映射合成的性质:设f:A→B,g:B→>C为映 射,那么 1、若′和8都是单(满、双)射,那么它们 的合成gf:A→C也是单(满、双)射 2、g°f:A→C是满射的充要条件为g:B→C 是满射 3、g°f:A→>C是单射的充要条件为f:A→>B 为单射
映射合成的性质：设 ， 为映 射，那么 1、若 和 都是单(满、双)射，那么它们 的合成 也是单(满、双)射。 2、 是满射的充要条件为 是满射 3、 是单射的充要条件为 为单射。 f : A → B g : B → C f g g f : A→C g f : A→C g f : A→C g : B → C f : A→ B
思考题: 1、如果f:4→>B不是单射时,应如何叙述? 2、如果 不是满射时,应如何叙述? 3、如果:4→>B 都不是双射, 它们的合成 能成为双射吗?为什 么? f:A→>Bg:B→>C gof:A→>C
思考题： 1、如果 不是单射时，应如何叙述？ 2、如果 不是满射时，应如何叙述？ 3、如果 ， 都不是双射， 它们的合成 能成为双射吗？为什 么？ f : A → B f : A → B f : A → B g : B → C g f : A → C
课堂练习 1、试证:映射f4→B是单射的充 要条件为有唯一的左逆映射。 2、试证:f:N→N,f(n)=n+1是单 射但不是满射 3、设映射:f:R→R,f(x)=4x+5 求∫
课堂练习 1、试证：映射 是单射的充 要条件为 有唯一的左逆映射。 2、试证： 是单 射但不是满射。 3、设映射： 求 。 f : A → B f f : N → N, f (n) = n +1 f : R → R, f (x) = 4x + 5 −1 f
第三讲 数环和数域 (Number ring and number field 本讲的教学目的和要求周知,在证书范围内可以进行加 减、乘三种运算,但两个整数的商却不一定是整数,也就是 不仅可以进行加、减、乘三种运算,而且可以实行除法(除 数不为零)。在实数范围内也同样可以实现这四种运算。这 两种不同结果的数集也是正是本讲需要研究和讨论的。我们 要求学生能掌握数环和数域这两个代数系统的特征和区别, 能熟练的辨别一个数集是否为数环或数域并能把握一批实例。 本讲的叫重点和难点能叫熟练的论证(或反证)一个数 集是数域(或不是数域)往往是初学者需要认真训练的基本 功。类似例3的推导思想和证明过程的套路并不是能轻易掌 握的
第三讲 数环和数域 （Number ring and number field） 本讲的教学目的和要求 周知，在证书范围内可以进行加、 减、乘三种运算，但两个整数的商却不一定是整数，也就是 说在整数范围内，除法不是永远可以实施的。但在有理数内， 不仅可以进行加、减、乘三种运算，而且可以实行除法（除 数不为零）。在实数范围内也同样可以实现这四种运算。这 两种不同结果的数集也是正是本讲需要研究和讨论的。我们 要求学生能掌握数环和数域这两个代数系统的特征和区别， 能熟练的辨别一个数集是否为数环或数域并能把握一批实例。 本讲的叫重点和难点 能叫熟练的论证（或反证）一个数 集是数域（或不是数域）往往是初学者需要认真训练的基本 功。类似例3的推导思想和证明过程的套路并不是能轻易掌 握的
数环和数域的概念 定义1设S是复数集C的一个非空子集。如果对S中任意两个 数a,b来说a+ba-bab都在S中,那么就称S是一个 数环。 说明1.整数集Z,有理数集Q,实数集R和复数集C都是数环 例1取定一个整数a,令S={x|x=na,Vm∈Z}那么S是一个 数环 证明:虽然S是C的一个非空子集。现设x12x2∈S 则,x1=n1a2x2=12a,1,n2∈2 那么x1±x2=n1an2a=(m1±n2)a∈S Ix2=(n,a(n,a)=(n,n,aaE s 证明S是一个整环 说明2在例1中,如果a=2,那么S就是全体偶数组成的 数环特别若a=0时,那么S={0是由单独一个数0组成的数 环 思考题在例1中,若数a不是整数时,S一定是数环吗?
数环和数域的概念 定义1.设S是复数集C的一个非空子集。如果对S中任意两个 数a，b来说 都在S中，那么就称S是一个 数环。 说明1.整数集Z，有理数集Q，实数集R和复数集C都是数环 例1.取定一个整数a，令, 那么S是一个 数环。 证明：虽然S是C的一个非空子集。现设 , 则, 那么 证明S是一个整环。 说明2.在例1中，如果 ，那么S就是全体偶数组成的 数环特别若 时，那么 是由单独一个数0组成的数 环。 思考题 在例1中，若数a不是整数时，S一定是数环吗？ S = {x | x = na,n Z} x1 , x2 S x1 = n1 a, x2 = n2 a,n1 ,n2 Z x1 x2 = n1 a n2 a = (n1 n2 )aS x1 x2 = (n1 a)(n2 a) = (n1 n2 a)a S a + b,a − b,ab a = 2 a = 0 S = {0}