复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_08 模拟信号数字化

2014-06-18 三、随机信号的相干函数 若和不相关→R(m=0→S(a ·两个随机信号y(和x(n)的相干函数定义为: IS(o) r() S,(o)S,(a) 千函数在频率域征两个随机信号各频率成份的 ·着x(0)和v(n为一线性系统的输入与输出,则有 相干函数大于0而小于1,存在两种情况 x(.H(o) yo)S(o)=S,(o)IH(o)R ◆连续y(0和x()的系统是非线性的 S(o=S(oH(o) ◆测量值中含有噪声,即n和x()是信号和噪声的叠加 Sn(ao)P|S,(o)H(o)尸 H() a S(oS(o) S(o)S(O) H(oR x()=l()+n(t),信号u()与噪声n(t)不相关 S(o)=S(o) y(1)==(1)+v(),信号=(t)与噪声v(t)不相关 理想的相干函数为: R(r)=E1x()x'(t-t)=E{[()+m()u'(t-r)+n'(t-r)} S2()S2(c) Elu(t)u(I-r)+Elu(t)n(I-r)+ En(tu(t-r) IS(o)R +Eln(on(t-r)=R (r)+0+0+R(r)=R(r)+R,(r) (o S,o)S(o) IS(o)+S,(o)IS(o)+S,(o)] S2(o)=S(m)+Sn() S=(O) 类似地可得到:S,(o)=S2(o)+S,(o) S,(a)S(o/1+ S,()S,(o) Rn()=ED()x(-t)=E{=()+v()a(-r)+n(-r)} =El()(t-r)+E('(t-t)+Elv(r)(t-t) +Ev(rm'(t-t)=R(r)+0+0+0=R(r) S(o) S(o) 第三章数字通信系统 模拟信号( Analogue signals): 连续时间信号或幅度取值连续的信号的总称 §3.1模拟信号的数字化原理 数字信号( Digital signals): 幅度取值为某个量值整数倍的离散时间信号 连续时间信号( Continuous time signals): 棋拟信号→数字信号的步骤 观测中的任意时间值上信号均有确定的值 抽样量化编码 、抽样定理( Sampling Theorem) 信号( Discrete time signals): 得号仅在规定的离散时刻有定义 着带限信号x(的最高频率为m,则信号x(n可 以用等间隔T的抽样值(an唯一地表示。而抽样间 隔T需不大于12/m,或最低抽样频率不小于2m

2014-06-18 1 三、随机信号的相干函数  两个随机信号y(t)和x(t)的相干函数定义为： ( ) ( ) | ( )| ( ) 2     x y yx yx S S S r   若x(t)和y(t)为一线性系统的输入与输出，则有： 52 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| ( )| 2       S S H S S H yx x y x   1 ( ) ( )| ( )| | ( )| | ( )| ( ) ( ) | ( )| ( ) 2 2 2 2              S S H S H S S S r x x x x y yx yx  若y(t)和x(t)不相关  Ryx()=0  Syx()=0 相干函数在频率域表征两个随机信号各频率成份的 互相关联程度 0 ( ) ( ) | ( )| ( ) 2        x y yx yx S S S r  相干函数大于0而小于1 存在两种情况： 52 2  相干函数大于0而小于1，存在两种情况：  连续y(t)和x(t)的系统是非线性的  测量值中含有噪声，即y(t)和x(t)是信号和噪声的叠加 信号 与噪声 不相关 信号 与噪声 不相关 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) y t z t v t z t v t x t u t n t u t n t     [ ( ) ( )] ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} * * * * * * *             u n u n x E n t n t R R R R E u t u t E u t n t E n t u t R E x t x t E u t n t u t n t                      52 3 () () () x u n  S  S  S 类似地可得到： () () () y z v S  S  S n(t)和v(t)不相关，还可得到： [ ( ) ( )] ( ) 0 0 0 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} * * * * * * *           zu zu yx E v t n t R R E z t u t E z t n t E v t u t R E y t x t E z t v t u t n t                     理想的相干函数为： 1 ( ) ( ) | ( )| ( ) 2       z u zu zu S S S r () () yx zu  S  S [ ( ) ( )][ ( ) ( )] | ( )| ( ) ( ) | ( )| ( ) 2 2               u n z v zu x y yx yx S S S S S S S S r 52 4 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 | ( )| 2                                           z v u n z v u n u z zu S S S S S S S S S S S 第三章 数字通信系统 §3.1 模拟信号的数字化原理 连续时间信号(Continuous Time Signals)： 观测中的任意时间值上信号均有确定的值 52 5 离散信号(Discrete Time Signals)： 信号仅在规定的离散时刻有定义 模拟信号(Analogue Signals)： 连续时间信号或幅度取值连续的信号的总称 数字信号(Digital Signals)： 幅度取值为某个量值整数倍的离散时间信号  模拟信号  数字信号的步骤： 52 6 抽样 量化 编码 一、抽样定理(Sampling Theorem) 若带限信号x(t)的最高频率为fm，则信号x(t)可 以用等间隔T 的抽样值x(nT)唯一地表示。而抽样间 隔T 需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm

2014-06-18 (一)、信号抽样的理论分析 x()=x(0可) x(o 6()=∑(t-nD 信号理想抽样橫型 x()=x()-61()=x()∑(-mn7) 着从抽样信号x,()中恢复原信号x(0,需满足两个条件: (1)x(是带限信号,即其频谱函数在m各处为零 ()=∑0-m)←→61(m)=a,∑(0-n,) (2)抽样间隔T需满足T≤x/on=1/(2fn), 傅里叶变换的频率域卷积性质:时域相乘ν频堿卷积 x,(1)=x()·61(1)→X,()=[X(o)*(o) =》/m为最小抽样频率 ·抽样信号的频谱 称为奈奎斯特频率( Nyquist Rate) x,(o)=LLX(o)* (@)=1 x(a).2T26(o-no, ) I (二)、理想抽样信号的频谱分析 no. 抽样角频率O,T 信号频谱x(1)←→X() 了f Y(o-nO)= 4-=) 抽样信号的频谱除比例因子1外,等于原信号 频谱在频率轴上以@-2π/T的周期重复 昔专:MA 抽样信号的频谱不混叠的条件 T00 =,≥2f 2e,-0,,20,-2o,-0,,20

2014-06-18 2 (一)、信号抽样的理论分析 (t)  T ... ...      n  T (t)  (t nT) 52 7 t  T 0 T                   n n n s T x t t nT x nT t nT x t x t t x t t nT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     x (t) x(t) (t) s T   52 8 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 x t x t x t s  s  s ? xs1(nT)  xs2 (nT)  xs3 (nT)  若从抽样信号xs(t)中恢复原信号x(t)，需满足两个条件： f = 2f 为最小抽样频率 (1) x(t)是带限信号，即其频谱函数在||>m各处为零 (2) 抽样间隔T 需满足 ， / 1/(2 ) m m T     f 或抽样频率fs需满足 fs  2fm (或ωs  2ωm) 52 9 fs = 2fm 为最小抽样频率 称为奈奎斯特频率(Nyquist Rate) (二)、理想抽样信号的频谱分析 T s   2 抽样角频率  信号频谱 x(t) X () F   抽样脉冲的频谱：            n T s s F n  T (t)  (t nT)  ()   ( n )  傅里叶变换的频率域卷积性质：时域相乘频域卷积 [ ( )* ( )] 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )     s  T Xs  X T x t  x t  t   52 s 10 f 2  抽样信号的频谱：                       n s n s n s T s X n T X n T n T X X X ( ) 1 ( )* ( ) 1 ( ) 2 ( )* 2 1 [ ( )* ( )] 2 1 ( )                   抽样信号的频谱：                 n n s s T n X T X n T X      1 2 ( ) 1 ( ) 抽样信号的频谱除比例因子1/T外，等于原信号 频谱在频率轴上以s=2/T 的周期重复 52 11 s  m  m    m  m  s  m  s s m f f T 2 1    抽样信号的频谱不混叠的条件： 52 12 s  2s s  s 2 s s  2  s 2s

2014-06-18 抽样信号x()频谱与抽样间隔T关系: 实际信号不满足带限条件时 X(o) x() 抗迭混 e,=2n 低通滤波器 (入M(a- e,=1.50 X[ac)xa入X(a-a) 混叠( aliasing) 混叠误差与微断误差比较 三、信号的重建 X1(a) () 信号重建模型 x(a)=H,(o)x,(o) X() 由抽样信号x(恢复连续信号x( IsnT =Mok =auT)=-2xk7).(. ntr-kr h()=F[H(o) 空(2))= s(n-k)x={0k≠n ()=x,(1)*b()=∑xkT)h(1-kT

2014-06-18 3 抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔T 关系： s 5 m  2.  s  m  2 52 13 混叠(aliasing) s 5 m 1. 实际信号不满足带限条件时 抗迭混 低通滤波器 x(t) ( ) 1 x t h(t) 52 14 混叠误差与截断误差比较 52 15       0 / 2 / 2 ( ) s s r T H      信号重建模型 (三)、信号的重建 X ()  H ()X () 52 16 () () () X  Hr Xs 由抽样信号xs(t)恢复连续信号x (t) - T T t 1 0          2 ( ) F [ ( )] Sa 1 t h t H s r r   52 17                                             k s k s k s k s r r k t x kT Sa kT T t x kT Sa t kT x kT Sa x t x t h t x kT h t kT      2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                                          k n k n Sa n k k x kT Sa n k nT T x kT Sa k nT t nT x t x nT x kT Sa k k k s t nT 0 1 [( ) ] ( ) [( ) ] 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )       52 18

2014-06-18 不同情况下信号恢复的比较 信号重建的理想低通滤波器 H(o) XYYY /<2,,,,, ·抽样信号的频谱不混叠的条件:c≤ YYYYYY/2/ ▲X: ·实际低通滤波器的通带:0~an 过渡带:an(a-an 阻带:>(a-an) a,= 信号抽样与恢复的小结 H(e)=H,(m)= x,0 >= →需采用理想低通滤波器 实际上无法完全无失真重建倍号 ·当a>2a时,可完全无失真地量建信号 抽样频率越高,单位时间的信号抽样值越多 2,-e,0a2 般而言,抽样频率取为 2on<e2<40。 幅度量化( Amplitude quantization 设x和x分别为第个量化间隔的上、下分界电平,该层输 抽样后信号在时间上高散,但幅度仍是连转取值的仍属于 拟信号) x≤V≤x1 为变成教字信号,还需将连续的抽样值高散化:幅度量化 ·V通常有三种取法 量化:对信号的幅度“分级”或“分层” 四舍五入法:V=(x-+x)/2 均匀 uniforn)量化:将输入信号的幅度取值按等间隔分层 舍去法 并在每层的取值域中选一个固定的值作为该层输出的量化值 ◆补足法 均匀量化的间隔是一常数,大小取决于输入信号的幅度变化 输入售号幅度范国四舍五入法量化值會去法量化值补足法量化值 范国和量化电平数(分层数) 0.5△v 为处号曲彻的同太为小值分别为1,量化电数 2A\ 3△v4A vs△v 45ΔV

2014-06-18 4 s m f  2 f s m f  2 f 不同情况下信号恢复的比较 52 19 s s  2 s  m 0  m  s 2 s m f  2 f        m T m H      0 ( )       m T m H      0 ( )       0 / 2 / 2 ( ) s s r T H       抽样信号的频谱不混叠的条件： 2 s m     信号重建的理想低通滤波器： 52 20  实际低通滤波器的通带：0～m 过渡带：m~(s-m) 阻带：>(s-m)  当 时            2 0 2 ( ) ( ) s m s m r T H H          需采用理想低通滤波器 实际上无法完全无失真重建信号 s  2 m 52 21  当s>2m时，可完全无失真地重建信号  抽样频率越高，单位时间的信号抽样值越多  一般而言，抽样频率取为： 2 m s  4 m 信号抽样与恢复的小结 52 22  s  m m  m m  2s 0 s 2s  m 2 1   二、幅度量化(Amplitude quantization)  抽样后信号在时间上离散，但幅度仍是连续取值的(仍属于 模拟信号)  为变成数字信号，还需将连续的抽样值离散化：幅度量化  量化：对信号的幅度“分级”或“分层”  均匀(uniform)量化：将输入信号的幅度取值按等间隔分层， 并在每层的取值域中选 个固定的值作为该层输出的量化值 52 23 并在每层的取值域中选一个固定的值作为该层输出的量化值  均匀量化的间隔是一常数，大小取决于输入信号的幅度变化 范围和量化电平数(分层数)  设输入信号的幅度最大、最小值分别为b和a，量化电平数 为N，则均匀量化的间隔为： N b a V     设xi 和xi-1分别为第i个量化间隔的上、下分界电平，该层输 出的量化值为Vi ，则有： i i i x V  x 1  Vi 通常有三种取法：  四舍五入法：  舍去法：  补足法： Vi  (xi1  xi)/ 2 i  i1 V x i i V  x 52 24 i i 输入信号幅度范围 四舍五入法量化值 舍去法量化值 补足法量化值 0～V 0.5V 0 V V～2V 1.5V V 2V 2V～3V 2.5V 2V 3V 3V～4V 3.5V 3V 4V 4V～5V 4.5V 4V 5V

2014-06-18 设幅度被量化为V,则量化误差e定义为 三种量化方法下的量化特性曲线 四舍五入法量化误合去法量化误差补足法量化误 0.5Av-0.5Av 0△v 舍去法的电路比四舍五入法简单 ·对舍去法,若在恢复时对量化的输出加上半个量化间隔,则 总的量化误差与四舍五入法完全一致 这是常用的一种量化方法 -4AI -3AV -2Ar 2AI3MF4△ 量化过程会在重建信号时引入误差,这是不能恢复的 2AF—补足法 量化影响相当于在系统中引入附加的噪声,称为量化噪声 四會五入法 量化特性曲线:输入信号幅度和它的量化值的关系曲线 合击法 三、量化噪声 设输入双极性信号量化为N级,量化间隔为A,均匀量化的 抽样后高散信号的量化误差为: 瀚入信号的抽样值超过该范围,称量化器已过载 e(kT)=x(kr)-x (kT) 中xn为抽样后的离散信号x(T的量化值 :翻心海声分为: 在四舍五入法中,量化误差e(kn的幅度绝对值不超过0.5Av 避免过载量化噪声的方法:适当控制输入信号的幅度范围 下面主要讨论一般量化噪声的功率 量化误差相当于一个噪声的作用,称为量化噪声 取值在第冷个量化级x≤的信号,将被量化为,量化噪 x(An 当信号幅度的概率密度为px),则第个量化级的量化噪声的 平均功率为 为保证信号量化后失真很小,量化级N>1,间隔A足够小 →同量化级中,p(x)近似为常数p( 广(x-)p P(S(r-1)'dr==p()(x-v) N ∑P=12(△F)2 第级量化噪声的平均功率与量化电平V有关 ·均匀量化时,只要N足够大,量化噪声功率仅与量化间隔AV =0→Na→mn H==(x1+x-1) 若不是均匀量化,AV=xrx21 量化噪声功率为 再加上△=x1-x-1 Na=P(V)△ N,=∑N=E(AH)] 信号幅度落在第个量化级的概率为:p(VAHP 倍号功率与信号 当信号在土AN内均匀分布时,其功率为 [△+(-1)△V ·总的量化噪声功率N为各量化级量 52 5

2014-06-18 5  设幅度x被量化为Vi ，则量化误差e定义为： Vi e  x  四舍五入法量化误差 舍去法量化误差 补足法量化误差 -0.5V~0.5V 0~V -V~0  舍去法的电路比四舍五入法简单  对舍去法，若在恢复时对量化的输出加上半个量化间隔，则 52 25  对舍去法，若在恢复时对量化的输出加上半个量化间隔，则 总的量化误差与四舍五入法完全一致  这是常用的一种量化方法  量化过程会在重建信号时引入误差，这是不能恢复的  量化影响相当于在系统中引入附加的噪声，称为量化噪声  量化特性曲线：输入信号幅度x和它的量化值y的关系曲线 y V 2V 3V 4V V/2 三种量化方法下的量化特性曲线 52 26 补足法 V x 四舍五入法 舍去法 -4V -3V -2V 2V 3V 4V -2V -3V -4V 三、量化噪声  抽样后离散信号的量化误差为：  在四舍五入法中，量化误差e(kT)的幅度绝对值不超过0.5V e(kT) x(kT) x (kT)   q 其中xq(kT)为抽样后的离散信号x(kT)的量化值  量化误差相当于一个噪声的作用，称为量化噪声 52 27 x(kT) xq(kT) e(kT)  设输入双极性信号量化为N级，量化间隔为V，均匀量化的 幅度限制在-NV/2~NV/2范围  若输入信号的抽样值超过该范围，称量化器已过载  称NV/2为过载电平  量化噪声分为：一般量化噪声、过载量化噪声  避免过载量化噪声的方法：适当控制输入信号的幅度范围  下面主要讨论一般量化噪声的功率  取值在第i个量化级(xi-1xxi )的信号，将被量化为Vi ，量化噪 声为 52 28 ：ei =x-Vi  当信号幅度的概率密度为p(x)，则第i个量化级的量化噪声的 平均功率为：        i i i i x x i x x qi i N e p x dx x V p x dx 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2  为保证信号量化后失真很小，量化级N>>1，间隔V足够小  同一量化级中，p(x)近似为常数p(Vi )      i i x x qi i i N x V p V dx 1 ( ) ( ) 2  第i 级量化噪声的平均功率与量化电平Vi 有关 ( )[( ) ( ) ] 3 1 ( ) ( ) 3 1 2 3 1 i i i i i x x Nqi p Vi x Vi dx p V x V x V i i           0   min qi i qi N dV dN ( ) 2 1  i  i  i1 V x x 再加上 V  x x 3 ( )( ) 1  N V V 52 29   i  i1 再加上 V x x 3 ( )( ) 12  Nqi  p Vi V  信号幅度落在第i个量化级的概率为：p(Vi )V=Pi 2 ( ) 12 1  Nqi  Pi V  总的量化噪声功率Nq为各量化级量化噪声功率之和：  若不是均匀量化，Vi =xi -xi-1  量化噪声功率为： [( ) ] 1 ( ) 1 2 2 N P V  N N E V 2 2 2 ( ) 12 1 ( ) 12 1 ( ) 12 1 N N P V V P V i i i i i q   qi          均匀量化时，只要N足够大，量化噪声功率仅与量化间隔V 有关，与信号幅度的概率密度分布无关 52 30 [( ) ] 12 ( ) 12 2 2 i i Nqi  Pi V  Nq  Nqi  E V  信号功率与信号幅度的分布有关  当信号在NV/2内均匀分布时，其功率为： 12 ( 1) 12 ( 1) 4 3 1 [ ( 1) ] 2 1 2 2 2 2 2 2 / 2 / 2 1 2 / 2 / 2 1 2 N V N V N N N V N S V P i V i V N i N N i N q i i                            