复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_02 傅里叶级数

2014-06-18 ·周期实信号:正交三角函数{ oska, sinka展开 Reel exponential triangular 以4代替k:x()=∑Ce 对实信号:x(1)=x()=x()=∑Ce 比较x()=∑Ce x()=∑ce=∑c2e"+Ca+∑Ce"y (k=0,±1,±2,±3,…) Cejka+C+ (k=12,3…) 2Cretv=2Ce+Co+2Ce Ca+∑(ce-+ce) 令:C=Cl|e 二、离散频谱 x(1)=Co+∑(Ceb+Ce) C=Jx0-dx0=∑cc,r/2 =C+∑(Clee+ ICiIeue) 例1计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 C+∑|C =C+∑2| CrIcos(kot+1) C是信号的直流分量 解 2C是信号第次谐波的振幅,是信号第A次谐波的相位 ·任意周期实信号可由其直流分量和各次谐波分量合成 712m-y 当0时 定义:抽样函数 Sa(ko,r/2) 59

2014-06-18 1  周期实信号：正交三角函数{cosk0t,sink0t}展开 exponential   [ cos( ) sin( )] 2 0 1 0 0 a k t b k t a x t k k  k         2 T triangular     k jk t k x t C e 0 ( )  59 1    / 2 / 2 ( ) d 1 0 T T jk t k x t e t T C    x t t T a 0 0 ( )d 2   T k x t k t t T a 0 ( ) cos( 0 )d 2  ( ) ( ) k 1,2,3, k  0,1,2,3,   T k x t k t t T b 0 0 ( )sin( )d 2  以-k代替k： * * ( ) 0 jk t t C C C C C         k jk t k x t C e * 0 ( )  x(t)  x* (t)  比较      k jk t k x t C e * * 0 ( )  jk t k k jk t k k x t C e x t C e 0 0 = * * = ( ) ( )             对实信号：  周期实信号 59 2 ( ) or 0 k k k k k jk t x t  Ck e  C  C C  C   比较  ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 1 0 1 0 1 * 1 0 1 * 1 0 1 jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k k jk t k C C e C e C e C C e C e C C e x t C e C e C C e                                                   令：                       ( ) ( ) 1 0 1 * 0 | |[ ] (| | | | ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 j k t j k t j jk t k k j jk t k k jk t k jk t k C C e e C C e e C e e x t C C e C e k k k k           k j k k C C e  | | 59 3            1 0 0 ( ) 1 ( ) 0 2 | | cos( ) | |[ ] 0 0 k k k j k j k C C k t C C e e k k   C0是信号的直流分量 2|Ck|是信号第k次谐波的振幅，k是信号第k次谐波的相位  任意周期实信号可由其直流分量和各次谐波分量合成 二、 离散频谱 例1 计算图示周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 x t e t T C T jk t k ( ) d 1 0     ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k   k     59 4 解： Ae dt T x t e dt T C jk t T T jk t k        2 2 2 2 0 0 1 ( ) 1     其中 T   2 0  当k=0时， T A Adt T Ae dt T C             2 2 2 2 0 0 1 1 当k0时， 1 1 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 0 0             e e T jk A e T jk A Ae dt T C jk jk jk t jk t k                     59 5     / 2 2sin / 2 sin / 2 2 2 sin 1 0 0 0 0 0 0            k k T A k k T k A j T jk A                  定义：抽样函数 x x Sa x sin ( )  Sa(x) 1 59 6 -4 -3 -2 - 0  2 3 4 x     / 2 , 0 / 2 sin / 2 ; 0 0 0 0    Sa k k  T A k k T A C T A C k            0  / 2  Sa k T A  Ck 

2014-06-18 周期方波信号的傅里叶级数展开式为 当k0时,C4= I-le v dr-te +Se vdr r∑S(o/2k 例2计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 C-2kx0+--+0+5的 2(kx)(2c0skx-2) 当k=0时 k为偶数 c-2-aa-(t+ ≈(kr(akx-kF奇数 -2(k)2k为奇数 CR=C 0k为非0偶数 振幅谱 周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式为 周期信号的频谱图;信号各次谐波对应的C线状分布图 x()=∑ce"=}-∑ e/m-l, |tkT/2=1 周期矩形脉冲信号的频谙C (2m-1)z 周期信号x()可以分解为不同频率虛指数信号之和 )=∑C 相位谱为0 C是频率的函数,反映了组 各谐波的幅度和相 位随频率变化的规律,称为频谱函数 相位谱的作用 两维傅里叶级数 幅频不变,器相位 幅频为常数,相位不变

2014-06-18 2 周期方波信号的傅里叶级数展开式为： 2 ( ) ( / 2) , | | t = 0 = 0 0 T Sa k e t T A x t C e jk k jk t k   k             例2 计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 59 7 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 0 1 2 2 0 0 0 x t e dt te dt te dt T C jk t jk t T T jk t k                解： 当k=0时， 2 1 4 1 ( ) 2 1 1 0 2 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0                 C te dt te dt t t                      e jk e jk j k jk e e dt e e dt jk C jk t jk t jk jk t jk jk t k 1 0 0 1 1 0 0 1 ) 1 1 (2 sin 2 1 (0 0 ) 2 1                   2 2 2 0 T  当k0时， ( ) 2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 te e dt te e dt jk C jk t jk t jk t jk t k                  59 8                          － 为奇数 为偶数 k k k k k k k e e k jk e jk e jk jk jk jk jk jk jk 2 2 2 2 ( ) 2 0 (cos 1) ( ) 1 (2cos 2) 2( ) 1 ( 1 1) 2( ) 1 ) 1 1 1 1 ( 2 1                周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式为： , | | / 2 1 [(2 1) ] 2 2 1 ( ) (2 1) 2 0              e t T m x t C e jk t j m t k k             为非 偶数 为奇数 0 0 1/ 2 0 2 /( ) 2 k k k k Ck  59 9 2 [(2 1) ] k = m= m   周期信号x(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 jk t k T k x t C e 0 = ( )      Ck是频率的函数，反映了组成信号各谐波的幅度和相 位随频率变化的规律，称为频谱函数  周期信号的频谱图：信号各次谐波对应的Ck线状分布图 k j k k C C e   振幅谱 相位谱  周期矩形脉冲信号的频谱图 ( / 2) 0    Sa k T A Ck  59 10 相位谱为0  相位谱的作用 59 11 两维傅里叶级数 幅频不变，零相位 幅频为常数，相位不变 59 12

2014-06-18 周期信号频谱的三个特点:离散性、谐波性、收敛 频谱由不连续的线条组成,银一条线代表一 、离散频谱的基本性质 称为不连续 1.线性特性 中不可能存在壬何具有频率为基波频率非整数倍的分量 各条絨谱的高度(即名次谐波的幅值),随着谐波次数A的 则有a1x(0)+a2:x()→a·C+a2 增大而逐渐少的,直至零 信号周期T越大,a就越小,则谱线越密 C=la,x,(0)+a,x,(0Je-Aadr 信号周期T越小,φ就越大,则谱线越疏 a,3, ()e"kdt+a2==(0e"adr 信号时波形变化越平缓,高次谐波成分就越少,幅度频谱 衰减越快 信号时域被形跳变越多,高次谐波成分就越多,幅度频谱衰 对称特性 (1若(为实信号,则|cHC=-x 证:C1=x0-a,c.= 证:x(为实信号,则C=C (为实信号→x(r)=x() x(为偶信号→x(1)=x-0) Ca=tsrelwdragjr'ae vat-+ CHHL“四,一 Recs-e a4+ (2)若x(为实偶信号:x()=x(-0 a-t+JB=C_=Ck=a+JB=a,=abB=B-i a+j4=C4=C=a4-→a1=aB=-B Br=B-k →B=0→B4=0 sC是ka的实偶函数→振幅谱偶对称;相位谱为q C是ka的实偶函数 (3)若x(为实奇信号:x(=x(-0 ak=c-k=-a-k C是a的纯虚奇函数 →|CH服H-B4HjHC C是ka的纯虚奇函数→振幅谱偶对称:相位谱奇对称 if B>0, then,<0 证:x(为实信号,则C=C →C4=B=Be2,Ck=BA=-儿 BIBle x(为奇信号→x(1)=-x(-1)类似→C=-C f B<o, then Bk>0 a4+jk=C=Ck=-a4-迅→a=-ak,B4=-Bk →Ck=几=Be2,C==-儿且Be a_+jB=C +=C=a-iB =a=atB2=-B-k 59

2014-06-18 3  周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性  频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个谐波分量， 称为不连续频谱或离散频谱  每条线谱只出现在基波频率0的整数倍的频率上，频谱 中不可能存在任何具有频率为基波频率非整数倍的分量  各条线谱的高度(即各次谐波的幅值)，随着谐波次数k的 增大而逐渐减少的，直至零 信号周期T 越大 ω 就越小 则谱线越密 59 13 信号周期T 越大，ω0就越小，则谱线越密 信号周期T 越小，ω0就越大，则谱线越疏 信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱 衰减越快 信号时域波形跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰 减越慢 1. 线性特性 k C k x t C x t 1 1 2 2 若 ( ) , ( ) k C k a x t a x t a C a 1 1 2 2 1 1 2 2 则有  ( )  ( )    三、 离散频谱的基本性质 证： jk t C a x t a x t e dt 0 [ ( ) ( )] 1        59 14 k k T jk t T jk t T k a C a C x t e dt T x t e dt a T a a x t a x t e dt T C 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( )]                  2. 对称特性 (1)若x(t)为实信号，则 Ck  Ck  k   k | | | |, k k k k k k k k C C C C C C C C C              R Im arctan R Im arctan R Im | | | | | |, arctan * * * 证： ( ) ( ) * x t  x t x t e t T x t e t C T C T jk t k T jk t k ( ) d 1 ( ) d , 1 0 0         * * * * ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) d 1 0 0 0 k T jk t T jk t T jk t k x t e t C T x t e t T x t e t T C                          x(t)为实信号  59 15 (2)若x(t)为实偶信号：x(t)=x(-t) Ck是k0的实偶函数  振幅谱偶对称；相位谱为0 k k k k k k k k ReC ReC ReC 证： x(t)为实信号，则 Ck  Ck * x(t)为偶信号  x(t)  x(t) k T T jk t T T jk t T T jk t T T jk t T T j k t k x t e t C T x t e t T x t e dt T x t e t T x t e t T C                                     ( ) d 1 ( ) d 1 ( ) ( ) 1 ( ) d 1 ( ) d 1 /2 /2 /2 /2 /2 / 2 /2 /2 ( ) /2 /2 ( ) 0 0 0 0 0      令： k k k C    j 59 16 k k k k k k k k k C  C                     0  0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j C C j j C C j                                            , , * k k k j Ck是k0的实偶函数 (3)若x(t)为实奇信号：x(t)=-x(-t) 是 的纯虚奇函数 振幅谱偶对称 相位谱奇对称 59 17 x(t)  x(t) Ck  Ck Ck是k0的纯虚奇函数振幅谱偶对称；相位谱奇对称 证：x(t)为实信号，则 x(t)为奇信号  Ck  Ck * k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k j C C j j C C j                                                , , * 类似  k k k k k k k k k C j j  C                       0  0 if 0,then 0 | | | | | | | | | |      k k k k k k C k C j j j            Ck是k0的纯虚奇函数 59 18 2 2 2 2 , | | | | if 0,then 0 , | | | | ,                   j k k k k j k k k k k j k k k k j k k k k k C j e C j j e C j e C j j e                           

2014-06-18 3.周期信号功率与离散频谱的关系 例3求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0-2η内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 帕塞瓦尔( Parseval功率守恒定理 (其中A=1,T=1/4,120) 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证 解:周期矩形脉冲的傅里叶级数为 “1cyp- Ec c.eve"vdr C 信号的平均功率为: 2丌2丌 x()2d 包含在有效带宽(-2m内的眢谐波平均功率为 P=∑CF 4.截断离散频谱的高频成分对κ()引入的失真 吉伯斯现象 (1)有限项截断后,傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 用有限次谐波分量来近似原信号,在(0的不连续点将出现过冲 过冲峰值不随N增加而减少,约为跳变值的9% E=j=j[xo-xox(o-xo=jmono-joxce 以方波为例:A=1,T=2,r=T/2=1 ∫xo∑c-d+∫∑Scc“= JIama dr-∑cjok"a =1(k2x12=2skr/ cn=12c2=0.n≠0.c2=5(2+/,cm1=C jlaoord-2cJ cos[(2n+1)rtI 当N∞E单调趋于0 =1+2∑--c0(2n+1x=3+2c(x-2oxm)+…

2014-06-18 4        k k T T x t dt C T P 2 / 2 / 2 2 | ( ) | 1 物理意义： 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 帕塞瓦尔(Parseval)功率守恒定理 3. 周期信号功率与离散频谱的关系 59 19 周期信号平均功率按各谐波成分的振幅大小分配给各分量 证： ( ) , | | / 2 0 = x t C e t T jk t k   k                                                                                  = 2 = * / 2 / 2 ( ) = = * / 2 / 2 = = * / 2 / 2 = * = / 2 / 2 * = = / 2 / 2 * / 2 / 2 2 | | 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 | ( ) | 1 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k T T j k n t k k n n T T jk t jn t k k n n T T jn t n n jk t k k T T jk t k k jk t k k T T T T e dt C C C T C C e e dt T C e C e dt C C T C e C e dt T x t x t dt T x t dt T P        例3 求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2/)内谐波 分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比 (其中A=1，T=1/4，=1/20) 59 20 解：周期矩形脉冲的傅里叶级数为：                   5 5 1 2 1 20 1 1/ 4 2 1/ 4 1 1/ 20 ( / 2) 0      k Sa k Sa k Sa T A Ck 包含在有效带宽(0~2/)内的各谐波平均功率为： 信号的平均功率为： 5 1 1/ 4 1 1/ 20 | ( ) | 1 2 / 2 / 2 2      A  T x t dt T P T T 5 1/ 20 2 2 1/ 4 0            T k T k k 59 21 0.1806 5 5 1 | | 5 = 5 2 5 = 5 2 1            k  k  k k P C Sa  90% 0.2000 0.1806 1    P P        8 1/ 4 2 2 [ / 5 ] , 25 1 | | 0 2 2     T C Sa k k 59 22 4. 截断离散频谱的高频成分对x(t)引入的失真 (1)有限项截断后，傅里叶级数于最小均方误差意义逼近原信号 均方误差                                 * * ( ) 2 * * * * 1 * 1 2 ( ) d d | ( )| d ( ) d | ( )| d [ ( ) ( )][ ( ) ( )]d ( ) ( )d ( ) d 0 0 0 0 T jk t N k N k T T N k N N n N j n k t k n T N k N jk t k T N k N jk t k T T T x t C e t C C e t x t t C x t e t E e t t x t x t x t x t t x t x t t x t C e t     59 23                                                             1 2 ( 1) 2 2 2 * * 2 * 2 2 * * * ( ) 2 | | | | | | | | | ( )| d | ( )| d | | ( ) d d | ( )| d ( ) d 0 0 0 k N k N k k N k N k k k N k N k T N k N k k T N k N k k k N k N k N k N T jk t k T T j n k t N k N N n N k n T jk t N k N k T C T C T C T C C C T C C T x t t C C T x t t T C C x t e t C C e t x t t C x t e t    当N，E单调趋于0 (2)吉伯斯现象 用有限次谐波分量来近似原信号，在x(t)的不连续点将出现过冲 ，过冲峰值不随N增加而减少，约为跳变值的9% 以方波为例： A 1, T  2,   T / 2 1              i [(2 1) / 2] / 2 2 1 1/ 2 2 2 2 1 1 ( / 2) 0 Sa k Sa k Sa k T A Ck      59 24                                                           cos(3 ) 3 2 cos( ) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) ( 1) 2 2 1 cos[(2 1) ] (2 1) sin[(2 1) / 2] 2 2 1 [ ] 2 1 ( ) [ ] , (2 1) sin[(2 1) / 2] 1/ 2; 0, 0; 0 0 0 (2 1) (2 1) 2 1 0 (2 1) (2 1) (2 1) 0 2 1 0 2 2 1 2 1 (2 1) 0 n t t t n n t n n C e e x t C e C C e C e C C n n C C n C n n n n j n t j n t n n j n t n j n t n k jk t k n n n n                

2014-06-18 §12能量信号的频谱分析 、傅里叶变换 Fourier transform) 1.从傳里叶级数到傅里叶变换 讨论周期η增加对离散频谱的影响 周期为T宽度为的周期矩形脉冲的 Fourier级数为 N=500 N=50 Ca-T Sa(not/2)=ICa=Ar Sa(noor/2) x() 周期η增大 TC变密 周期矩形脉冲信号的频谱 血nnnn A 傅里叶级数展开式为 x(1)=∑Cem,|rkT/2 典”9一: 傅里叶级数为: Ar sin(neg /2-Ar sa(neo/2), n=0,±1+2, 5

2014-06-18 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=5 N=15 59 25 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 N=50 N=500 §1.2 能量信号的频谱分析 一、 傅里叶变换(Fourier transform) 1．从傅里叶级数到傅里叶变换 讨论周期 增加对离散频谱的影响 59 26  T增加对离散频谱的影响 周期为T 宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数为： Sa( / 2) Sa( / 2) 0 0       n TC A n T A Cn   n  x(t) T t … … 59 27 TCn 0 n0 … … 周期T增大 x(t) T t … … TC 变密 59 28 0 … … TCn变密 n0 TCn            2 2 0 2 ( ) T t A t x t    周期矩形脉冲信号的频谱 傅里叶级数展开式为 59 29 ( ) , | | / 2 0 x t C e t T n jn t   n     ( 2), 0, 1, 2, ( 2) sin( 2) 0 0 0   Sa n n    T A n n T A Cn         傅里叶级数展开式为： 傅里叶级数为： 59 30