大数定律在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念，定义1设X,x为个随机变量序列，记为X,都相互独(X,若对任何n≥2，随机变量立，则称(X,是相互独立的随机变量序列。定义2设X为一随机变量序列，X为一随机变量或常数，若对任意>0，有lim P(Xn -X<) =1n>o则称（X，依概率收敛于X,记为X,P>X或 X,-X->0 . n→0下面是一个带普遍性结果的大数定律
⚫大数定律 在叙述大数定律之前，首先介绍两个基本概念。 定义1 设 为一个随机变量序列，记为 ，若对任何n≥2，随机变量 都相互独 立，则称 是相互独立的随机变量序列。 定义2 设 为一随机变量序列，X为一随机变 量或常数，若对任意ε＞0，有 则称 依概率收敛于X,记为 或 ， . 下面是一个带普遍性结果的大数定律。 X1 , X2 , , Xn , { } Xn X X Xn , , , 1 2 { } Xn { } Xn lim { − } =1 → P X X n n Xn X X P n ⎯→ − ⎯→0 P Xn X n →
大数定律贝努里大数定律(Bernoulli)设na是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中A发生的概率，则>0 有lim Pn-00n或limP<n>00V
大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则 0 有 lim = 0 − → p n n P A n 或 lim =1 − → p n n P A n
贝努里(Bernoulli)大数定律的意义n在概率的统计定义中，事件A发生的频率n56稳定于”事件A在一次试验中发生的概率是指：频率是与p有较大偏差8nn小概率事件，因而在n足够大时，可以用频率近似代替p.这种稳定称为依概率稳定
在概率的统计定义中，事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是 指： n nA n 频率 nA 与 p 有较大偏差 − p n nA 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 贝努里（Bernoulli） 大数定律的意义：
定义设 Yi,Y2…,Yn，是一系列随机变量，a是一常数，若Vε>0 有lim P(JYn -α ≥)=0Y-limP(Y,-αl<)=1 )(或n>则称随机变量序列Y,Y2,,Yn·依概率收敛于常数a，记作PY.ann→00nP故Ipn>n
定义 a 是一常数， lim ( − ) = 0 → P Y a n n (或 lim ( − ) =1 ) → P Y a n n 则称随机变量序列 Y1 ,Y2 , ,Y n , 依概率收敛 于常数 a , 记作 Y a n P n → ⎯⎯→ 故 p n n n A P → ⎯⎯→ 设 Y1 ,Y2 , ,Y n , 是一系列随机变量， 若 0 有
Chebyshev大数定律设随机变量序列X,X,,X….相互独立(指任意给定 n>1,Xi,X2,X，相互独立)，且具有相同的数学期望和方差E(X) = μu, D(Xk)=α?, k =1,2,..:则>0 有Px,-Ex6=lim I算术平均值n→o12X-μlim PC≥8n->nk=]1ZX-<Elim P或n>80n
Chebyshev 大数定律 设随机变量序列 X1 , X2 , , X n , 相互独立， (指任意给定 n > 1, 相互独立)，且 具有相同的数学期望和方差 X X X n , , , 1 2 E(Xk ) = , D(Xk ) = 2 , k =1,2, 则 0 有 0 1 lim 1 = − = → n k k n X n P 或 1 1 lim 1 = − = → n k k n X n P 算术平均值 1 1 1 lim 1 1 = − = = → n i n i i i n EX n X n P