学习内容 第二节方阵的特征值、特征向量 第二节方阵的特征值、特征向量 1.定义 设A为n阶方阵，如果存在一个数九以及 一个非零n维向量C,使得关系式 Aa=几c 成立，则称入为A的一个特征值，非零向量 为A的对应于（或属于）特征值入的特征向量. 注释： (1) 特征值、特征向量是相互依存的
学习内容 第二节 方阵的特征值、特征向量 第二节 方阵的特征值、特征向量 1.定义 设 为 n 阶方阵，如果存在一个数 以及 一个非零 n 维向量 ，使得关系式 成立，则称 为 的一个特征值，非零向量 为 的对应于(或属于)特征值 的特征向量. A A A A 注释： （1） 特征值、特征向量是相互依存的
学习内容 第二节方阵的特征值、特征向量 (2)一个特征向量只能对应于一个特征值」 这是因为，若是属于2与2的特征向量，即 Aa=入a=人0 所以 (1-)a=0 由于0≠0，所以=22 (3) 属于一个特征值的特征向量可以是无穷多个 事实上，若α都是属于特征值入的特征向量，则对 Vk≠0，有 A(ka)=k(Aa)=k(a)=(ka) 即，k0(k≠O)都是属于特征值九的特征向量
（2） 一个特征向量只能对应于一个特征值. 这是因为，若 是属于 与 1 2的特征向量，即 A 21 所以 21 0 由于 0 ，所以 21 （3） 属于一个特征值的特征向量可以是无穷多个. 事实上，若 都是属于特征值 的特征向量，则对 kkAkkA )()()()( k 0 ，有 即， 都是属于特征值 kk )0( 的特征向量. 学习内容 第二节 方阵的特征值、特征向量
学习内容 第二节方阵的特征值、特征向量 若a,a2,,a,都是属于特征值入的特征向量 ， 则k,k2,…,k∈R有 A(k4+k2+…+k,C,)=kAa☑1+k3Aa2++kAa =2(ka1+k202+…+k,a,) 也即是说，只要k,k2,…,k,不同时为零，则 k01+k2a2+…+k,0 也是矩阵A属于特征值λ的特征向量
s ,,, 21 都是属于特征值 的特征向量 ，则 Rkkk 21 ,,, s 有 ( ) ( ) 2211 2211 2211 ss ss ss kkk AkAkAkkkkA 也即是说，只要 21 ,,, kkk s 不同时为零，则 11 2 2 s s kk k 若 也是矩阵 属于特征值 A 的特征向量. 学习内容 第二节 方阵的特征值、特征向量
学习内容 第二节方阵的特征值、特征向量 2.特征值与特征向量的求法 特征矩阵 A-λE 特征多项式 A-九E 特征方程 A-九E=0 (1)特征值 求出A的特征方程A-E=0 的全部根2，它们就是A的所有特征值. (2)特征向量 对于A的每一个特征值2：」 求出齐次线性方程组（A-2,E)x=0的一个 基础解系5,5：，5，该方程的所有非零解 k5+k5,+…k5,，其中飞，k,…不同时为0 即为所求的属于特征值2，特征向量
2. 特征值与特征向量的求法 特征矩阵 特征多项式 特征方程 (1) 特征值 求出 的特征方程 的全部根 ，它们就是 的所有特征值. (2) 特征向量 对于 的每一个特征值 , 求出齐次线性方程组 的一个 基础解系 , 该方程的所有非零解 ，其中 不同时为0 即为所求的属于特征值 特征向量. A A A i i EA A E A E 0 A E 0 0 A Ex i s iii ,,, 21 ss iiii ii kkk 11 22 siii ,,, kkk 21 i 学习内容 第二节 方阵的特征值、特征向量
学习内容 第二节方阵的特征值、特征向量 例1求矩阵A的特征值和特征向量， -1 -1 (1) 网4 -1 1 0 -1 0 (3) 0 11 1 0
例1 求矩阵 A 的特征值和特征向量. 011 101 110 A 201 031 011 A (1) (2) (3) 31 13 A 学习内容 第二节 方阵的特征值、特征向量