长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容定义1设函数y=f(x)在含有点x的某一邻域内有定义，当自变量x在x处有增量△x时，相应函数有增量Ay=f(x+Ax)-f(x）若limAy=0则称函数J=(x)在点*0处连续.函数在点x。处连续的定义另表述如下：定义 2 设函数y=f(x)在含有点x。的某一领域内有定义,若 lim f(x)=f(xo),则称函数f(x)在点x.处连续.函数f（x）在点x.处连续的充要条件是它在点x处既左连续又右连续.即有lim f(x)=f(xo)= lim f(x)例1证明函数=sinx在区间（-0,+o0)内连续基本初等函数在其定义域内点点处都连续.即基本初等函数在其定义域内是连续的(2x+1 x<0例 2 设f(x)问k为何值时，f(x)在x=0处连续？k-x x≥0例3考察函数f(x)=x在x=0处是否连续。二、函数的间断点及其类型x-1，x<0例 4 函数跳跃型间断点。0f(x) =，x=0x+1 ，x>0例 5函数f(x)=tanx在点x=处无穷型间断点，2x2-1例 6 函数 f(x)=在点x=1处没有定义可去型间断点.x-1三、初等函数的连续性由函数在某点连续的定义和极限的运算法则，立即可得出以下定理，定理1若函数f(x)和g(x)均在点x.处连续，则()±g(m); (),g(n);1八(g(x)±0)在x处也连续.g(x)第 11 页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 11 页 定义 1 设函数 y f x = ( ) 在含有点 0 x 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x 处 有增量 x 时，相应函数有增量 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) ， 若 0 lim 0 x y → = 则称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 处连续. 函数在点 0 x 处连续的定义另表述如下： 定义 2 设函数 y f x = ( ) 在含有点 0 x 的某一领域内有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = , 则称函数 f x( ) 在点 0 x 处连续. 函数 f x( ) 在点 0 x 处连续的充要条件是它在点 0 x 处既左连续又右连续.即有 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = = 0 lim ( ) x x f x → + 例 1 证明函数 y x = sin 在区间 （−,+） 内连续 基本初等函数在其定义域内点点处都连续.即基本初等函数在其定义域内是连续的. 例 2 设 − + = 0 2 1 0 ( ) k x x x x f x 问 k 为何值时， f x( ) 在 x = 0 处连续? 例 3 考察函数 f x x ( ) | | = 在 x = 0 处是否连续. 二、函数的间断点及其类型 例 4 函数 + = − = 1 0 0 0 1 0 x x x x x f x , , , ( ) 跳跃型间断点. 例 5 函数 f x x ( ) tan = 在点 2 x = 处 无穷型间断点， 例 6 函数 f x( ) 2 1 1 x x − = − 在点 x =1 处没有定义 可去型间断点. 三、初等函数的连续性 由函数在某点连续的定义和极限的运算法则，立即可得出以下定理. 定理 1 若函数 f x( ) 和 g x( ) 均在点 0 x 处连续，则 ( ) ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) f x f x g x f x g x g x 0 ( ( ) 0) g x 在 0 x 处也连续
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容定理2（复合函数的连续性）设函数u=p(x)在点x处连续.且u=(p(xo)，函数y=f(u)在点u.处连续，则复合函数y=f[p(x）在点x处也连续.即有lim f[o(x )]=f[(x)]= f(lim[p(x )])定理 3（反函数的连续性）若函数y=f(x)在区间 I上单调且连续，则其反函数x=f-(y)在对应区间上也单调且连续结论：初等函数在其定义区间内是连续的四、闭区间上连续函数的性质定理4（最大值和最小值定理）在闭区间[a,b]上连续的函数f(x），一定有最大值和最小值.值得注意的是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上不连续，或在开区间(a,b)内连续，则函数f(x)不一定在该区间上取到最大值或最小值.例如，函数-x+1,0≤x<1f(x)=1,x=1-x+3,1<x≤2在闭区间[0,2]上有间断点x=1，它在闭区间[0,2]上没有最大值和最小值，推论 1 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，f(a)±f(b)，且μ为 f(a)与f(b)之间的任一值，则至少有一点三 e(a,b)，使得 f(3)=μ,推论2（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则至少有一点e(a,b)，使得f()=0.（若x使f(x)=0，则称x是函数f(x)的零点）例7证明方程4x3-6x2-2=0在1与2之间至少有一个根第12页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 12 页 定理 2（复合函数的连续性）设函数 u x =( ) 在点 0 x 处连续.且 0 0 u x =( ) ，函 数 y f u = ( ) 在点 0 u 处连续，则复合函数 y f x = [ ( )] 在点 0 x 处也连续.即有 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] {lim[ ( )]} x x x x f x f x f x → → = = 定理 3（反函数的连续性） 若函数 y f x = ( ) 在区间 I 上单调且连续，则其反函 数 1 x f y( ) − = 在对应区间上也单调且连续. 结论:初等函数在其定义区间内是连续的. 四、闭区间上连续函数的性质 定理 4（最大值和最小值定理）在闭区间 [ , ] a b 上连续的函数 f x( ) ，一定有最大 值和最小值. 值得注意的是：若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上不连续，或在开区间 ( , ) a b 内连续， 则函数 f x( ) 不一定在该区间上取到最大值或最小值. 例如，函数 1,0 1 ( ) 1, 1 3,1 2 x x f x x x x − + = = − + 在闭区间 [0, 2] 上有间断点 x =1 ，它在闭区间 [0, 2] 上没有最大值和最小值， 推论 1 设函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续， f a f b ( ) ( ) ，且 为 f a( ) 与 f b( ) 之间的任一值，则至少有一点 ( , ) a b ，使得 f ( ) = . 推论 2（零点定理）设函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，且 f a f b ( ) ( ) 0 ，则 至少有一点 ( , ) a b ，使得 f ( ) 0 = .（若 0 x 使 0 f x( ) 0 = ，则称 0 x 是函数 f x( ) 的零点） 例 7 证明方程 3 2 4 6 2 0 x x − − = 在 1 与 2 之间至少有一个根