复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_04 确定信号通过线性系统

2014-06-18 §1.6能量谱与功率谱 二、功率信号和功率谱 、能量信号和能量谱 功率信号:能量无限、功率P有限的信号 能量信号:能量E有限的信号 lx(D)|dt<M<∝ 能量信号的帕塞瓦尔定理 E-xoh=2n厂x(o)fdo 为分析功率信号x(的功率密度谱,将x(截断为能 量信号x0 定义:能量信号的能量谐密度函数(简称能量谱)为 m()→x(0)={x(0|r E(o)=X(o)? 设能量信号x的能量谱为E叫=Kω)P 能量谱E(ω与相位谱无关,只与振幅谙有关 根据能量信号的帕塞瓦尔定理 厂E(ok 2LE,( o)do=C lx, (oP dt =Cralxdof dr P-limirnalxof d --.E, todo 三、周期信号傅里叶变换及其功率谱 1、周期信号傅里叶变换的计算方法 E,() do=_limL(o)F (1)、从周期信号的傅里叶级数出发 x(1)=∑Ce 定义:功率信号的功率谱密度函数(简称功率谱)为 两边同取傅里叶变换 P(o) E1() x2(o) Hx)=∑C,e=∑ Cr Flee 功率信号的帕塞瓦尔定理 根据复简谐信号的傅里叶变换 FIx(0]=2r 2C,8(0-noo) 54 (2)、基于冲激函数序列的方法 ·周期信号x八(可以表示为 ·冲激函数:() x1(0)=x(0)*()=x()*∑(1-m7)其中 =∑x(1)*8(-n)=∑x-n) 冲激函数劇列:1(1)=∑(t-n7) 个 titp- nano在 2(r) 根据信号傅里叶变换的性质,有 FLx()]=F[x()F{G1() t

2014-06-18 1 能量信号：能量E有限的信号 §1.6 能量谱与功率谱 一、能量信号和能量谱            E x t dt X d 2 2 | ( ) | 2 1 | ( ) | 能量信号的帕塞瓦尔定理： 54 1    E E d      ( ) 2 1 2 E() | X () |   2   定义：能量信号的能量谱密度函数(简称能量谱)为 能量谱E()与相位谱无关，只与振幅谱有关 功率信号：能量无限、功率P有限的信号 二、功率信号和功率谱       P x t dt M / 2 / 2 2 | ( ) | 1 lim     为分析功率信号x(t)的功率密度谱，将x(t)截断为能 量信号x (t)：    54 2 根据能量信号的帕塞瓦尔定理： 设能量信号x (t)的能量谱为E ()=|X ()|2 量信号x (t)：        0 else 2 ( ) | | ( ) ( )   x t t x t x t          / 2 / 2 2 2 ( ) | ( ) | | ( ) | 2 1        E d x t dt x t dt 2 E ( ) | X ( ) |                                                 d X d E P x t dt E d 2 / 2 / 2 2 | ( ) | lim 2 ( ) 1 lim 2 1 ( ) 2 1 1 | ( ) | lim 1 lim 定义：功率信号的功率谱密度函数(简称功率谱)为 54 3          2 | ( ) | lim ( ) ( ) lim E X P     功率信号的帕塞瓦尔定理：                P x t dt P( )d 2 1 | ( ) | 1 lim / 2 / 2 2  两边同取傅里叶变换： n t n T n x t C e 0 j ( )      ) 2 ( 0 T    三、周期信号傅里叶变换及其功率谱 1、周期信号傅里叶变换的计算方法 (1)、从周期信号的傅里叶级数出发 54 4           n t n T n x t C e 0 j F[ ( )] F  F[ ( )] 2 ( )   0 x t  C  n n T   n     F[ ] 0 jn t n n C e        根据复简谐信号的傅里叶变换： (2)、基于冲激函数序列的方法  冲激函数： (t)  (t)  冲激函数序列：    (t)   (t  nT ) 54 5  冲激函数序列：   n  T (t)  (t nT )  周期信号xT(t)可以表示为：                    n n n T T x t t nT x t nT x t x t t x t t nT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          0 else 2 ( ) | | ( ) T x t t x t T 其中 54 6  根据信号傅里叶变换的性质，有： F[x (t)] F[x(t)]F[ (t)] T   T

2014-06-18 6(为周期信号,其傅里叶级数为 冲激函数序列及其频谱函数 ()-dr (0)=∑a-mn)=c-∑e ·两边作傅里叶变换,得 B0凸 FO(OI ∑(t-m→a∑6(0-km) a∑6(a-ko 冲激函数序列的频谱是频率域上的冲激函数序列 Hx1()=F[x()H1()=X(o)∑(a-kab) 根据傅里叶级数和傅里叶变换的关系:C=-X(ka) H1x1()=2∑x(ka6(a-ka)=2x∑C5(a-ka) 6 Xol 0123 54 根搋 据周期信号的帕塞瓦尔定理 设周期信号的功率谱密度函数为Pa,则有: P=∑|C4F=∑CF(a-ko0Ma =C∑ 2、周期信号的功率谱 周期信号的功率为:P=Lmx(f P(a)=2z∑|CkF(-ka)

2014-06-18 2  T(t)为周期信号，其傅里叶级数为：               k k t k k t k n T e T t t nT C e 0 0 j 1 j ( ) ( )     T t dt T t e dt T C T T jk t T T k 1 ( ) 1 ( ) 1 / 2 / 2 / 2 / 2 0           54 7 2 ( ) 1 F[ ] 1 F[ ( )] 0  0     k T e T t k k jk t T               k ( k ) 0   0  两边作傅里叶变换，得： F[ (t)] T  ( )  0   (t) T  (1)   冲激函数序列及其频谱函数 54 8 T 0 T t 0 0 0  冲激函数序列的频谱是频率域上的冲激函数序列 T t nT k n k        2 ( ) ( ), 0 0 0 F                            k k k T T X k k T X k T x t x t t X k ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 F[ ( )] F[ ( )]F[ ( )] ( ) ( ) 0 0 0 0 0                 54 9  根据傅里叶级数和傅里叶变换的关系： ( ) 1 0 X k T Ck             k k k T X k k C k T x t ( ) ( ) 2 ( ) 2 F[ ( )] 0   0    0  54 10 54 11 2、周期信号的功率谱  周期信号的功率为： x t dt T P T T  T   / 2 / 2 2 | ( ) | 1    P P d     ( ) 2 1 P Ck  Ck   k d       | |  | | (  ) 0 2 2  根据周期信号的帕塞瓦尔定理： 设周期信号的功率谱密度函数为P()，则有：        k k T T x t dt C T P 2 / 2 / 2 2 | ( ) | 1 54 12               C k d C k d k k k k k k k k                             2 | | ( ) 2 1 | | ( ) | | | | ( ) 0 2 0 2 0       k k P( ) 2 |C | ( k )0 2     

2014-06-18 时不变系统( Time-invariant System) §17确定信号通过线性时不变系统 、系统的时间一频率表示法 线性系统( Linear System) 1) 连续系统 连续系统 ax1()+6x1 连续系统()+G) x()=∑ax()=y()=∑ay(n 线性时不变系统: x(1)=…+x(0)Ua(D)-a(t-△)+x(△a(-△)-a(-2△)+ ()=∑ax(-1)→y(0)=∑ay(1-1) k 提示:若一个信号可以分解为一系列信号的线性组合,而 且这一系列信号通过线性时不变系统的输出已知,则很容 +xk)(-k)-A△△+… 易推导出该信号通过系统的输出 任一连续信号x()均可分解为冲激函数的线性组合 =∑xA)0(-0)(-6-△ 当4咐时,k4→r,4dr,且 x(1)=x(r)6(t-r)dr=x()*o() 连续信号表示为冲激信号的选加 结论:若已知冲激函数&通过线性时不变系统的输出,则 Fo()=1 任一信号通过该系统的输出均可得到 冲激函数a0等价于所有可能频率的等幅度正弦信号的叠加 定义:冲激函数通过线性时不变系统的输出h(为该系 冲激函数a作为线性时不变系统的输入,等价于同时用所 统的冲激响应 有可能频率的等幅度正弦信号测试该系统 G),连续系统 Fho]=H(o) 线性时不变系统的冲激响应h(确定,任一信号通过该系统 定义:冲激响应h(0)的傅里叶变换为系统的频率响应H(a 的输出均可得到 H(a)=如d H(a反映系统对输入信号不同频率分量的传输特性 线性时不变系统在时间域上可唯一地用冲激响应h()来描述 系统受单一频率言号激励时,响应与激励之比定 54义为H(o在该频率a处的值

2014-06-18 3 §1.7 确定信号通过线性时不变系统 一、系统的时间－频率表示法  线性系统(Linear System)： 54 13      i i i i i i x(t) a x (t) y(t) a y (t)  时不变系统(Time-invariant System)： x(t)  y(t) ( ) ( ) 0 0  x t  t  y t  t 54 14  线性时不变系统：        i i i i i i i i x(t) a x (t t ) y(t) a y (t t ) 提示：若一个信号可以分解为一系列信号的线性组合，而 且这一系列信号通过线性时不变系统的输出已知，则很容 易推导出该信号通过系统的输出 任 连续信号 均可分解为冲激函数的线性组合 54 15  任一连续信号x(t)均可分解为冲激函数的线性组合                                                                 u t k u t k x k u t k u t k x k u t u t x u t u t x x k u t k u t k x t x u t u t x u t u t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) (0) ( )[ ( ) ( )] ( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )]       54 16 当0时，k，d，且  x(t)  x( ) (t  )d  x(t)* (t)        k x(k ) ( ) ( ) ( )           t u t k u t k 结论：若已知冲激函数(t)通过线性时不变系统的输出，则 任一信号通过该系统的输出均可得到 定义：冲激函数(t)通过线性时不变系统的输出h(t)为该系 统的冲激响应 54 17  线性时不变系统的冲激响应h(t)确定，任一信号通过该系统 的输出均可得到  线性时不变系统在时间域上可唯一地用冲激响应h(t)来描述  F[ (t)] 1 F[h(t)]  H()  冲激函数(t)等价于所有可能频率的等幅度正弦信号的叠加 冲激函数(t)作为线性时不变系统的输入，等价于同时用所 有可能频率的等幅度正弦信号测试该系统 54 18 定义：冲激响应h(t)的傅里叶变换为系统的频率响应H() H h t e dt jt     ( )  ( ) H()的物理意义： H()反映系统对输入信号不同频率分量的传输特性 系统受单一频率信号激励时，响应与激励之比定 义为H()在该频率处的值

2014-06-18 H(o)=H(o)le 两边作傅里叶变换: 系统的幅频特性 系统的相频特性 8(n= dh0+(=I=RC joH(o)+H(o) 线性时不变系统在频率城 地用频率响应H(o来描述 H(a)= 例1试求图示的RC低通电路系统的h(0)和H(a 厂 I+JoRC 解:RC电路的微分方程为: o(0-h(=c dh(o) =60)=RChO+M(0 H()=a+j0 a+/31H(o)-a 二、时间域求解法 任一信号x(可分解为a的组合 低通滤波器 x(o= x(r)o(t-r)dr=x(o)*8(n) 实际应用 当求解信号通过系统产生的响应时,只需求解冲激信号通过 该系统产生的响应(,然后利用线性时不变系统的特性 进行选加和延时即可求得信号x(n产生的响应 随着频率增加,系统的幅频响应H(甽不断减小,说明信号 (1)→h() 频率越高,信号通过该系统的损耗也就越大 因H(a)0.707,将四m1/R(称为该系统的3dB截频 (-2)→h(t-r)x(r)6(t-r)→x(r)h(t-r) 54 求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 x(t) cT→ht Definition CT LTI Time invarance CT LTI tme invarance CT LTI Scaling x(kI 8(t-k I T→x/)htk Scaling CT LTI Superpostor∑xk)6t-k CTn一→∑xhtk CT LTI

2014-06-18 4 j ( ) ( ) | ( ) |   H   H  e 系统的幅频特性 系统的相频特性  线性时不变系统在频率域上可唯一地用频率响应H()来描述 例1 试求图示的RC低通电路系统的h(t)和H() 解 电路的微 为 54 19  (t) h(t) R C 解：RC电路的微分方程为： t t h t h t d d ( ) C R ( ) ( )    ( ) d d ( ) ( ) RC h t t h t   t   两边作傅里叶变换： 1 RC 1 ( )   j H    ( ) 1 RC ( ) ( ) d d ( )  ( ) RC h t jH  H  t h t t      1 RC 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) e d j h t H e d j t j t                   54 20 ( ) RC 1 2 2 1 RC RC e u t j t       若令： RC 1 a    a j a H  ( )  h(t) ae u(t) at  RC电路系统的幅频响应 低通滤波器 2 2 ( ) | ( ) |          a a H a j a H 54 21 随着频率增加，系统的幅频响应|H()|不断减小，说明信号 频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大 因|H(a)|=0.707，将c=a=1/RC称为该系统的3 dB截频 实际应用： 当求解信号通过系统产生的响应时 只需求解冲激信号通过  任一信号x(t)可分解为(t)的组合 二、时间域求解法 x(t)  x( ) (t  )d  x(t)* (t)    54 22 当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过 该系统产生的响应h(t)，然后利用线性时不变系统的特性， 进行迭加和延时即可求得信号x(t)产生的响应  (t)  h(t)  (t   )  h(t   ) x( ) (t  )  x( )h(t  ) 求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 54 23  求解信号通过线性时不变系统输出的示意图 54 24

2014-06-18 例2试求图示方波通过RC低通电路系统的输出 x(1)=∑xkA) ∑x(kA)64(-AA)△ 例1中已求出RC电路系统的冲激 h(t=ae u(0,a= t 确定性信号通过线性时不变系统 y(1)=x(1)*h(1) 当40时,k4→r,Adr,且610-A)→B(-t),h(t-k)→h-r y()=x(r)h(t-r)dr=x(1)*h() 当t<0时, 当0≤tsT时 y(t)={A(1-e)0st≤T A(e“r-l)e-t>T 当t>T时, y0)=⊥x)-ur [Aae--edr=Ae 54 频率域求解法 (t)=x(1)h1() y(1)=x(1)°h(1) y()=(1)*h2(1)=x(1)°h(m)*h2(1) 两边作傅里叶变换 Y()=X(o)H() 根据卷积积分的结合律性质,有 确定性信号通过线性时不变系统 y(1)=x()*h1(1)*h2(1)=x()*[h1(1)h2(1)=x(n)*h() 时域卷积、频域相乘 h()=h()*h2(1) 结论 1.级联系统的冲激响应 1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积 5

2014-06-18 5                        k k x k t k u t k u t k x t x k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  54 25           k y(t) x(k )h (t k ) y(t)  x( )h(t  )d  x(t) h(t)       当0时，k，d，且 (  )   (  ), (  )  (  )   t k t h t k h t 例2 试求图示方波通过RC低通电路系统的输出 解： 例1中已求出RC电路系统的冲激 响应为： 0 T t x(t) A RC 1 ( )  ( ),   h t ae u t a at h(t) a 确定性信号通过线性时不变系统 54 26 0 t        x  h t  d y t x t h t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 确定性信号通过线性时不变系统 输入与输出的时域关系为： 0  h(-) a 当t <0时， ( )  ( ) (  )  0    y t x  h t  d 0  a A t T 当0 t T 时， a A ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) t at a t a t Aae d Ae ae d y t x h t d                    54 27 0  A t T (1 ) ( 1) 0 at at at t at a A e Ae e Ae e          当t >T 时， 0  a A T t             T at a T a t Aae d Ae ae d y t x h t d 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )        ( 1) 0     at aT T at a Ae e Ae e                 A e e t T A e t T t y t aT at at ( 1) (1 ) 0 0 0 ( ) y(t) 54 28 0 T y( ) A t A(1-e- aT) Y ()  X ()H () y(t)  x(t)*h(t) 两边作傅里叶变换： 三、频率域求解法 确定性信号通过线性时不变系统： 时域卷积 频域相乘 54 29 、 1. 级联系统的冲激响应 ( ) ( )* ( ) 1 z t  x t h t ( ) ( )* ( ) ( )* ( )* ( ) 2 1 2 y t  z t h t  x t h t h t 根据卷积积分的结合律性质，有 ( ) ( )* ( )* ( ) ( )*[ ( )* ( )] ( )* ( ) 1 2 1 2 y t  x t h t h t  x t h t h t  x t h t 54 30 h(t) 结论: 1) 级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积 ( ) ( )* ( ) 1 2 h t  h t h t