复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_11 匹配滤波器

2014-06-18 3、奈奎斯特滤波器 (ai 对系统的传输特性H(a以2为宽度进行分割,若各段在 -πr,πr区间能叠加成一个矩形频率特性(等效低通滤波 特性)→该系统以速率传输基带信号时,无码间串扰 ·为实现等效低通滤波器,只要在理想低通滤波特性的截止频 Fe s 率吗/处加上一个对a奇对称的特性即可 1+H,(o)lok=o 4求 其中H1(m对a奇对称 H1(o20)=-H1(o2+o)|ok△a≤ 为简单起见,设滤波器的相移为0若滤波器为线性相位,则 h(0=CH(o)cos ot do+-[H,(o)cos ot do 1+H,(o)lokI=o 令a=ax H(o)={H1(a)o2ak2.台→ h (0)=-H,(o -x)cos[(@ -x)r](-dx) h(t)= h(),h1(1)= H(o)e/e do +B(02+x)osn+x)h关于吗奇对称 ·H1(o为a的偶函数,2a时,H1(a)=0→ C,H1(a2-x)(cs(-x)-a+x)ldk 4()=1C°(o)sotd o,C H,( dx h,(==sin o.C H,(@-x)sin xtd ·常见:正弦滚降频率特性 泪隔Ta的各点等于0 H(a)上{1-sn 2(1-)soke2(1+r) h(1) h() 其中△aa称为滚降因子 r的取值范围为0~1 r0:零滚降,即理想低通滤波器 符合无码间串扰的条件 1:单位滚降,即升余弦频率特性 h(mT= 1H(o)={2 I+cos lok 20 0m为其他整数 51

2014-06-18 1 3、奈奎斯特滤波器  为实现等效低通滤波器，只要在理想低通滤波特性的截止频 率c=/Ts 处加上一个对c奇对称的特性即可 对系统的传输特性H()以2/Ts为宽度进行分割，若各段在 [-/Ts，/Ts]区间能叠加成一个矩形频率特性(等效低通滤波 特性)  该系统以速率fs传输基带信号时，无码间串扰 51 1 其中H1()对c奇对称：              0 else ( ) | | 2 1 ( ) | | ( ) 1 1 c c c s H T H H          H c   H c      c ( - ) ( ) | | 1 1 0 c 0.5 1 -c -2c 2c  HL()  0.5 0 H1() 51 2 -0.5  c 2c -c -2c H() 1 0.5 0 c -c -2c 2c   为简单起见，设滤波器的相移为0(若滤波器为线性相位，则 输出产生相应的延时)          H T H H F c c c s               0 else ( ) | | 2 1 ( ) | | ( ) 1 1 51 3         h t h t H e d t t h t j t c c c         ( ) 2 1 ( ), ( ) sin ( ) 1 1 1      h t H t d c   2 0 1 1 ( ) cos 1 ( )  H1()为的偶函数，>2c时，H1()=0             h t H t d H t d c c c      2 1 0 1 1 ( ) cos 1 ( ) cos 1 ( ) 令=c-x 令=c+x h t H x x t dx c    c  c       0 1 1 ( ) cos[( ) ]( ) 1 ( ) 51 4 t H x xt dx H x x t x t dx H x x t dx c c c c c c c c c c                           0 1 0 1 0 1 sin ( )sin 2 ( ){cos[( ) ] cos[( ) ]} 1 ( ) cos[( ) ] 1 关于c奇对称 h t t H x xt dx c   c  c      0 1 1 sin ( )sin 2 ( ) 相隔Ts=/c的各点等于0 ( ) sin ( ) 1 h t t t h t c c c        51 5 相隔Ts=/c的各点等于0  符合无码间串扰的条件：      m为其他整数 m h mTs 0 1 0 ( )  常见：正弦滚降频率特性                               0 | | (1 ) (1 ) | | (1 ) 2 1 sin 2 1 1 | | ( ) (1 ) | ( ) | r r r r r H c c c c c c c               其中r=/ 称为滚降因子 51 6  r的取值范围为0～1  r=0：零滚降，即理想低通滤波器  r=1：单位滚降，即升余弦频率特性 其中r /c称为滚降因子                 0 else | | 2 2 1 cos 2 1 | ( ) | c c H     

2014-06-18 ·升余弦频率特性的冲激响应为 h(t)= 20 1 0.5 般滚降因子的正弦滚降频率特性着为线性桕位,时延为 d(o) h(1)= P0.5~ 丌2(t-t0) 2ro2(t-b0) ·用正弦滚降时,信道的带宽为 ·B=1200Hz,P1: 若规定带宽B,则每秒最高无码间串扰的传输脉冲数脉冲 传输速率)为: B=1200 每秒最高无码间串扰的传输脉冲数为B(r1)-2B(-=0) 理想情况 每H带宽每秒最高无码间串扰的传输脉冲数为1~2 ·B=1320Hz,严0.1 AUnT 1200 8012001320 四、信道噪声对基带信号传输的影响 足无码间串扰的条件下,信道噪声的影响,也会使抽样 传送1码时,着抽样时刻有较大的负幅度的噪声→相加 后的抽样值低于判决电平→错判为 传送0码时,若抽样时刻有较大的正幅度 →相加 后的抽样值高于判决电平→错判为1 5107273475767

2014-06-18 2  升余弦频率特性的冲激响应为： 2 2 1 sin cos ( )                  t t t t h t c c c c c  一般滚降因子的正弦滚降频率特性若为线性相位，时延为： d() 51 7   0  ( ) t d d     2 0 0 0 0 2 ( ) 1 cos ( ) ( ) sin ( ) ( )                      r t t r t t t t t t h t c c c c c 0 H() 1 0.5  -2c -c c=/Ts 2c r=0 r=0.5 r=1 h(t) 51 8 t 0 r=0 r=1 r=0.5 h(t) Ts 2Ts  采用正弦滚降时，信道的带宽为：  若规定带宽B，则每秒最高无码间串扰的传输脉冲数(脉冲 传输速率)为： (1 ) 2 1 r T B s   (1 ) 1 2 r B T v s    51 9  每Hz带宽的脉冲传输速率为： (1 ) 2 B r v    每秒最高无码间串扰的传输脉冲数为B(r=1)~2B(r=0) 理想情况  每Hz带宽每秒最高无码间串扰的传输脉冲数为1～2  B=1200 Hz，r=1： B=1200 Hz r=0 5： -1200 -600 0 600 H(f) f/Hz 1200 0.5 r=1 51 10  B=1200 Hz，r=0.5： -1200 0 400 800 1200 H(f) f/Hz 0.5 r=0.5  B=1320 Hz，r=0.1： -1200 0 1200 f/Hz H(f) 0.5 r=0.1 1080 1320 51 11 四、信道噪声对基带信号传输的影响  在满足无码间串扰的条件下，信道噪声的影响，也会使抽样 判决的结果出现错误  传送1码时，若抽样时刻有较大的负幅度的噪声  相加 后的抽样值低于判决电平  错判为0  传送0码时，若抽样时刻有较大的正幅度的噪声  相加 后的抽样值高于判决电平  错判为1 0 A/2 A 1 0 1 1 0 1 0 A/2 A 51 12 0 / A/2 0 Ts 0 A 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts 6Ts 7Ts

2014-06-18 ·设系统发1和0的概率分别为P1和P0),发1错判为0和发错 ·总的误码率P和p1(H)、P(及b有关 判为的条件概率分别为P0)和P/0),则总的误码率为 ·当1(、P()一定,总存在一b最佳判决电平),使P最小 P=P(0/)P(1)+P(1/0P(0) ·设b为最佳判决电平,则有 ·着收到的信号加噪声的抽样值为V,判决电平为b,则有 =P(1)P1(b)-P(0)P0(b) P=PI(<b)/jP(1)+PI(>b)/0P(0) 设发1和0时收到信号加噪声的抽样值的概率密度函数分别为 →P(1)P1(b0)-P(0)P0(b)=0 P(和p0(),则有 若P1=P0=0.5,有:P1(bo)=P0(b) P=PO P,()dV+ P(O)fP(V)dr 在二进制等概率情况下,最佳判决电平 为P1和p()曲线交点所对应的值 一般情况下,P(1)P0)=0.5,于是有 ·若信道噪声是零均值的平稳高斯噪声,因接收滤波器为线 P,()dI+ Po( )di 性系统,则它的输出n)也为均值为0的低频高斯噪声 ·na(的概率密度函数设为 对单极性信号,设发1时的信号抽样值为4,则有 )发1 (r)发0 p、V)=√2xo 高斯分布的对称性,两曲线交点即最佳判决电平b 影部分为两神误码的系代概率 总的误码率为 p0()=-1 P1()+J2P()d 高斯分布的对称性→P1/0=P(01) P 2v2& exp(-u2)di =.p(h+pMF]-厂mn Po(v)di Cm()-"pu)u-2-" E称为课函数:Er()=-n)h Erfe(x)称为互补误差函数:Erfe(x)=1-Erf(x) →P=1-Erf ·设信号的峰值功率S和噪声的平均功率№别表示为 2roexp(-u)(2o SNR=10 lg 51

2014-06-18 3  设系统发1和0的概率分别为P(1)和P(0)，发1错判为0和发0错 判为1的条件概率分别为P(0/1)和P(1/0)，则总的误码率为：  若收到的信号加噪声的抽样值为V，判决电平为b，则有： P P(0 /1)P(1) P(1/ 0)P(0) e   P P[(V b) /1]P(1) P[(V b) / 0]P(0) e      设发1和0时收到信号加噪声的抽样值的概率密度函数分别为 51 13       b b e P P(1) p1 (V )dV P(0) p0 (V )dV  设发1和0时收到信号加噪声的抽样值的概率密度函数分别为 p1(V)和p0(V)，则有：  一般情况下，P(1)=P(0)=0.5，于是有：           b b Pe p (V )dV p (V )dV 2 1 1 0  设b0为最佳判决电平，则有： 0 (1) ( ) (0) ( ) P p1 b P p0 b b Pe       P(1) p1 (b0 )  P(0) p0 (b0 )  0  总的误码率Pe和p1(V)、p0(V)及b有关  当p1(V)、p0(V)一定，总存在一b(最佳判决电平)，使Pe最小 51 14  若P(1)=P(0)=0.5，有： ( ) ( ) 1 0 0 0 p b  p b 在二进制等概率情况下，最佳判决电平 为p1(V)和p0(V)曲线交点所对应的V值  若信道噪声是零均值的平稳高斯噪声，因接收滤波器为线 性系统，则它的输出nR(t)也为均值为0的低频高斯噪声  对单极性信号，设发1时的信号抽样值为A，则有：           2 2 2 exp 2 1 ( ) R R V p V       ( ) 1 发 A n t 发 V R  nR(t)的概率密度函数设为： 51 15   n (t) 发0 V R                    2 2 0 2 2 1 2 exp 2 1 ( ) 2 ( ) exp 2 1 ( ) b b b b V p V V A p V       p0(V) p1(V) 51 16  高斯分布的对称性，两曲线交点即最佳判决电平b0=A/2  阴影部分为两种误码的条件概率  总的误码率为：           / 2 0 / 2 1 ( ) ( ) 2 1 A A Pe p V dV p V dV V 0 A/2 A  高斯分布的对称性  P(1/0)=P(0/1)                                 / 2 2 2 / 2 0 0 / 2 0 0 0 0 / 2 0 / 2 0 / 2 1 exp 1 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 A A A A A A e dV V p V dV p V dV p V dV P p V dV p V dV p V dV 51 17  令：        0 2 2 p 2 2  R  R V u dV du V u R R R    , 2 , 2 2                R R A A R R e u du P u du       2 2 0 2 2 2 0 2 exp( ) 1 2 1 exp( ) 2 2 1 2 1  Erf(x)称为误差函数：            R A Pe u du   2 2 0 2 exp( ) 2 1 2 1    x x u du 0 2 exp( ) 2 Erf ( )   Erfc(x)称为互补误差函数： Erfc ( x)  1  Erf ( x)                    A A P Erfc 1 1 Erf 1 51 18                       R R Pe  2 2 Erfc 2 2 2 1 Erf 2  设信号的峰值功率S和噪声的平均功率N分别表示为： N S S A , N R SNR 10 lg 2 2                        2 10 2 1 Erfc 2 1 2 2 1 Erfc 2 1 SNR /10 e N S P

2014-06-18 阀效应:存在一狭窄范围,在此信噪比以上误码率很小;在 这个信噪比 对二进码传输 选为16-18dB(对应4/o:6-8之间 SNRO1.0 dB §36匹配滤波器 接收信号的抽样值八k为 r(k7)=信号取值十码间串扰+随机噪声 SNR/dB 若每秒传送105个码元 判决依据 无码间串扰传输 104→每0.1秒发生一个 SNR-2.0dB,P=103→每1000秒(的16分 组 个错码 设计温佳续读为地接翻 匹配滤波器的传递函数 求线性滤波器H(ω,使抽样时刻 设线性滤波器传递函数为H(a),输入的为信号与噪声之和 ·信号经过滤波器的输出为 x()=S1(1)+ 信号与噪声互不相关 噪声的功率谱密度为P』(ω,信号的傅里叶变换为S(ω 出噪声的平均功率为: ·线性滤波器→滤波器的输出也包含信号与噪声两鼢分 N。(a)=H(o)P(a)→ x(rs(+nAn yrs(o+n(n ·抽样时刻输出信号的瞬时功率和噪声的平均功率之比为 H(a IS(o)R IH(o P(odo 施瓦茨不等式:着F(⑩和F2(am为复变函数,则有 s Lr iS,(ordo I E(o)F(odol s[ 1E(o)t do [ I (o)f do ·只有当下式成立时,不等式为等号 只有当F1(a)kF2°(a(为任意常数时,等号成立 :F(o0 (o)H(o)=() H(o) P(o r=kx JH(o)s, (o)e efGdol 匹民滤波器的含义 ·匹配滤波器:在抽样时刻获得最大信噪比的最佳滤波器 2z loH(o)PP(o)do ·若噪声为白噪声:P(o)=n12 H(o)=kS,(o)e 信号能量 厂|H(o)PP a l,IS,(o)P

2014-06-18 4 Pe 10-2 1.0 10-4 10-6 10-8 A/R=11.2 SNR=21.0 dB 51 19 6 10 14 18 22 10 10-10 SNR/dB SNR=17.4 dB A/R=7.4  若每秒传送105个码元  SNR=17.4 dB，Pe=10-4  每0.1秒发生一个错码  SNR=21.0 dB，Pe=10-8  每1000秒(约16分)发生一个错码  阀效应：存在一狭窄范围，在此信噪比以上误码率很小；在 其下，误码现象频繁发生  阀电平：出现阀效应的这个信噪比  对二进码传输，阀电平选为16~18 dB(对应A/R：6~8)之间 §3.6 匹配滤波器  接收信号的抽样值r(kT )为： 51 20  接收信号的抽样值r(kTs)为： r(kTs )  信号取值＋码间串扰＋随机噪声 判决依据 无码间串扰传输  设计一线性滤波器，使抽样时刻的信噪比最大  减小Pe 这种最佳滤波器称为匹配滤波器 一、匹配滤波器的传递函数  设线性滤波器传递函数为H()，输入的为信号与噪声之和： 信号与噪声互不相关 噪声的功率谱密度为Pn()，信号的傅里叶变换为Si ()  线性滤波器  滤波器的输出也包含信号与噪声两部分 x(t) s (t) n (t)  i  i 51 21 y(t) s (t) n (t)  o  o y(t)=so(t)+no x(t)=s (t) i (t)+ni (t) H() 抽样 判决  求线性滤波器H()，使抽样时刻t0的信噪比最大  信号经过滤波器的输出为：  输出噪声的平均功率为：         S H S s t H S e d j t o i o  i      ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) No   H  Pn   1 ( ) | ( )| ( ) 2 51 22     N n t H P d o o  n     | ( )| ( ) 2 1 ( ) 2 2  抽样时刻t0输出信号的瞬时功率和噪声的平均功率之比r为：                  H P d H S e d N S t r n j t i o o | ( )| ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 | ( )| 2 2 2 0 0  施瓦茨不等式：若F1()和F2()为复变函数，则有  令： F  F  d F  d F  d            2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) | ( ) | | ( ) | 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 j t n i n e P S F P H F             H S d j t ( ) ( ) 1 2 0 只有当F1()=kF2*() (k为任意常数)时，等号成立 51  23                                      H P d d P S e P H d H P d H S e d r n n j t i n n j t i | ( ) | ( ) 2 1 ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | 4 1 | ( ) | ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * j t n i j t n i n e P S e H k P S P H k                              d P S r n i ( ) | ( ) | 2 1 2  只有当下式成立时，不等式为等号： 匹配滤波器的含义 51 24  匹配滤波器：在抽样时刻获得最大信噪比的最佳滤波器  若噪声为白噪声： 匹配滤波器的含义 ( ) / 2 0 P n n   0 ( ) ( ) * j t i H kS e      0 0 2 max 2 / 2 | ( ) | 2 1 n E n S d r i         信号能量

2014-06-18 、匹配滤波器的冲激响应 为保证匹配滤波器的物理可实现性,h(应为因果信号 ·匹配滤波器的冲激响应h(为 h()=k(0-1==0t>0 h()=0,1<0→s() . Io 2L*Ls (r)" dr e img"da (为输入信号(门的镜像s(n在时间轴上平移 ·若输入信号s气η的持续时间为(0,T)→h的持续时间可 2r eJe(-iotndo s,(rdr 为(-T,→,匹配滤波器才是物理可实现的 般希望心尽量小,故常取 =k上(r)(r-h+dr=k(- 三、匹配滤波器的输出信号 对于实信号0,有:h(1)=ks(to-1) ·信号s(n经过匹配滤波器h(n的输出为 s, (t-t)ks,(to-rddr 令:t'=-r→r=t-r,dr=-da s()=厂s(x)-(-r)k-dr) k[s()(rx+1-)r 匹配滤波器的输出信号就是输入信号的自相关函数 当~,S。(0)=kR(t0-10)=kR(0)=k 例1图为一矩形波调制信号,试求接收该信号的匹 取T,匹配滤波器的冲激响应为 配滤波器的冲激响应和输出波形 h()=ks,(T-1)= kA cose2(T-1)0≤t≤T kA coso t0≤≤T 解:矩形波调制信号可表示为 s,(r Acso,10s1s7其中r=47.=8x 5

2014-06-18 5 二、匹配滤波器的冲激响应  匹配滤波器的冲激响应h(t)为： ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) * * 0 0 k s e d e e d h t H e d kS e e d j j t j t i j t j t i j t                                       51 25  对于实信号si (t)，有： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 0 * 0 * ( 0 ) * k s t t d ks t t k e d s d i i i j t t                                     ( ) ( ) 0 h t ks t t  i   为保证匹配滤波器的物理可实现性，h(t)应为因果信号：  h(t)为输入信号si *(t)的镜像si *(-t)在时间轴上平移t0          0 0 0 0 ( ) ( ) 0 * t t h t ks t t i 0 * h(t) 0, t 0 s (t) 0, t t    i   若输入信号 的持续时间为 的持续时间 以 51 26  若输入信号si *(t)的持续时间为(0，Ts)  h(t)的持续时间可以 为(t0-Ts，t0)  t0Ts，匹配滤波器才是物理可实现的  一般希望t0尽量小，故常取：t0=Ts 三、匹配滤波器的输出信号  信号si (t)经过匹配滤波器h(t)的输出为：  令：       s t ks t d s t h t s t s t h d i i o i i              ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 *    t     t  , d  d  ( ) ( ) [ ( )]( ) 0 * s t k s s t t d o i i              51 27 ( ) ( ) ( ) 0 0 * kR t t k s s t t d is i i               匹配滤波器的输出信号就是输入信号的自相关函数  当t=t0， s t kR t t kR kE i i o ( 0 )  s ( 0 0 )  s (0)  h(t) 0 Tb t si (t) 1 0 Tb 2Tb t kE so(t) 51 28 0 Tb t k si (t) so(t) 例1 图为一矩形波调制信号，试求接收该信号的匹 配滤波器的冲激响应和输出波形。 0 A 1/fc 51 29 解：       0 else cos 0 ( ) A t t T s t c i  其中 c T Tc  8  4  矩形波调制信号可表示为： 0 T -A          0 else cos ( ) 0 ( ) ( ) kA T t t T h t ks T t c i   取t0=T，匹配滤波器的冲激响应为： kA T t kA T t kA t kA t c c c  c c cos (  )  cos(  )  cos(8  )  cos ( ) 0 else cos 0 ( ) ks t kA t t T h t i c          51 30  0 else 0 T -kA 0 kA 1/fc