即直线两侧 的点集和直线上的点集 (2)若点P(x1,y)与P(x2,y2)在直线l:Ax+By+C=0的同侧(或异侧),则Ax1+By C与Ax2+By2+C同号(或异号) (3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是 各个不等式所表示的平面区域的公共部分 2.画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法 (1)直线定界,即若不等式不含等号,应把直线画成虚线;含有等号,把直线画成实线 (2)特殊点定域,即在直线Ax+By+C=0的某一侧取一个特殊点(x0,y)作为测试点代 入不等式检验,若满足不等式,则表示的区域就是包括这个点的这一侧,否则就表示直线的 另一侧,特别地,当C≠0时,常把原点作为测试点.当C=0时,常把点(1,0)或点(0,1)作 为测试点 3.补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法 先证一个结论 已知点P(x,y)不在直线l:Ax+By+C=0(B≠0)上,证明 )P在l上方的充要条件是BAx1+By+C>0 (2)P在下方的充要条件是B(Ax1+B+O)<0 证明(1)∵B≠0,∴直线方程化为y=gB A P(x1,y)在直线上方,∴对同一个横坐标x,直线上点的纵坐标小于y,即y C B2>0,∴两端乘以B2,(*)等价于By1>(-Ax1-CB 即B(Ax1+By+C>0 (2)同理,由点P在下方,可得y<-x-,从而得By(AxOB, 移项整理为B(Ax+By+C)<0.∵上述解答过程可逆∴P在l上方幼BAx1+By+C>0, P在l下方B(Ax1+By+O<0 从而得出下列结论: )B>0时,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0上方的平面区域(不 包括直线),而Ax+By+C<0表示直线Ax+By+C=0下方的平面区域(不包括直线) (2)B0时,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0下方的区域(不包括 直线),而二元一次不等式Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0上方的平面区域(不包括直 (3)B=0且A>0时,Ax+C>0表示直线Ax+C=0右方的平面区域(不包括直线),Ax+ C<0表示直线Ax+C=0左方的平面区域(不包括直线) (4)B=0且4<0时,Ax+C>0表示直线Ax+C=0左方的平面区域(不包括直线),Ax+ 表示直线Ax+C=0右方的平面区域(不包括直线) 方法突破
3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1．二元一次不等式(组)表示平面区域 (1)直角坐标平面内的一条直线 Ax＋By＋C＝0 把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧 的点集和直线上的点集． (2)若点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)在直线 l：Ax＋By＋C＝0 的同侧(或异侧)，则 Ax1＋By1 ＋C 与 Ax2＋By2＋C 同号(或异号)． (3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是 各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 2．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法 (1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线 Ax＋By＋C＝0 的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代 入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的 另一侧．特别地，当 C≠0 时，常把原点作为测试点．当 C＝0 时，常把点(1,0)或点(0,1)作 为测试点． 3．补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法 先证一个结论 已知点 P(x1，y1)不在直线 l：Ax＋By＋C＝0 (B≠0)上，证明： (1)P 在 l 上方的充要条件是 B(Ax1＋By1＋C)>0； (2)P 在 l 下方的充要条件是 B(Ax1＋By1＋C)<0. 证明 (1)∵B≠0，∴直线方程化为 y＝－ A B x－ C B ， ∵P(x1，y1)在直线上方，∴对同一个横坐标 x1，直线上点的纵坐标小于 y1，即 y1>－ A B x1 － C B .(*) ∵B 2>0，∴两端乘以 B 2，(*)等价于 B 2 y1>(－Ax1－C)B， 即 B(Ax1＋By1＋C)>0. (2)同理，由点 P 在 l 下方，可得 y1<－ A B x1－ C B ，从而得 B 2 y1<(－Ax1－C)B， 移项整理为 B(Ax1＋By1＋C)<0.∵上述解答过程可逆，∴P 在 l 上方⇔B(Ax1＋By1＋C)>0， P 在 l 下方⇔B(Ax1＋By1＋C)<0. 从而得出下列结论： (1)B>0 时，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 上方的平面区域(不 包括直线)，而 Ax＋By＋C<0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 下方的平面区域(不包括直线)． (2)B<0 时，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 下方的区域(不包括 直线)，而二元一次不等式 Ax＋By＋C<0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 上方的平面区域(不包括直 线)． (3)B＝0 且 A>0 时，Ax＋C>0 表示直线 Ax＋C＝0 右方的平面区域(不包括直线)，Ax＋ C<0 表示直线 Ax＋C＝0 左方的平面区域(不包括直线)． (4)B＝0 且 A<0 时，Ax＋C>0 表示直线 Ax＋C＝0 左方的平面区域(不包括直线)，Ax＋ C<0 表示直线 Ax＋C＝0 右方的平面区域(不包括直线)．
、二元一次不等式组表示的平面区域 方法链接:只要准确找出每个不等式所表示的平面区域,然后取出它们的重叠部分,就 可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域 例在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0} 则平面区域B={(x+y,x=y)x,y)∈A}的面积为() G +b ≥0 2 解析令b=x-y’得 ≥0 a+b≥ b≥0, 得a≤1画出平面区域B的可行域如图,得到面积为1 b=0 答案B 平面区域所表示的二元一次不等式(组) 方法链接:由平面区域确定不等式时,我们可以选用特殊点进行判断,把特殊点代入直 线方程Ax+By+C=0,根据代数式Ax+By+C的符号写出对应的不等式,根据是否包含边 界来调整符号 例2】如图所示,四条直线x+y-2=0,x-y-1=0,x+2y+2=0,3x-y+3=0围成 个四边形,则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组 表示 3x-y+3=0 xy-1=0 12 +y-2=0 x+2y+2=0 解析(0,0)点在平面区域内,(00)点和平面区域在直线x+y-2=0的同侧,把(00)代 入到x+y-2,得0+0-2<0,所以直线x+y-2=0对应的不等式为x+y-2<0, 同理可得到其他三个相应的不等式为x+2y+2>0,3x-y+3>0,x-y-1<0 +3>0 2y+2>0 则可得所求不等式组为(x-y-1<0
一、二元一次不等式组表示的平面区域 方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就 可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域． 例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知平面区域 A＝{(x，y)|x＋y≤1，且 x≥0，y≥0}， 则平面区域 B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( ) A．2 B．1 C.1 2 D.1 4 解析 令 得 ， 得 画出平面区域 B 的可行域如图，得到面积为 1. 答案 B 二、平面区域所表示的二元一次不等式(组) 方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直 线方程 Ax＋By＋C＝0，根据代数式 Ax＋By＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边 界来调整符号． 例 2 如图所示，四条直线 x＋y－2＝0，x－y－1＝0，x＋2y＋2＝0,3x－y＋3＝0 围成 一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示． 解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线 x＋y－2＝0 的同侧，把(0,0)代 入到 x＋y－2，得 0＋0－2<0，所以直线 x＋y－2＝0 对应的不等式为 x＋y－2<0， 同理可得到其他三个相应的不等式为 x＋2y＋2>0,3x－y＋3>0，x－y－1<0， 则可得所求不等式组为
+y-2<0 +2y+2> 答案 1<0 三、和平面区域有关的非线性问题 方法链接:若目标函数为线性时,目标函数的几何意义与直线的截距有关 若目标函数为形如=—,可考虑a,b)与(x,y两点连线的斜率 若目标函数为形如x=(x-a2+(-b)2,可考虑(x,y)与(a,b)两点距离的平方 1≤0 2x+3y-5≤0 【例3】已知点P(x,y)满足4x+3y-1≥0,点O(x,y)在圆(x+2)2+(+2}=1上, 则PQ的最大值与最小值为() A.6.3 B.6.2 D.5,2 解析 (,1) 可行城如图明影部分,设PQ=d,则由图中圆心((-2,-2)到直线4x+3y-1=0的 距离最小,则到点A距离最大 2x+3y-5=0 4x+3y-1=0 得(-2,3) 1-8-6-1 dmax=CA +1=5+1=6, dmin l=2 5 答案B 四、简单的线性规划问题 方法链接:线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z=ax+b(ab≠0)的最值,将 函数:=ax+by转化为直线的斜截式:y=-+,通过求直线的截距的最值间接求出 的最值 例4】某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知 木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司每星期木工最多有8000个工 作时:漆工平均两小时漆一把椅子,一个小时漆一张书桌,该公司每星期漆工最多有1300 个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,怎 样安排生产能获得最大利润? 解依题意设每星期生产x把椅子,y张书桌, 那么利润p=15x+20y
答案 三、和平面区域有关的非线性问题 方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关． 若目标函数为形如 z＝ y－b x－a ，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率． 若目标函数为形如 z＝(x－a) 2＋(y－b) 2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方． 例 3 已知点 P(x，y)满足 点 Q(x，y)在圆(x＋2) 2＋(y＋2) 2＝1 上， 则|PQ|的最大值与最小值为( ) A．6,3 B．6,2 C．5,3 D．5,2 解析 可行域如图阴影部分，设|PQ|＝d，则由图中圆心 C(－2，－2)到直线 4x＋3y－1＝0 的 距离最小，则到点 A 距离最大． 由 得(－2,3)． ∴dmax＝|CA|＋1＝5＋1＝6，dmin＝ |－8－6－1| 5 －1＝2. 答案 B 四、简单的线性规划问题 方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数 z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将 函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－ a b x＋ z b ，通过求直线的截距z b 的最值间接求出 z 的最值． 例 4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知 木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有 8 000 个工 作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有 1 300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和 20 元，根据以上条件，怎 样安排生产能获得最大利润？ 解 依题意设每星期生产 x 把椅子，y 张书桌， 那么利润 p＝15x＋20y
4x+8y≤8 2x+y≤1300 ≥0,x∈N 其中x,y满足限制条件y≥0,y∈N 即点(x,y)的允许区域为图中阴影部分,它们的边界分别为4x+8y=8000即AB) +y=1300即BC,x=0(即OA)和y=0即OC) O40012002000 对于某一个确定的p=p满足p=15x+20y,且点(x,y)属于阴影部分的解x,y就是 个能获得p元利润的生产方案 对于不同的p,P=15x+20y表示一组斜率为-的平行线,且p越大,相应的直线位置 越高;p越小,相应的直线位置越低.按题意,要求p的最大值,需把直线p=15x+20y尽 量地往上平移,又考虑到x,y的允许范围,当直线通过B点时,处在这组平行线的最高位 置,此时p取最大值 f4x+8y=800 (2x+y=1300,得B(0900 当x=200,y=900时,p取最大值, 即pmx=15×200+20×900=21000 即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21000元 区突破 1.忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1设E为平面上以A(41),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界) 求z=4x-3y的最大值与最小值 错解] 把目标函数=4x-3y化为y=3-3 根据条件画出图形如图所示 当动直线y=x-通过点C时,z取最大值 当动直线y=3-3通过点B时,:取最小值
其中 x，y 满足限制条件 . 即点(x，y)的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为 4x＋8y＝8 000(即 AB)，2x ＋y＝1 300(即 BC)，x＝0(即 OA)和 y＝0(即 OC)． 对于某一个确定的 p＝p0 满足 p0＝15x＋20y，且点(x，y)属于阴影部分的解 x，y 就是一 个能获得 p0 元利润的生产方案． 对于不同的 p，p＝15x＋20y 表示一组斜率为－3 4 的平行线，且 p 越大，相应的直线位置 越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求 p 的最大值，需把直线 p＝15x＋20y 尽 量地往上平移，又考虑到 x，y 的允许范围，当直线通过 B 点时，处在这组平行线的最高位 置，此时 p 取最大值． 由 ，得 B(200,900)， 当 x＝200，y＝900 时，p 取最大值， 即 pmax＝15×200＋20×900＝21 000， 即生产 200 把椅子、900 张书桌可获得最大利润 21 000 元． 1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例 1 设 E 为平面上以 A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)， 求 z＝4x－3y 的最大值与最小值． [错解] 把目标函数 z＝4x－3y 化为 y＝ 4 3 x－ 1 3 z. 根据条件画出图形如图所示， 当动直线 y＝ 4 3 x－ 1 3 z 通过点 C 时，z 取最大值； 当动直线 y＝ 4 3 x－ 1 3 z 通过点 B 时，z 取最小值．
∴zmin=4×(-1)-3×(-6)=14:二mx=4×(-3)-3×2=-18 [点拨]直线y=2x-的截距是 33、、最大即过点C时,目标函数值最 小;而当截距-÷最小即过点B时,目标函数值z最大.此处容易出错 正解把目标函数=4x-3y化为4 当动直线y=3-3通过点B时,:取最大值 当动直线y=33通过点C时,:取最小值 ∴二max=4×(-1)-3×(-6)=14 zmin=4×(-3)-3×2=-18 温馨点评由目标函数z=ax+b(b≠0),得y +b直线y=-6x+b在y轴上的截距为台当b>0 时,目标函数值与直线在y轴上的截距同步达到最大值 和最小值;当b<0时,情形正好相反 2.最优整数解判断不准而致错 3x+2y≤10, +4y≤11 x∈Z,y∈z 例2]设变量x,y满足条件(x>0,>0,求S=5x+4y的最大值 错解]依约束条件画出可行域如图所示,如先不考虑x、y为整数的条件,则当直线 x+45点.)时,S=+4-取最大值,=85 x+4y=1l 3x+2y=10 5x+4y=0 因为x、y为整数,所以当直线5x+4y=1平行移动时,从点A起通过的可行域中的整 点是C(1,2),此时Smax=13 点拨]上述错误是把((1,2)作为可行域内唯一整点,其实还有一个整点B(2,1),此时 4才是最大值 「正解]依据已知条件作出图形如图所示,因为B(2,1)也是可行域内的整点,由此得 SB=2×5+1×4=14,由于14>13,故Smax=14 温馨点评求最优整数解时,要结合可行域,对所有可能的整数解逐一检验,不要漏扫 题多解 例某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件 和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有() A.5种 B.6种 C.7种D.8种
∴zmin＝4×(－1)－3×(－6)＝14；zmax＝4×(－3)－3×2＝－18. [点拨] 直线 y＝ 4 3 x－ 1 3 z 的截距是－1 3 z，当截距－1 3 z 最大即过点 C 时，目标函数值 z 最 小；而当截距－1 3 z 最小即过点 B 时，目标函数值 z 最大．此处容易出错． [正解] 把目标函数 z＝4x－3y 化为 y＝ 4 3 x－ 1 3 z. 当动直线 y＝ 4 3 x－ 1 3 z 通过点 B 时，z 取最大值； 当动直线 y＝ 4 3 x－ 1 3 z 通过点 C 时，z 取最小值． ∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14； zmin＝4×(－3)－3×2＝－18. 2．最优整数解判断不准而致错 例 2 设变量 x，y 满足条件 求 S＝5x＋4y 的最大值． [错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑 x、y 为整数的条件，则当直线 5x＋4y＝S 过点 A 9 5 ， 23 10 时，S＝5x＋4y 取最大值，Smax＝18 1 5 . 因为 x、y 为整数，所以当直线 5x＋4y＝t 平行移动时，从点 A 起通过的可行域中的整 点是 C(1,2)，此时 Smax＝13. [点拨] 上述错误是把 C(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点 B(2,1)，此时 S ＝14 才是最大值． [正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为 B(2，1)也是可行域内的整点，由此得 SB＝2×5＋1×4＝14，由于 14>13，故 Smax＝14. 温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解. 例 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件 和盒装磁盘．根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有( ) A．5 种 B．6 种 C．7 种 D．8 种