等差数列的前n项和 海▣一中冯海敏 (一)教学目标 1.知识与技能：通过实例，理解等差数列的概念：探索并掌握等差数列的 通项公式：能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题：体会等差数列与一次函数的关系。 2.过程与方法：通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数 列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律：由学生建立等差 数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践 操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应 问题的研究。 3.情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 (二)教学重、难点 重点：探索并掌握等差数列的前项和公式：学会用公式解决一些实际问 题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。 难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项 公式解决一些简单的有关问题 (三)学法与教学用具 学法：讲练结合 教学用具：投影仪 (四)教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生 活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为 “数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高
等差数列的前 n 项和 海口一中 冯海敏 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的 通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决 相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数 列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差 数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践 操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应 问题的研究。 3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。 （二）教学重、难点 重点：探索并掌握等差数列的前 n 项和公式；学会用公式解决一些实际问 题，体会等差数列的前 n 项和与二次函数之间的联系。 难点：等差数列前 n 项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前 n 项 公式解决一些简单的有关问题 （三）学法与教学用具 学法：讲练结合 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生 活中经常遇到的问题。在 200 多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为 “数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高
斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3++100=？当时，当其他同学忙于把 100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： (1+100)+(2+99)++(50+51)=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，.，n,.前100项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们 从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1,2,3，.，的前n 项的和： 由1+ 2 n n+n-1+.+2+1 (n+1)+(n+1)+.+(n+1)+(n+1) 可知1+2+3++对=a+少x 2 上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思孝一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项 与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推 广到求一般等差数列的前n项和的。 [等差数列求和公式的载学] 一般地，称4+4+4++4为数列a,}的前n项的和，用表示，即 S,=a+a+a;++ax 1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和
斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+.+100=？当时，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1+100）+（2+99）+.+（50+51）=101×50=5050 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，.，n，.前 100 项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前 n 项的和。 [探索研究] 我们先来看看人们由高斯求前 100 个正整数的方法得到了哪些启发。人们 从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算 1，2，3，.，n，.的前 n 项的和： 由 1 + 2 + . + n-1 + n n + n-1 + . + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ . +（n+1）+（n+1） 可知 上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第 k 项与倒数第 k 项的和与首项 与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推 广到求一般等差数列的前 n 项和的。 [等差数列求和公式的教学] 一般地，称 为数列 的前 n 项的和，用 表示，即 1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和
我们用两种方法表示心： &,=a+a+d)+a+2d)++[a,+-ld0 ,=a.+a,-d+a,-2d++a,-10dl@ 由①+②，得 28.4+a）+(a+o0+(4+a)++(a+a =8(a+a) 由此相到等差数到a,的前n项和的公式三： 2 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求 等差数列前n项和了。 2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： =4+a+4+a。 =4+(a+d)+(a+2d)+.+[a1+(-1)d] =a+[d+2d+.+(0a-1d】 =at[1+2+.+(8-10d 。4+g-① 2
我们用两种方法表示 ： ① ② 由①+②，得 由此得到等差数列 的前 n 项和的公式 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求 等差数列前 n 项和了。 2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = =
这两个公式是可以相互转化的。把a=a+-一Dd代入$=色+ 2中， 就可以得到8=%+-。 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的 任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公 式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的 “二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道41和 ,不同点是第一个公式还需知道“，而第二个公式是要知道d,解题时还需 要根据己知条件决定选用哪个公式。 [公式运用] (课本52页练习1、2) 1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{a:}的前n项和S (04=-4,4:=-18,”=8 ②4=145，d=034.=32 [例题分析] 例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工 程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校 校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？ (1)、先阅读题目：
这两个公式是可以相互转化的。把 代入 中， 就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的 任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公 式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于 n 的 “二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道 和 n，不同点是第一个公式还需知道 ，而第二个公式是要知道 d，解题时还需 要根据已知条件决定选用哪个公式。 [公式运用] （课本 52 页练习 1、2） 1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 的前 n 项和 S. ⑴ ⑵ [例题分析] 例 1、2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工 程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校 校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金 都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？ ⑴、先阅读题目；
(②)、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型 (3)、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前项和公式 进行求解。 解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都 比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列a,),表示从2001年起各 年投入的资金，其中 4=500 d=50 那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为 8=10×500+10x10-Dx50=7250 (万元) 答：从2001^2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元 例2.已知一个等差数列{a,}前10项的和是310，前20项的和是1220.由 这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 引导学生分析得到：等差数列前项和公式就是一个关于 a小n或者a从d的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定马，和d 的关系式，从而求得。 分析：将己知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于4与 d的二元一次方程，由此可以求得马与d,从而得到所求前n项和的公式。 解：由题意知 S0=310, S0=1220 &=a+-卫d 将它们代入公式 2
⑵、引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型； ⑶、写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前 n 项和公式 进行求解。 解：根据题意，从 2001-2010 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都 比上一年增加 50 万元.所以，可以建立一个等差数列 ，表示从 2001 年起各 年投入的资金，其中 ， d=50. 那么，到 2010 年（n=10），投入的资金总额为 （万元） 答：从 2001~2010 年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元. 例 2．已知一个等差数列 前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由 这些条件能确定这个等差数列的前 n 项和的公式吗？ 引导学生分析得到：等差数列前 n 项和公式就是一个关于 的方程。若要确定其前 n 项求和公式，则要确定 的关系式，从而求得。 分析：将已知条件代入等差数列前 n 项和的公式后，可得到两个关于 与 d 的二元一次方程，由此可以求得 与 d，从而得到所求前 n 项和的公式. 解：由题意知 ， 将它们代入公式