“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 王金城叶志良 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展 可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新 的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后 阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展 阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、 第一节、第145-148页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有 “二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊 化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式 的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律” 通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也 是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要 意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我 们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使 用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创 新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，己经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数 的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能 力、探究的能力、较弱
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 王金城 叶志良 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展 可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新 的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一 阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展 阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修 4（人教 A 版），第三章、 第一节、第 145－148 页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有 “二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊 化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式 的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”， 通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也 是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要 意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我 们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使 用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创 新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数 的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能 力、探究的能力、较弱
教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情 景对和角公式中的角&、日的关系特殊情形：=日时的简化，让学生探时发现、推证得 出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公 式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊） 这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改 变。 教学重点、难点 重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式 的两种变形和公式成立的条件：如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学 思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。 难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题 教学过程 一、复习启发、设置情景、引出正题 1、(复习性提问)：请同学回顾两角和的公式 (学生回答，教师板书) sin(a+8)=sin a cosB+cosasin 8 cos(a+B)=cosa cosB-sinasin B tna+=ma+tan日 1-tan atan B 2、(探索性提问)当上述公式中角&、P具有特殊化关系=日时，公式变为什么 形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。 学生板书：
教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情 景对和角公式中的角 、 的关系特殊情形 时的简化，让学生探讨发现、推证得 出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公 式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊） 这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改 变。 教学重点、难点 重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式 的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学 思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。 难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。 教学过程 一、复习启发、设置情景、引出正题 1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式 （学生回答，教师板书） 2、（探索性提问）当上述公式中角 、 具有特殊化关系 时，公式变为什么 形式？请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。 学生板书：
sin(a+a)sin acosa+cos asin a=sin 2a=2sin acos a cos(a+a)=cos acosa-sin asin a=cos2a=cos'a-sin2a m(c+a=a+nm2a= 2tan a 1-tan atan a 1-tan2 a 3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果 (学生回答：左边角均为2C,右边角均为“，具有“二倍”关系) 4、引入正题 师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美 教师板书（放幻灯片） sin 2a=2sin acos B cos 2a=cos2 a-sima →S2. tan 2c=1-tan c 2tan a →C2a 二倍角公式简记为了T:。 即为我们今天要学习的二倍角公式 【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方 法，从而达到“温故知新”的教学目的】 二、引导探究、深化认识 1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联 系 2、(探索性提问)对C:
3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果 （学生回答：左边角均为 ，右边角均为 ，具有“二倍”关系） 4、引入正题 师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美 教师板书（放幻灯片） 二倍角公式简记为 即为我们今天要学习的二倍角公式 【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方 法，从而达到“温故知新”的教学目的】 二、引导探究、深化认识 1、回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联 系 2、（探索性提问）对 ：
cos2&=c0s2Q-m2&中的平方联想到m2&+cos2&=1,C2。有无其他变式2 (学生探索、总结得出两种变式：c0e2a=2c0s2c-1.c0s2c=1-2m2a) 3、(深化性提问)：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？ (学生：不能，要注意公式成立的条件) 引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件 Sa sin 2a 2sinacos B(aER) Caa :cos2a=cos a-sina(aeR) 指出：尤其注意22成立的条件 【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】 4（棵案惟提月在中，当左边的8=分+女后 时，虽然右边的tn&不 存在，但左边的tam2c存在，能否用22求tan2a？该怎样求？ tam2a=tam2g+k=tam(r+km)=tan开=0 引导学生：改用诱导公式： 2 【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟溪径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活 的探素习惯】
中的平方联想到 ， 有无其他变式？ （学生探索、总结得出两种变式： ） 3、（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？ （学生：不能，要注意公式成立的条件） 引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件 指出：尤其注意 成立的条件 【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】 4、（探索性提问）在 中，当左边的 时，虽然右边的 不 存在，但左边的 存在，能否用 求 ？该怎样求？ 引导学生：改用诱导公式： 【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活 的探索习惯】
5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题 (放幻灯片) (1)填角 sin a=2sin cos corcom20g 号 co8=6o82_-m1 (2)(填=或≠号) -般情况下：$m2a_2 imn .cos2a_2cosg,tam2e_2tamd 【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比 公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】 三、巩固公式，学习应用 出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引 导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。 一放幻灯片 (第一组学生做)例1、不查表，求下列函数值
5、二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题 （放幻灯片） （1）填角 （2）（填 号） 一般情况下： 【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“二倍角”的含义，根据学生易混点，类比 公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点”之目的】 三、巩固公式，学习应用 出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引 导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等。————放幻灯片 （第一组学生做）例 1、不查表,求下列函数值