课题:§3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 第2课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实阿 问题中的已知条件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数 学思想 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生 创新 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来 【教学难点】 把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域 【教学过程】 L.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+(=0某一侧所有点组 成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法:由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 AxBG,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x,J),从 Ah+B+C的正负即可判断Ax+ByC>0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C≠0时 常把原点作为此特殊点) 随堂练习1 2x+y-6>0 1、画出不等式2x+y6<0表示的平面区域 y+5≥0 2、画出不等式组{x+y≥0表示的平面区域 ≤3 2.讲授新课 【应用举例】 例3某人准备投资1200万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的 数据表格(以班级为单位): 学段班级学生人数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元 26/班 /人 40 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件 解:设开设初中班x个,开设高中班y个,根据题意,总共招生班数应限制在20-30之间, 所以有20≤x+y≤30 考虑到所投资金的限制,得到26x+54y+2×2x+2×3y≤1200
课题: §3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域 第 2 课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际 问题中的已知条件，找出约束条件； 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数 学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生 创新。 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C＞0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组 成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 判断方法：由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C＞0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C≠0 时， 常把原点作为此特殊点）。 随堂练习 1 1、画出不等式 2 x +y-6＜0 表示的平面区域. 2、画出不等式组 + − + 3 0 5 0 x x y x y 表示的平面区域。 2.讲授新课 【应用举例】 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的 数据表格（以班级为单位）： 学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元 初中 45 2 26/班 2/人 高中 40 3 54/班 2/人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解：设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总共招生班数应限制在 20-30 之间， 所以有 20 30 + x y 考虑到所投资金的限制，得到 26 54 2 2 2 3 1200 x y x y + + + B(- 5 2 , 5 2 ) C(3,-3) A(3,8) x=3 x+y=0 x-y+5=0 0 6 3 x y
另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0 把上面的四个不等式合在一起,得到: 20≤ ≤30 0 ≥0 用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例4一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t 生产Ⅰ车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面 区域。 解:设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件 18x+15y≤66 x≥0 ≥0 4xylo l&rl y=66 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分)。 [补充例题] 例1、画出下列不等式表示的区域 (1)(x-yx-y-1)≤0:(2)xs≤2x 分析:(1)转化为等价的不等式组:(2)注意到不等式的传递性,由x≤2x,得x≥0,又 用-y代y,不等式仍成立,区域关于x轴对称 解:(1) x-y≥0 →0≤x-y≤1或 ∫x-y≤0 矛盾无解,故点(x,y)在一带形区域内 x-y-1≤0 x-y≥1 (含边界) (2)由x≤2x,得x≥0;当y>0时,有 y≤0 点(x,y)在一条形区域内(边界); y≥0 当y≤0,由对称性得出 指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
即 x y + 2 40 另外，开设的班数不能为负，则 x y 0, 0 把上面的四个不等式合在一起，得到： 20 30 2 40 0 0 x y x y x y + + 用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分） 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t； 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面 区域。 解：设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 4 10 18 15 66 0 0 x y x y x y + + 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分）。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域 (1) (x − y)(x − y −1) 0 ； (2) x y 2x 分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由 x 2x ，得 x 0 ，又 用 − y 代 y ，不等式仍成立，区域关于 x 轴对称。 解：(1) 0 1 1 0 0 − − − − x y x y x y 或 − − 1 0 x y x y 矛盾无解，故点 (x, y) 在一带形区域内 （含边界）。 (2) 由 x 2x ，得 x 0 ；当 y 0 时，有 − − 2 0 0 x y x y 点 (x, y) 在一条形区域内(边界)； 当 y 0 ，由对称性得出。 指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
3>0 例2、利用区域求不等式组{2x+3y-6<0的整数解 3x-5y-15<0 分析:不等式组的实数解集为三条直线l1:2x-y-3=0,l2:2x+3y-6=0, l3:3x-5y-15=0所围成的三角形区域内部(不含边界)。设1∩l2=A,h∩l2=B l2∩l=C,求得区域内点横坐标范围,取出x的所有整数值,再代回原不等式组转化为y 的一元不等式组得出相应的y的整数值 解:设l:2x-y-3=0,l2:2x+3y-6=0,l3 l1∩l2=A 41=B,5=C,4(84),B0.-3),C(19-1p)于是看出区域内点的 横坐标在(0.)内,取x=1,2,3,当x=1时,代入原不等式组有y∠"y y> 5y<-1,得y=-2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0), 指出:求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点,它为线性规划中求最优整数解 作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点:另一种是本题解答中所采用的, 先确定区域内点的横坐标的范围,确定x的所有整数值,再代回原不等式组,得出y的一元 次不等式组,再确定y的所有整数值,即先固定x,再用x制约y。 3.随堂练习2 x+1:(2).x>:(3).x>y O
例 2、利用区域求不等式组 − − + − − − 3 5 15 0 2 3 6 0 2 3 0 x y x y x y 的整数解 分 析 ： 不等 式 组的 实 数解 集 为三 条 直线 l 1 : 2x − y −3 = 0 ， l 2 : 2x + 3y − 6 = 0 ， l 3 : 3x − 5y −15 = 0 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 l 1 l 2 = A，l 1 l 3 = B ， l 2 l 3 = C ，求得区域内点横坐标范围，取出 x 的所有整数值，再代回原不等式组转化为 y 的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。 解：设 l 1 : 2x − y −3 = 0 ， l 2 : 2x + 3y − 6 = 0 ， l 3 : 3x − 5y −15 = 0 ， l 1 l 2 = A ， l 1 l 3 = B ，l 2 l 3 = C ，∴ ) 4 3 , 8 15 A( ， B(0,−3)， ) 19 12 , 19 75 C( − 。于是看出区域内点的 横坐标在 ) 19 75 (0, 内，取 x ＝1，2，3，当 x ＝1 时，代入原不等式组有 − − 5 12 3 4 1 y y y ⇒ 1 5 12 − y − ，得 y ＝－2，∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)， (2,-1)，(3,-1)。 指出：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解 作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的， 先确定区域内点的横坐标的范围，确定 x 的所有整数值，再代回原不等式组，得出 y 的一元 一次不等式组，再确定 y 的所有整数值，即先固定 x ，再用 x 制约 y 。 3.随堂练习 2 1．（1） y x +1 ； （2）． x y ； （3）． x y
+y-6≥0 0 2.画出不等式组 表示的平面区域 ≤3 3.课本第97页的练习4 4.课航小结 进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域 5.评价投计 1、课本第105页习题3.3[B]组的第1、2题 课题:§3.3.2简单的线性规划 第3课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束 条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念:了解线性规划问题的图解法,并能 应用它解决一些简单的实际问题 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学 思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课趣导入 [复习提问 1、二元一次不等式Ax+B+C>0在平面直角坐标系中表示什么图形 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵 2.讲把新课 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗 时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配 件和12个B配件,按每天h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件 设甲、乙两种产品分别生产x、y件,又已知条件可得二元一次不等式组
2．画出不等式组 − + − 5 3 0 6 0 x y x y x y 表示的平面区域 3．课本第 97 页的练习 4 4.课时小结 进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。 5.评价设计 1、课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题 课题: §3.3.2 简单的线性规划 第 3 课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束 条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能 应用它解决一些简单的实际问题； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学 思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问] 1、二元一次不等式 Ax + By + C 0 在平面直角坐标系中表示什么图形？ 2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？ 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗 时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配 件和 12 个 B 配件，按每天 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：
x十 2y≤8 4x<16 4y≤12 ≥0 > (2)画出不等式组所表示的平面区域 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利 润最大 (4)尝试解答 设生产甲产品x件,乙产品y件时,工厂获得的利润为z,则z=2x+3.这样,上述问题就转 化为 当x,y满足不等式(1)并且为非负整数时,z的最大值是多少? 把z=2x+3y变形为y ,这是斜率为-二,在y轴上的截距为二的直线。当 变化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给 定一个点,(例如(1,2)),就能确定一条直线(y=-2x+8),这说明,截距三可 以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线y=--x+-与不等式组(1)的区 域的交点满足不等式组(1),而且当截距二最大时,z取得最大值。因此,问题可以转 化为当直线y=-x+二与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个 点P,使直线经过点P时截距二最大 (5)获得结果: 由上图可以看出,当实现y-33 2、+三金国直线x=4与直线x+2y-80的交点M(4,2) 时,截距-的值最大,最大值为一,这时2x+3y=14.所以,每天生产甲产品4件,乙产品 2件时,工厂可获得最大利润14万元 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条 件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件 ②线性目标函数 关于x、y的一次式〓=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式, 线性目标函数 ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划 问题. ④可行解、可行域和最优解:
2 8 4 16 4 12 0 0 x y x y x y + ……………………………………………………………….（1） （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利 润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样，上述问题就转 化为： 当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把 z=2x+3y 变形为 2 3 3 z y x = − + ，这是斜率为 2 3 − ，在 y 轴上的截距为 3 z 的直线。当 z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给 定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（ 2 8 3 3 y x = − + ），这说明，截距 3 z 可 以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 2 3 3 z y x = − + 与不等式组（1）的区 域的交点满足不等式组（1），而且当截距 3 z 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转 化为当直线 2 3 3 z y x = − + 与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个 点 P，使直线经过点 P 时截距 3 z 最大。 （5）获得结果： 由上图可以看出，当实现 2 3 3 z y x = − + 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M（4，2） 时，截距 3 z 的值最大，最大值为 14 3 ，这时 2x+3y=14.所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可获得最大利润 14 万元。 2、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量 x、y 的约束条件，这组约束条 件都是关于 x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫 线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划 问题． ④可行解、可行域和最优解：