2连续函数的概念 定义118设y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义 如果自变量的增量△x=x-x趋于零时,函数y的对 应增量4y也趋于零,即mm4y=0,或 lim lf(o+ Ax)-f(o)=0 △x→>0 则称函数y=f(x)在点x连续 若令x=x0+△x,那么Ax→>0分x→x0 小→0分f(x)>f(x 因此Iim4y=0eimf(x)=f(x) x→x x→x0
( ) . 则称函数 y = f x 在点x0 连续 y → 0 f (x) → f (x0 )， lim 0 lim ( ) ( ). 0 0 0 y f x f x x x x x = = → → 因此 如果自变量 的增量x = x − x0 趋于零时，函 数 y的 对 lim 0, x 0 = → 即 y 0 0 那么 x → x → x 2 .连续函数的概念 , 若令x = x0 + x lim ( ) ( ) 0, 0 0 0 + − = → f x x f x x 定义1.18 设y = f (x)在 点 x0 的某一邻域内有定义 应增量y也趋于零， 或
定义119设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有 定义如果imf(x)=f(x0)则称函数y=f(x)在点 x→r0 x0连续 函数y=f(x)在点x左连续兮limf(x)=f(x0) x→x0 函数y=∫(x)在点x右连续台imf(x)=f(x0) 显然,f(x)在x点连续兮在x点既左连续又右连续 Ep lim f(x)=f(xo)+ lim f(x)=lim f(x)=f(xo) x→>x0 x→>x0 x→x0 如果∫(x)在(an,b)内每一点都连续,则称∫(x)在 (ab)内连续这时,区间a,b)称为函数(x)的连续区 间
lim ( ) ( 0 )， 0 f x f x x x = → 定义1.19 则称函数 y = f (x) 在点 设函数 y = f (x)在点 x0 的某一邻域内有 如果 ( ) lim ( ) ( ). 0 0 0 y f x x f x f x x x = = 函 数 在 点 左连续 → − ( ) lim ( ) ( ). 0 0 0 y f x x f x f x x x = = 函 数 在 点 右连续 → + 显然，f (x)在x0 点连续 在x0 点既左连续又右连续， lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x x x x x x x = = = 即 → → + → − 如果 f (x)在(a,b)内每一点都连续，则称 f (x)在 (a,b)内连续.这时，区间(a，b)称为函数f (x)的连续区 间. . x0 连续 定义
如果∫(x)在(a,b)内连续,且在n点右连续,在b点左 连续,则称f(x)在,b上连续 例2证明函数y=six在(-0,+0∞)内连续 证对任意的x0∈(-∞+0), 4y=∫(x+△x)-f(x) =sin(x0+△x)- sInx △v △v =2c0(x0+)·sin
( ) [ , ] . ( ) ( , ) 连续，则称 在 上连续 如 果 在 内连续，且在 点右连续，在 点 左 f x a b f x a b a b 例2 证明函数 y = sin x 在 (− ,+ ) 内连续 证 对任意的 ( , ), x 0 − + ( ) ( ) 0 x 0 y = f x + x − f 0 0 = sin( x + x ) − sin x , 2 ) sin 2 2cos( 0 x x x = +
△ △ lim Ay= lim [2 cos(xo+=).sin △r->0 2 2 △y SIn 2 △ lim ·Iim[△x·c0s(x0+) Ax→>0△xAx→>0 2 =1×0=0. 所以,函数=Smx在x点连续由x在(-,+) 的任意性知,y=six在(-,+)内连续
y x →0 lim ] 2 ) sin 2 lim[2cos( 0 0 x x x x = + → )] 2 lim [ cos( 2 2 sin lim 0 0 0 x x x x x x x + = → → = 10 = 0. 所以，函数 y = sin x 在x0点连续.由x0在 (− ,+ ) 的任意性知， y = sin x 在 内连续. (−,+)
3函数的连续性Iimf(x)=f(x)的几何解释 ∫(x)在x连续 lim f(r=A x→x 并且A=f(x0) 向题 函数在点x0连续与 存在极限的区别? 1x=x0必须取到 x+6 2A=f(x0)
x y0 f (x ) 0 x lim ( ) ( 0 ) 的几何解释 0 f x f x x x = → − 0 x + 0 x f x A x x = → lim ( ) 0 问题 ： 函数在点x 0连续与 存在极限的区别 ？ 1 x =x 0必须取到 . 3.函数的连续性 2 A= f (x 0 ) f (x 0 ) 并且A= f (x 0 ) f (x ) 在x 0连续