学习内容 第一节向量的内积、正交 证 若B=0,显然(a,B}≤(a,a)(B,B) 明： 若B≠0，令Y=w+xB，则 (Y,r)=(a+xB,a+xB) =(B,B)x2+2(a,B)x+(a,a) 则y,y）≥0当且仅当4(a,B}2≤4a,aB,B) 且当且仅当y=0，即α与B线性相关时，等号成立
证 明： x ，则 xx ),(, ,,2, 2 x x 若 0 则 ,,4,4 2 0, 当且仅当 若 0 ，显然 ,,, 2 ，令 且当且仅当 0 ，即 与 线性相关时，等号成立. 学习内容 第一节 向量的内积、正交
学习内容 第一节向量的内积、正交 2.向量的长度及夹角 >定义称非负实数√(u,心)为a的长度或模， 记作a，即a=√(a,u)· >性质 ()非负性 la≥0当且仅当a=B时la=0 (I)齐次性ka=a (Il)三角不等式性a+sa+Bl (IV)柯西一布涅柯夫斯基不等式：（≤QB 其中等号成立当且仅当Q与B线性相关
2.向量的长度及夹角 性质 称非负实数 为 的长度或模 ， 记作 ，即 ＝ ． , , 定义 （I） 非负性 0 当且仅当 时 0 （II）齐次性 kk （III）三角不等式性 柯西 —布涅柯夫斯基不等式： 其中等号成立当且仅当 与 线性相关． , （IV ） 学习内容 第一节 向量的内积、正交
学习内容 第一节向量的内积、正交 长度为1的向量称为单位向量. q 非零向量☑的单位化：B= a >定义 称B=arcc0s (a,B) 0≤0≤π a 18 为任意非零向量0与B的夹角
称 为任意非零向量 与 的夹角． , arccos 0 定义 长度为１的向量称为单位向量． 非零向量 的单位化： 学习内容 第一节 向量的内积、正交
学习内容 第一节向量的内积、正交 3.向量的正交 ◆定 若(a,B)=0,称x与阝正交. 义： 显然，零向量与任意一个向量都正交， 当0，B≠0时，0与B正交 ©α与B的灭角0=7 ◆ 两两正交的非零向量组01,2，…，0 称为正交向量组. 性质：正交向量组一定线性无关
3.向量的正交 定 义： 若 0, ，称与正 交. 显然，零向量与任意一个向量都正交. 当 时 0, ， 与 正交 与 的夹角 2 两两正交的非零向量组 称为正交向量组 ． s ,,, 21 性质：正交向量组一定线性无关 ． 学习内容 第一节 向量的内积、正交
学习内容 第一节向量的内积、正交 4.标准正交向量组 √1)定义 设向量组61,82，…，8r, 81,2,·,￡，两两正交，且均为单位向量 则称向量组81,82，…，8，是标准正交向量组 (或者规范正交向量组) 2)性质： 小茶
4.标准正交向量组 r ,,, 21 两两正交，且均为单位向量 1） 定义 设向量组 ， r ,,, 21 则称向量组 r ,,, 21 是标准正交向量组 2）性质 ： ji ji ji ,1 ,0 , （或者规范正交向量组 ） 学习内容 第一节 向量的内积、正交