复旦大学：《信号与通信系统》教学课件_05 确定信号的相关与Hilbert变换

2014-06-18 r(rsa(cosr 甬过线性相位 Y(o)=H(oX(o) F(cos2n)=z(-2)+ro()+2) X(o)=FISa(t))*F(cos 2rD 2(2 1)当@>3时,输入信号的所有频率分量都能通过系统,即 M(IFx(lla= Sa(I-I,)cos(2(l-1a)),-o0</<oo §18确定信号的相关 2)当a<1时,输入信号的所有频率分量都不能通过系统,即 、相关系数 Y(a)=0 1)=0,-∞<1 两个信号波形是否相同的度量指标:均方差 3)当1<m<3时,只有1~a范围内的频率分量能通过系统,故 以能量信号为例 Q=|x1(1)-x2()dh Y() 缺点:均方差无法反映两波形相似但幅度相差较大 的信号的相似程度 由抽样信号频谱及 Fourier变换的时和频域位移特性可得 为去除幅度相差的影响,对其中一个信号乘以一最 0)=s4"-(-b)-2址(-) 佳常数a 最佳常数a作用:使x1(和ax2(0)的均方差最小 厂x)x(0)+x)x)上x()x(O)+xpxr 仍以能量信号为例 22(0x(h 2」1xOPd p=Cl=,(0)-am,(0P'dr 厂2Rex(0x1)工Rex 厂Lx(0)-aO)Lx(0)-aod 213,(ordt LI [x()-aO0)-a3 [x(n)x()-a'(n)x2()-a;(n)x2(n)+a2x2(t)x2() Q-CAx()x(0-a(0x()-a1()x0)+ax) 使均方差Q最小的a应满足: CIxOPdt-af 2 Relxi (x,(0At+aCls(0)Pde C x()x2(t)-x(n)x2()+2a2()x2()=0 将a代入Q可得到最小的均方差Qa CEi( ()+x(0)x(jdt=2ax2(0)xi(n)dr

2014-06-18 1 求带通信号x(t)=Sa(t)cos2t ， < t <， 通过线性相位 理想低通滤波器的响应 d j t c H rect e               2 ( ) F(cos 2 ) ( 2) ( 2) F[Sa( )] ( / 2)            t  t rect 例6 解： 50 1                                     2 2 2 2 2 2 * ( 2) 2 2 * ( 2) 2 2 F[ ( )]*F(cos 2 ]) 2 1 ( )               rect rect rect rect X Sa t t                                  2 2 2 2 2 π 2 ( ) ( ) ( ) j         rect e rect rect Y H X dt c 50 2 当c 时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即                        2 2 2 2 2 π ( ) j     Y e rect rect dt y(t)= x(ttd) = Sa(ttd)cos[2(ttd)] ， < t < 当c 1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即 Y()  0 y(t)=0， < t < 当1 c 3时，只有c范围内的频率分量能通过系统，故 50 3  当 c 时，只有 c范围内的频率分量能通过系统，故 d j t c c c c Y rect rect e                                                       1 2 1 1 2 1 2 ( ) 由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得                   ( ) 2 1 ( ) cos 2 1 Sa 2 1 ( ) c d c d c y t t t t t    §1.8 确定信号的相关 一、相关系数  两个信号波形是否相同的度量指标：均方差 以能量信号为例 50 4 Q x t x t dt      2 1 2 | ( ) ( ) |  缺点：均方差无法反映两波形相似但幅度相差较大 的信号的相似程度  为去除幅度相差的影响，对其中一个信号乘以一最 佳常数 x t x t x t x t dt x t x t x t x t dt Q x t x t dt                 [ ( ) ( )][ ( ) ( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )] | ( ) ( ) | * 2 * 1 2 1 * 1 2 1 2 2 1 2      仍以能量信号为例  最佳常数作用：使x1(t)和x2(t)的均方差最小 50 5  使均方差Q最小的应满足：                     x t x t x t x t dt x t x t dt x t x t x t x t x t x t dt Q [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2 ( ) ( ) 0 [ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )] 0 * 2 2 * 2 1 2 * 1 * 2 2 * 2 1 2 * 1    x t x t x t x t x t x t x t x t dt x t x t x t x t dt       [ ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( )  ( ) ( )] [ ( ) ( )][ ( ) ( )] * 2 2 * 2 2 1 2 * 1 * 1 1 1 2 1 2                                     x t dt x t x t dt x t dt x t x t dt x t dt x t x t x t x t dt x t x t dt x t x t x t x t dt 2 2 2 * 1 2 2 2 * 1 2 2 * 2 * 2 1 * 1 * 2 2 * 2 1 2 * 1 | ( ) | Re[ ( ) ( )] 2 | ( ) | 2Re[ ( ) ( )] 2 | ( ) | {[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] } 2 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]  50 6  将 代入Q可得到最小的均方差Q x t dt x t x t dt x t dt Q x t x t x t x t x t x t x t x t dt                    2 2 2 2 * 1 2 1 * 2 2 * 2 2 1 2 * 1 * 1 1 | ( )| 2Re[ ( ) ( )] | ( )| [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]      

2014-06-18 厂Rx) Q=Ix(ordr Lir(OPdr 厂2Re(x1( Rer(n)r, (o)pr Cixaor'dr 定义:两个信号的相关系数 广 Relr,()r, (r) =ls(ofdr LIx(,(ordt CIs(opdr [Rel: or,0)I p2(x1,x2) Ix,(ldr ·p(x1,x2)越大,最小的均方差Q越小 两边同除以1x( ·相关系数x1x2)是两个信号相似程度的度量 许瓦兹不等式: 两个相同周期(n的信号,相关系数定义为 IC 3,(0x, (*r Fsix, (0PdtC 1=,(Pdr r(x1,x2)= when x1()=ax2()a为实常数,等号成立 Lr((r,(Mr lp(x1,x2)≤1 (x1,x2)= 以(x1,x2)定义为两个信号的归一化相关系数 Tln/-,)Par. L 1=(Pdr px1,x2)=1表示两个信号波形完全相似 对功率信号,相关系数定义为 有时也使用不归一的相关系数 ,x)=四mRx 八(x,x)=[Rex(x1( 四宁mRx 类似地,归一化和不归一的相关系数的定义可推广 p(r,I,) 到周期信号和功率信号的情况 [=[0把工m 例1求两个信号x1(0=4+B0sa和x()=C+Dco(m+b的相 TL-1 (Pd=L[LA+Bcos/Fdr 解:这是两个周期信号,周期为:T=2r/a0 B2cos2or r(x,x)=了L2Rx(x2() 7IrnLA+ Bcos Of JC+Dcos( oJ+0)lr B--[+cos 2oor la LraaCa AD cos(of+elr BD cos @o(@/+exr +1D2 =AC+ BD -(cos 0+ cos(20n/ +0)r e[x (r, ()pr

2014-06-18 2 x t x t dt x t x t dt x t dt x t dt x t x t dt x t x t dt x t dt x t x t dt Q x t dt                                             2 * 2 * 2 2 2 2 2 2 2 * 1 2 * 1 2 2 2 * 1 2 1 2 Re[ ( ) ( )] Re[ ( ) ( )] | ( )| | ( )| Re[ ( ) ( )] 2Re[ ( ) ( )] | ( )| Re[ ( ) ( )] | ( )|  50 7 x t dt x t x t dt x t dt x t dt x t x t dt x t dt x t x t dt x t dt                                    2 2 2 2 * 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 | ( )| Re[ ( ) ( )] | ( )| | ( )| Re[ ( ) ( )] | ( )| 2 Re[ ( ) ( )] | ( )|  两边同除以 x t dt    2 1 | ( ) | x t dt x t dt x t x t dt x t dt Q                   2 2 2 1 2 2 * 1 2 1 | ( )| | ( )| Re[ ( ) ( )] 1 | ( )|  1/ 2 2 * 1 1 2 Re[ ( ) ( )] ( , )           x t x t dt  x x  定义：两个信号的相关系数 50 8 2 2 2 1 | ( )| | ( )|           x t dt x t dt 1 ( , ) | ( )| 1 2 2 2 1 x x x t dt Q          (x1, x2)越大，最小的均方差Q越小  相关系数(x1, x2)是两个信号相似程度的度量  | (x1, x2 ) |1  许瓦兹不等式：  (x1, x2)定义为两个信号的归一化相关系数 x t ax t a为实常数， 等号成立 x t x t dt x t dt x t dt when ( ) ( ), | ( ) ( ) | | ( )| | ( )| * 1 2 2 2 2 1 2 1 2            50 9 r x x x t x t dt    ( , )  Re[ ( ) ( )] 2 * 1 2 1  (x1, x2)=1表示两个信号波形完全相似  类似地，归一化和不归一的相关系数的定义可推广 到周期信号和功率信号的情况  有时也使用不归一的相关系数： x t x t dt T r x x T T  / 2 / 2 2 * 1 2 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , )  对两个相同周期(T)的信号，相关系数定义为： 1/ 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 1 / 2 / 2 2 * 1 1 2 | ( )| 1 | ( )| 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , )               x t dt T x t dt T x t x t dt T x x T T T T T T  50 10 1/ 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 1 / 2 / 2 2 * 1 1 2 | ( ) | 1 | ( ) | lim 1 lim Re[ ( ) ( )] 1 lim ( , )                  x t dt T x t dt T x t x t dt T x x T T T T T T T T T   对功率信号，相关系数定义为： x t x t dt T r x x T T  T  / 2 / 2 2 * 1 2 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , ) lim 求两个信号x1(t)=A+Bcos0t和x2(t)=C+Dcos(0t+) 的相 关系数 例1 解：这是两个周期信号，周期为： 0 T  2 /    1 1 [ cos ][ cos( )] 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , ) / 2 / 2 / 2 / 2 0 0 / 2 / 2 2 * 1 2 1 A B t C D t dt T x t x t dt T r x x T T T T T T            50 11           cos 2 1 [cos cos(2 )] 2 1 1 cos cos( ) 1 cos 1 cos( ) 1 1 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 0 / 2 / 2 AC BD BD t dt T AC BD t t dt T BC tdt T AD t dt T ACdt T T T T T T T T T T T                       2 2 / 2 / 2 0 2 2 / 2 / 2 0 2 2 0 2 / 2 / 2 2 0 / 2 / 2 2 1 1 [1 cos 2 ] 2 1 1 [ 2 cos cos ] 1 [ cos ] 1 | ( )| 1 A B B t dt T A A AB t B t dt T A B t dt T x t dt T T T T T T T T T                      50 12 2 2 / 2 / 2 2 2 2 1 | ( ) | 1 x t dt C D T T T     类似 2  A  B 2 1 2 2 2 2 1/ 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 1 / 2 / 2 2 * 1 1 2 2 1 2 1 cos 2 1 | ( )| 1 | ( )| 1 Re[ ( ) ( )] 1 ( , )                                     A B C D AC BD x t dt T x t dt T x t x t dt T x x T T T T T T  

2014-06-18 当4=C=0时 、相关函数 AC+- BCos日 相关系数不足以表示两个信号的相似程度 p(x1,x)= 例中x()= Bose,x2()=Dcos(an+)= Dcose(+b/n) 相关系数与其中一个波形的时间移动有关 频率相同的正弦信号间的相关系数是这两个信号之间 相位差的余弦函数 ·x1(和x2(的互相关函数( cross-correlation)定义为: 进一步,当相位差为:=2+kx,k=0±1+2 对能量信号 P(x,x2)=0两个信号不相关 R2(r)=x,(0xi( 对功率信号 不相关通常称为正交 把C40- 对周期信号 例2求图示两个信号x(和x0的互相关函数 R2(r)=[x()x2(-r)d 当x4(=x1(0=x(0),类似地将x(0的自相关函数auto correlation定义为: 对能量信号 R, (r)=x(t)r(t-r)di 对功率倍号 解 R(r)=Y(0)x2(t-r dr R, (r)=lim- )=x(1)x2(t-r)dt=0 R, (r)==L x(t)x(t-r)di 5 x(-)↑-1<r<0 当-1<r<时, +r-1<r<1 n(r)=Lx(n)x(t-r)a r01+ 当0<r<1时 ()=x()x(-r)dt R12( ax)d+"(2×=1-r+2x-=1+ 当1<<时, R2(r)= x, (1)x2(t-r)dr (2×1dt=2(2-r)=4-2r 当r>2时,R2()=[x()2(-r)d=0

2014-06-18 3     cos 2 1 2 1 cos 2 1 2 1 2 1 cos 2 1 ( , ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2                                           B D BD A B C D AC BD x x 当A=C=0时： 两个频率相同的正弦信号间的相关系数是这两个信号之间 相位差的余弦函数 50 13 (x1, x2 )  0 相位差的余弦函数 进一步，当相位差为： , 0, 1, 2, 2   k k      两个信号不相关 不相关通常称为正交 二、相关函数  相关系数不足以表示两个信号的相似程度         ( , ) cos ( ) cos , ( ) cos( ) cos ( / ) 1 2 1 0 2 0 0 0        x x 例1中 x t B t x t D t D t 相关系数与其中一个波形的时间移动有关  x (t)和x (t)的互相关函数(cross-correlation)定义为： 50 14    R ( )  x (t)x (t  )dt * 12 1 2    x1(t)和x2(t)的互相关函数(cross-correlation)定义为： 对能量信号     / 2 / 2 * 12 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) lim T T T x t x t dt T R   对功率信号   R  x t x t  dt x ( ) ( ) ( ) *      / 2 / 2 * 12 1 2 ( ) ( ) 1 ( ) T T x t x t dt T R    当x2(t)=x1(t)=x(t)，类似地将x(t)的自相关函数(auto￾correlation)定义为： 对能量信号 对周期信号 50 15  x ( ) ( ) ( )    / 2 / 2 * ( ) ( ) 1 ( ) T T x x t x t dt T R   对功率信号     / 2 / 2 * ( ) ( ) 1 ( ) lim T T T x x t x t dt T R   对周期信号 求图示两个信号x1(t) 和x2 例2 (t)的互相关函数 x1(t) 0 1 2 t 1 2 t x2(t) 0 1 1 50 16 解：    R ( )  x (t)x (t  )dt 12 1 2    t x2(t-) 1+ 0 1  <-1 当 <-1时， ( ) ( ) ( ) 0 12  1 2      R  x t x t  dt 当-1< <0时，                (1 1) 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 12 1 2 dt R x t x t dt       ( ) ( ) ( ) 1 1 R12 x1 t x2 t dt  0 t 1 -1< <0 1+ x2(t-) ( ) 当0< <1时， 50 17                  (1 1) (2 1) 1 2 1 1 1 1 dt dt  t x2(t-) 0 1+ 1  >0 当1< <2时，      (2 1) 2(2 ) 4 2 ( ) ( ) ( ) 2 12 1 2             dt R x t x t dt 当 >2时， ( ) ( ) ( ) 0 12  1 2      R  x t x t  dt               0 else 4 2 1 2 1 1 1 ( ) 12     R  R12() 50 18 -1 1 2  0 2

2014-06-18 三、相关函数的性质 1、与频谱的关系 对能量信号,着 称E2(a为x1(0和x2(0的互能量谱,简称互谱 Hx()]=X1(O),Hx2()=X2(o,FR12()=E12(o) 推论:FR()=X(o)X(m)=E,(O) →E2(o)=X1(O)X2(O) 维纳辛钦定理 函数的傅里叶变换为信号的能量谱 R2()=x(0x(-M=上x(C 对功率信号,类似地有 C(01x(okm-a=1x(o)广x0)he"如 功率信号x1(0)和x2(的互相关函数的傅里叶变换P2(a 称为功率信号x1(和x2(的互功率谱,也简称互谱 sLxi(e).x,(e)el"de F[R2()=B2( E2(o)=HR2(r)=X1(a)x2(a) 维纳辛钦定理 功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱 R1(r)≤R(0)=Ex 能量信号自相关函数在τ=0时有最大值,最大值为信号的能量 FIR ( r)=P(o) 互相关函数在r=0时不一定有最大值 2、相关函数的最大值 对能量信号 R2(0)=L x,(r o t=LX, (o).x;(oje lord. don 根据许瓦兹不等式 称R2(0为信号x1(0和x:0的交叉能量 nx()=ax2(n),a为实常数,等号成立 对功率信号,类似地有 ()-x0x-M[xora!x(-r-Ep=E R(r)≤R2(0)=P 功率信号自相关函数在r=0时有最大值,最大值为信号的功率 互相关函数在r=0时不一定有最大值 当x(0)为实信号时,R(是实函数 R2(0)=P(o)do R(r)=r(r)= R(r)=R(r) 实信号的自相关函数是r的偶函数 R12(0)为信号x1(0)和x2(D的交叉功率 对于互相关函数,有 3、共轭对称性 R2(r)=R21(-r) 信号自相关函数具有共轭对称性 仍以能量信号为例来证明,结论对功率信号也成立 以能量信号为例来证明,结论对功率信号也成立 证:-[+j 令:t=t-r→dt=dh R-)-x(-)x)M-xx(-)=Rr) E(-)=x(r-r)xr=x1(nx2(t-r)d=R2(r) 50

2014-06-18 4 三、相关函数的性质 1、与频谱的关系 ( ) ( ) ( ) F[ ( )] ( ), F[ ( )] ( ), F[ ( )] ( ) * 12 1 2 1 1 2 2 12 12        E X X x t X x t X R E       对能量信号，若 证： 50 19 ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) * 12 12 1 2 1 * 2 1 * 2 * ( ) 1 2 * ( ) 1 2 * 12 1 2                           E R X X X X e d x t X e d dt X x t e dt e d R x t x t dt x t X e d dt j j t j t j j t                                            E12()具有能量谱的量纲 推论： F[ ( )] ( ) ( ) ( ) * Rx   X  X   Ex  称E12()为x1(t)和x2(t)的互能量谱，简称互谱 维纳-辛钦定理： 能量信号自相关函数的傅里叶变换为信号的能量谱 50 20  对功率信号，类似地有： 功率信号x1(t)和x2(t)的互相关函数的傅里叶变换P12() 称为功率信号x1(t)和x2(t)的互功率谱，也简称互谱 F[ ( )] ( ) R12   P12  维纳-辛钦定理： 功率信号自相关函数的傅里叶变换为信号的功率谱 F[ ( )] () Rx  Px 2、相关函数的最大值  对能量信号 50 21 Rx x t x t dt x t dt x t dt  EE  E                1/ 2 1/ 2 * 2 * 2 (0) ( ) ( ) | ( )| | ( )| [ ] x t ax t a为实常数， 等号成立 x t x t dt x t dt x t dt when ( ) ( ), | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | * 1 2 2 2 2 1 2 1 2            根据许瓦兹不等式： Rx x t x t dt x t dt x t dt  EE  E                  1/ 2 1/ 2 * 2 * 2 ( ) ( ) (  ) | ( )| | (  )| [ ] 能量信号自相关函数在 =0时有最大值，最大值为信号的能量                    R x t x t dt X X e d j 1 1 ( ) ( ) 2 1 (0) ( ) ( ) * 0 * 1 2 * 12 1 2  Rx  Rx  Ex ( ) (0) 互相关函数在 =0时不一定有最大值： 50 22                X X d E ( )d 2 1 ( ) ( ) 2 1 12 * 1 2 称R12(0)为信号x1(t)和x2(t)的交叉能量 Rx  Rx  Px ( ) (0)  对功率信号，类似地有： 功率信号自相关函数在 =0时有最大值，最大值为信号的功率        R P ( )d 2 1 (0) 12 12 互相关函数在 =0时不一定有最大值： 称R12(0)为信号x1(t)和x2(t)的交叉功率 信号自相关函数具有共轭对称性 3、共轭对称性 50 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * *     x Rx  R   x t  x t dt  x t x t  dt                    R   x t x t  dt x t x t dt x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * *    以能量信号为例来证明，结论对功率信号也成立 证： 令： t  t  dt  dt ( ) ( ) *    Rx Rx ( ) ( ) ( ) ( ) * R   R   R   R  当x(t)为实信号时，Rx()是实函数 实信号的自相关函数是 的偶函数 对于互相关函数，有： ( ) ( ) * 12 21 R   R  仍以能量信号为例来证明 结论对功率信号也成立 50 24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 * 1 1 2 * 2 * 21  R   x t  x t dt  x t x t  dt  R                    R ( )  x (t)x (t  )dt x (t)x (t )dt 1 * 2 * * 2 1 * 21 证：    令： t  t  dt  dt 仍以能量信号为例来证明，结论对功率信号也成立

2014-06-18 4、相关与卷积的关系 再计算第一个信号与第三个信号的共轭信号的卷积 以能量信号为例来说明 x()*x()=上((x-d=[x((-m x()=[x(r2(t-r)dr,(o)=X1(a)x2(a) =x(013(-M=R( 计算结果就是第一个信号与第二个信号的互相关函数 R2(r)=x(i(-rydi, En(o)=X,(o).x'(o) 四、线性系统与相关函数的关系 相同点:时间延迟、相乘、粉分 对能量信号 不同点:卷积信号反转;相关信号共轭 确定性信号通过线性系统 互相关可化为卷积来计算卷积存在快速算法 w(0=r(0*hoU 先将第二个信号时间起上反转,记为第三个信号 Y(o)=X(o)H(o) x3()=x2(-1) HRr)=E,(o)=Y(a)Y(a)=[xo)H(a)x(o)H(o s0=X(o)x'(o)H(o)H'(a)=E,(o)H() FIR, (r)=H(oH(o)=H(oI §1 Hilbert变换 R (r)=R(r)*R,(r) 、 Hilbert变换的基本概念 类似地有 Hilbert变换(希尔伯特变换/变换):移相网络 FR(r)=E(o=Y(ox(o)=[(o)H(o)r(o) X(OX(OH(o=E(oH(o) 0<0 R3(r)=R()°h(r) 对功率信号,同样有 p(o) R,(r)=R2()°R(r) FIR (r)]=P(o)=P(oH(o) R(r)=R(r)h(r) 5 H()= 域:i(1)=x(1)*()=m Hsoj对称性:x)=x(o)n1x)=2x-) 频域:Fi(m)=X(m)H(a)=-jSgm(m)x(a) Hilbert反变换: H(O)=-jSgm()→h() x()的 Hilber变换:i() h1()= H变换 ()=x()*h1(D)=x(1) 5

2014-06-18 5 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) x t  x1  x2 t  d X   X1  X2     4、相关与卷积的关系 卷积：  以能量信号为例来说明 相关： ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) * 12 1 2 * R12   x1 t x2 t  dt E   X  X     50 25 ( ) ( ) 3 2 x t  x t  相同点：时间延迟、相乘、积分 不同点：卷积信号反转；相关信号共轭  互相关可化为卷积来计算(卷积存在快速算法) 先将第二个信号时间域上反转，记为第三个信号： 再计算第一个信号与第三个信号的共轭信号的卷积： 计算结果就是第一个信号与第二个信号的互相关函数 四、线性系统与相关函数的关系 ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 12 * 1 2 * 1 3 * 1 3 * 1 3       x t x t dt R x x x t x t dt x t x t dt                  50 26 * * 2 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| ( )| F[ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )                  X X H H E H R E Y Y X H X H Y X H y t x t h t x y y             对能量信号 确定性信号通过线性系统： ( ) ( )* ( )  Ry  Rx Rh ( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) * * *                R R h X X H E H R E Y X X H X x yx yx      * 2 F[R ( )] H()H () | H() |  h   类似地有： 50 27 R ( ) R ( )*h( ) yx  x  对功率信号，同样有： ( ) ( )* ( ) F[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( ) F[ ( )] ( ) ( ) | ( )| 2               R R h R P P H R R R R P P H yx x yx yx x y x h y y x       §1.9 Hilbert变换 一、Hilbert变换的基本概念  Hilbert变换(希尔伯特变换/H变换)：移相网络          0 0 ( ) 2 2      j j e e H 50 28 |H()|  1   () /2 -/2 F[ ( )] ( ) F[ ( )] 2 ( ) 2 F[ ( )]      x t  X  X t  x  j  Sgn t 对称性： 2 ( ) 2 ( ) 2 F  Sgn   Sgn  jt            ( ) 0 0 0 0 ( ) 2 2         jSgn j j e e H j j                   50 29  x(t)的Hilbert变换：xˆ(t) t H jSgn h t    1 ( )   ( )  ( )  x(t) H变换 x(t)          d x t d t x t x t x t h t x t 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ˆ( ) ( )* ( ) ( )*             F[xˆ(t)]  X ()H()   jSgn()X () 时域： 频域：  Hilbert反变换： 50 30 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2      jSgn j Sgn j H jSgn H       t h t  1 ( )  1   t x t t x t x t h t x t   1 ˆ( )* 1 ( ) ˆ( )* ( ) ˆ( )* 1           