2014-06-18 二、典型基本运算 1.尺度变换x(1)→x(a 2.僧号的翻转x(0→x(4 将x()以纵轴为中心作翻转 x(-t) 着0<a1,则xan是x()的扩展 若a1,则x(a是x(0)的压缩 3.时移(平移)x()→x(-) 4.信号的相加x(0=x(+x()+……x0 x2() (t)表示信号右移 x(r+t)表示信号左移 5.信号的相乘x(O)=x1(0)x40)…x(0 6.信号的微分y(0=dx(ar=x( y(1) 59
2014-06-18 1 1. 尺度变换 x(t) x(at) a0 二、 典型基本运算 59 1 若0<a<1，则x(at)是x(t)的扩展 若a>1， 则x(at)是x(t)的压缩 2. 信号的翻转 x(t) x(t) 将x(t)以纵轴为中心作翻转 59 2 3. 时移（平移） x(t) x(tt0) t0>0 59 3 x(tt0)表示信号右移 x(t+t0)表示信号左移 4. 信号的相加 x(t)=x1(t)+ x2(t)+ ……xn(t) 59 4 5. 信号的相乘 x(t)=x1(t) x2(t) ……xn(t) 59 5 6 . 信号的微分 y(t)=dx(t)/dt=x'(t) 59 6 y(t) t 1 1 1 2 2 1
2014-06-18 注意:对不连续点的微分 7.信号的积分y()=x(r)dr () y(1) 8.信号的卷积 例1计算x(n)*y(1),其中x(t)=u(r),y(t)=eu(r) x()和y(的卷积定义为 4x()x(r) 1)(r ()*y(1)=Lx()(t-r)dr 卷积的计算步骤 1)将x(0)和y()中的自变量由r改为r x()y(-z) 2)把其中一个信号翻转、平移 )-型,y7)-平B,y(x-0)=)(-) = 3)将x(n与(相乘,对乘积以τ积分 f<0x(0*y()=0f20x0*y(0=-e-r=e“=1-5i 例2计算y(0=p1()P1(0 0<t< c)0≤<1 解:p(O)P() P1()P1(t-r) y(1)= d)1 st<oo P(r)P(-) a)-0r≤-1yn=0 P1(t)P1(t-) b)-1≤t<0 y(1) =1+t 05+1 59
2014-06-18 2 注意：对不连续点的微分 59 7 7. 信号的积分 t y(t) x( ) d 59 8 x(t)和y(t)的卷积定义为： x(t) y(t) x( ) y(t )d 1）将 (t)和 (t)中的自变量由t 改为 卷积的计算步骤： 8. 信号的卷积 59 9 y( ) y( ) y(( t)) y(t ) 翻转 平移t 1）将x(t)和y(t)中的自变量由t 改为 2）把其中一个信号翻转、平移 3）将x() 与y(t-)相乘，对乘积以 积分 x(t)* y(t), x(t) u(t), y(t) e u(t) t 计算 其中 x( ) y( ) 例1 解： 59 10 t t t t t t t x t y t t x t y t e d e e x t y t x y t d u e u t d if 0, ( )* ( ) 0; if 0, ( )* ( ) 1 ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 计算y(t) = p1(t) p1(t) ( ) ( ) 1 1 p p t 0.5 t 0.5 t 0.5 t 1 1 ( ) 1 p t -0.5 0.5 1 t ( ) 1 p 例2 解： 59 11 0.5 t 0.5 t ( ) ( ) 1 1 p p t 1 t 0 1 a) t 1 b) t < 0 y t dt t t ( ) 1 0.5 0.5 y(t)=0 t 1 p (t) p (t) c) 0 t < 1 y t dt t t ( ) 1 0.5 0.5 d) 1 t < (t) 0 59 12 0.5 t 0.5 t ( ) ( ) 1 1 p p t 1 1 -1 1 ( ) ( ) 1 1 p t p t t y(t)=0
2014-06-18 卷积的性质 位移特性证明: 1)交换律( Communitive):x1(0*x2(=x2(0x1(0 x(t-4)*x2(-12)=x1(r-4)x2(-r-12)dr =Cx(x1(-4-4-x2 2分配律 Distributive:r1(0+x2Ox(0=x1(0x)+x2)*x3(D )结合律( Associative): x1(0x2)x3(=x(0+x2(O*xfO 4位移特性( Delay accumulation 已知x1(0x0=y(0)则:x1(-1)x1-t2)=y(-1-2) x, (at)*x2 (at)=x, (ar)x2 a(t-r) 5展缩特性 已知x1(°x2(O=y x,(ar)*x2(at)=ny( C x,x)x(at-x)dr=sylar) 奇异信号的卷积 x(1)=xc()+xc(1)xc(t) x()di 1)延迟特性x()°at-n=x(t-n x-t+5(-)=2x(-4-h2) -1)461-4)=6 微分特性x(06'=x'(n 直流 x(n)=xpc()+xa(n) 3积分特性 ()+u()=fx(r)u(t-T)dr =lr(r)dr 三、信号的分解 交流 1.信号分解为直流分量与交流分量 2.信号分解为奇分量与偶分量之和 x(t)=x(1)+x() 偶分量奇分量 x(0)=1[x()+x-m)x(0)=5[x()-x- x()=-x(-1) 例3画出x(的奇、偶两个分量 59
2014-06-18 3 卷积的性质 1)交换律(Communitive)： x1(t)*x2(t) =x2(t)*x1(t) 2)分配律(Distributive)： [x1(t)+x2(t)]*x3(t)=x1(t)*x3(t)+x2(t)*x3(t) 3)结合律(Associative)： [x1(t)*x2(t)]*x3(t)=x1(t)*[x2(t)*x3(t)] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 x t x t x x t d x x t d x t x t 59 13 3)结合律(Associative)： [x1(t) x2(t)] x3(t) x1(t) [x2(t) x3(t)] 4)位移特性(Delay accumulation)： 已知 x1(t)*x2(t)=y(t) 则: x1(t - t1)*x2(t - t2)=y(t - t1 - t2) 5)展缩特性 ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 y at a 已知 x1(t)*x2(t)=y(t) x at x at x1(t t 1) x2 (t t2 ) x ( t )x (t t )d 1 1 2 2 x x x t t t x dx t x ( ) ( ) 1 2 1 2 1 ( ) 1 2 y t t t 位移特性证明： 59 14 x1(at) x2 (at) x x x at x dx a a x ( ) ( ) 1 1 2 ( ) 1 y at a 展缩特性证明： x (a )x [a(t )]d 1 2 奇异信号的卷积 1)延迟特性 x(t)*(t -T)=x(t -T) 2)微分特性 x(t)* '(t)=x'(t) 3)积分特性 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 x t t t t x t t t ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 t t t t t t t 59 15 )积分特性 t x(t) u (t) x( )u (t )d x( )d 三、 信号的分解 1．信号分解为直流分量与交流分量 b a DC x t dt b a x t ( ) 1 ( ) 直流 x(t) x (t) x (t) DC AC x(t) x (t) x (t) DC AC 59 16 交流 2. 信号分解为奇分量与偶分量之和 x(t) x (t) x (t) e o [ ( ) ( )] 2 1 x (t) x t x t e [ ( ) ( )] 2 1 x (t) x t x t o 偶分量 奇分量 59 17 x (t) x ( t) e e x (t) x ( t) o o 例3 画出x(t)的奇、偶两个分量 解： 59 18
2014-06-18 3,信号分解为实部分量与虚部分量 ()=x,()-jx(n) x,()=[x()+x() x(D)=[x()-x*() 续信号表示为冲激信号的选加 4.连续信号分解为冲激函数的线性组合 +x(k△u(t-kA)-a x(0)=…+x(0))-a(-△)△+x△)2(=△) §14常见信号的傅里叶变换 -k△)-l(-k△ 1、单边指数信号 (t)a>0 当A小0时,k4→,4dr,且 x(o)=L r(t)e"je'dt=[e"a'ejodt= ato M(t-k△)-l(t-k-△ 幅度频谱为roy=~ (1)=x(r)6(t-)dr=x(t)*() 相位频谱为o)= 单边指数信号及其帽度频谱与相位频谱 2、单位冲激信号6(0) Cel- s(xdt=ls(dt= (a) 59
2014-06-18 4 3．信号分解为实部分量与虚部分量 x(t) x (t) j x (t) r i 实部分量 虚部分量 x*(t) x (t) j x (t) r i 1 59 19 [ ( ) *( )] 2 1 x (t) x t x t r [ ( ) * ( )] 2 j 1 x (t) x t x t i 4. 连续信号分解为冲激函数的线性组合 59 20 ( )[ ( ) ( )] ( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )] x k u t k u t k x t x u t u t x u t u t k u t k u t k x k u t k u t k x k u t u t x u t u t x t x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) 59 21 当0时，k，d，且 x(t) x( ) (t )d x(t)* (t) ( ) ( ) ( ) t u t k u t k 1、单边指数信号 ( ) ( ) 0 x t e t u t ， X x t e dt t j ( ) ( ) e e dt t jt e t 1 ( j ) §1.4 常见信号的傅里叶变换 59 22 X x t e dt j ( ) ( ) 幅度频谱为 2 2 1 ( ) X 相位频谱为 () arctg e e dt j 0 j j ( ) 0 单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱 59 23 2、单位冲激信号δ(t) 单位冲激信号及其频谱 F[ ( )] ( ) ( ) ( ) 1 0 t t e dt e t dt t dt t j t j t 59 24 0 t (t) (1)
2014-06-18 3、直流信号 直流信号及其频谱 FLA=2T AS(o) F[A]= Ae e dr a()=2rcdb3o)-2[ 对照冲激、直流时频曲线可看出: 时垣持续越宽的信号,其频垣的频谱越 时持续越窄的信号,其频域的频谱越宽 4、符号函数信号 符号函数的幅度频谱和相位频谱 符号函数定义为:sgn1)={0t=0 Fsgn(r) ∫(-l"md+ a+Jo o-yo a+Jo 112 FIsgn(D)-=lim Fisgn(te -ow )==jo jo jo 5、单位阶跃信号u() 6、复简谐信号e(-∞<t<∞) ()=1((o+a(-)}+1(--)}=2+sgo 26() Hu(1)=(o) ∫e ·阶跃信号及其频谱 同理:He-=h=2(+mo) 59 5
2014-06-18 5 3、直流信号 F[A] 2 A () A Ae dt j t F[ ] 59 25 F[ ] 2 () A A e dt A j t t e d e dt j t j t 2 1 ( ) 2 1 ( ) 0 t 1 直流信号及其频谱 59 26 对照冲激、直流时频曲线可看出: 时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄 时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽 4、符号函数信号 符号函数定义为： 1 0 0 0 1 0 sgn( ) t t t t 0 ( 1) F[sgn( ) ] sgn( ) e e dt e e dt t e t e e dt t j t t j t t t j t 对 >0，有： 59 27 j j j t t e t 1 1 2 F[sgn( )] lim F[sgn( ) ] 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) t j t t j t j e j e j j 1 1 符号函数的幅度频谱和相位频谱 j t 2 F[sgn( )] 59 28 / 2 / 2 () 0 5、单位阶跃信号u(t) { ( ) ( )} 2 1 { ( ) ( )} 2 1 u(t) u t u t u t u t sgn( ) 2 1 2 1 t j u t 1 F[ ( )] ( ) 阶跃信号及其频谱 59 29 0 t u(t) 1 / 2 / 2 () 0 阶跃信号及其频谱 ( ) 0 j e t t 1 2 ( ) j e dt 由 t F[ ] 2 ( )0 j j( ) 0 0 e e dt 得 t t 6、复简谐信号 同理：F[ ] 2 ( ) -j j( ) 0 0 e e dt t t 59 30 同理：F[ ] 2 ( )0 j j( ) 0 0 e e dt