长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容最简单的供给函数是线性函数，即，O.=dP-c，其中C,d 均是正的常数.例7/14p第二节函数极限很多实际问题的精确解，只通过有限次算术运算是难以求得的.需要通过分析一个无限变化过程的变化趋势方能求得，因此产生了极限的概念和方法一、数列极限1. 数列定义1设x，=f(n)是定义在正整数集N*的函数（叫做整标函数），当自变量n依次取1,2,3….n时，相应的函数值按其顺序排成的一列数：f(1), f(2),f(3)...,f(n),...叫做数列，记作x，.数列中每一个数叫做数列的项，第n项x，叫做数列的通项。2.数列的极限定义2设有数列x，，若存在常数‘，使得对任意给定的任意小的正数，总存在正整数N，当n>N时恒有。-α<成立，则称当n→0时，数列x,以常数a为极限，也称数列x,收敛于^,记作=a或→a(n→0)若这样的常数不存在，则称数列x，没有极限，或称数列x，是发散的。2例1用定义证明lim（1+)=1n+1定理1（收敛数列的有界性）若数列收敛，则数列x一定有界定理2单调有界数列必有极限二、函数极限1.×→0时函数f(x)的极限定义3设函数f(x)在x大于某正数M 时有定义，若存在常数A使得对于任意给定的任意小的正数，总存在一个正数X，使得当x>X时，恒有[f(x)-A<8成立，则常数A叫做x→时函数F(x)的极限，记作
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 6 页 最简单的供给函数是线性函数，即， Q dP c s = − ，其中 c,d 均是正的常数. 例 7/14p 第二节 函数极限 很多实际问题的精确解，只通过有限次算术运算是难以求得的.需要通过分析一 个无限变化过程的变化趋势方能求得，因此产生了极限的概念和方法. 一、数列极限 1.数列 定义 1 设 x f (n) n = 是定义在正整数集 + N 的函数（叫做整标函数），当自变量 n 依次取 1,2,3, n 时，相应的函数值按其顺序排成的一列数: f (1), f (2), f (3) , f (n), 叫做数列，记作 n x .数列中每一个数叫做数列的项，第 n 项 n x 叫做数列的通项. 2.数列的极限 定义 2 设有数列 n x ，若存在常数 a ，使得对任意给定的任意小的正数 ，总存 在正整数 N ，当 n N 时恒有 x − a n 成立，则称当 n → 时，数列 n x 以常数 a 为极限，也称数列 n x 收敛于 a ,记作 xn a n = → lim 或 x →a(n→) n 若这样的常数不存在，则称数列 n x 没有极限，或称数列 n x 是发散的. 例 1 用定义证明 1 1 2 lim 1 = + + → （ ） n n 定理 1 （收敛数列的有界性）若数列 n x 收敛，则数列 n x 一定有界. 定理 2 单调有界数列必有极限. 二、函数极限 1. x → 时函数 f (x) 的极限 定义 3 设函数 f (x) 在 x 大于某正数 M 时有定义，若存在常数 A 使得对于任 意给定的任意 小的正数 ，总存在一个正数 X ， 使得当 x X 时，恒有 f (x) − A 成立，则常数 A 叫 做 x → 时函数 f (x) 的极限，记作
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容lim f(x) = A或f(x) → A(x → 00)limf(x)=A的几何解释：任意给定一个正数ε，作平行于x轴的两条直线y=A+s和y=A-6，y=f(α)的图形就位于这两条直线之间。lim (g)= A的充分且必要条件是： lm f(x)=A= lim,f(x)结论：例2用定义证明lim=0X2. x→x时函数(x)的极限定义 4 设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义.若存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式0<xCo<时，不等式|f(x)-A<8，则 A叫做x→x时函数f(x)的极限，lim f(x)= A或f(x)→ A(当x→x)f(x)当x→xo时极限为A几何解释：任意给定一正数8，作平行于x轴的两条直线y=A+ε和y=A-6，介于这两条直线之间是一横条形区域.根据此定义，对于给定的ε，存在着点x的一个去心邻域(-3,x)U(xo,+)，当x在该去心邻域内时，y=f(x)的图形都在上面所作的横条形区域内。例4用定义证明lim(ax+b)=axo+b（a,b均为常数且a±0)3左、右极限左极限，记作 lim(x)=A或r()=A右极限，记作 lim(s)=A或()=A-
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 7 页 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 f x A x = → lim ( ) 的几何解释：任意给定一个正数 ，作平行于 x 轴的两条直线 y = A+ 和 y = A− , y = f (x) 的图形就位于这两条直线之间。 结论： f (x) A x = → lim 的充分且必要条件是： = = →+ f x A x lim ( ) lim f (x) x→− 例 2 用定义证明 0 1 lim = x→ x 2. 0 x → x 时函数 f (x) 的极限 定义 4 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域内有定义.若存在常数 A ，对于任意 给定的正数 （无论它多么小）,总存在正数 ，使得当 x 满足不等式 0 x − x0 时 ， 不 等 式 f (x) − A ， 则 A 叫 做 0 x → x 时 函 数 f (x) 的 极 限 ， lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 f (x) 当 0 x → x 时极限为 A 几何解释： 任意给定一正数 ，作平行于 x 轴的两条直线 y = A+和y = A− ,介于这两 条直线之间是一横条形区域.根据此定义，对于给定的 ，存在着点 0 x 的一个去心 邻域 ( − ) ( + ) 0 0 0 0 x , x x , x ，当 x 在该去心邻域内时, y = f (x) 的图形都在上面 所作的横条形区域内。 例 4 用定义证明 lim ( ) , 0) 0 0 + = + → ax b ax b a b a x x （ 均为常数且 3 .左、右极限 左极限，记作 f (x) A f (x ) A x x = = − → − 0 0 lim 或 右极限，记作 f (x) A f (x ) A x x = = + → + 0 0 lim 或
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容结论： lim f(g)=A的充分且必要条件是：(xa)=A=F()例5/21p例6/21p第三节无穷小量和无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的概念定义1若当x→x(或x→)时，函数α(x)的极限为0，则α(x)叫x→xo(或x→>)的无穷小量(简称无穷小).定理1在自变量的某个变化过程中，函数f(x)以数A为极限的充分必要条件是：f(x)= A+α其中a是同一变化过程中的无穷小2.无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；（2）有限个无穷小量的积仍是无穷小量：（3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量例 1 lim sin x+X3.无穷大量定义2设函数(*)在的某一去心邻域内有定义（或叫大于某一正数时有定义),若对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数（或正数X），只要适[f(x)>M合不等式0<x-xl<6 (或;>X,对应的面数值()但有成立，则称()是当→（或→）时的无穷大量(简称无穷大)记作lm /(x)=00 (或 lm f(n)=00) ,4.无穷小与无穷大之间的关系定理2在自变量的同一个变化过程中,若 f(x）是无穷大量,则(g)是无穷小量;87
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 8 页 结论： f (x) A x x = → 0 lim 的充分且必要条件是： ( ) ( ) − + 0 = = 0 f x A f x 例 5/21p 例 6/21p 第三节 无穷小量和无穷大量 一、无穷小量 1.无穷小量的概念 定义 1 若当 ( ) x →x0 或x → 时，函数 (x) 的极限为 0，则 (x) 叫 0 x → x (或x →) 的无穷小量(简称无穷小). 定理 1 在自变量的某个变化过程中，函数 f (x) 以数 A 为极限的充分必要条件是： f (x) = A+ 其中 a 是同一变化过程中的无穷小. 2.无穷小量的性质 （1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； （2) 有限个无穷小量的积仍是无穷小量； （3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量. 例 1 x x x sin lim → 3．无穷大量 定义 2 设函数 f (x) 在 0 x 的某一去心邻域内有定义（或 x 大于某一正数时有定义）， 若对于任意给定的正数 M （无论它多么大），总存在正数 （或正数 X ）,只要 x 适 合不等式 0 x − x0 （或x X） ，对应的函数值 f (x) 恒有 f (x) M 成立，则称 f (x) 是当 0 x → x （或 x → ）时的无穷大量(简称无穷大)记作 = → lim ( ) 0 f x x x （或 = → lim f (x) x ）, 4.无穷小与无穷大之间的关系 定理 2 在自变量 的同一个变化过程中，若 f (x) 是无穷大量，则 f (x) 1 是无穷小量；
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容反之，若()是非零的无穷小量，则一是无穷大量(x)第四节极限运算法则定理1若函数f(x)和g(x)错误!未找到引用源。在x→x(或x→o)时都存在极限，则它们的和、差、积、商（当分母的极限不为零时）在×→x(或x→)时也存在极限，且有(1) lim[ f(x)±g(x)= lim f(x)± lim g(x)(2) lim[ f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x)f(x)_1lim f(,(im g(x)±0)（3）limg(x)lim g(x)(4) lim cf(x)=clim f(x)(5) lim[f(x)]" =[im f(x)]" = A"4x2-3x +1例2求lim例1求lim(x2+4x-7)1 3x2 6x + 5x-23x2-2x-4例3lim例 4求limx→2x242x3+x2+54x2-32x +x2+5求lim例6求lim例 505x2+2xx→3x2-2x-41+2+3+..+nlim例n?n→ot第五节两个重要极限sinx1. 第一个重要极限 lim=10X页9
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 9 页 反之，若 f (x) 是非零的无穷小量 ，则 f (x) 1 是无穷大量 第四节 极限运算法则 定理 1 若函数 f (x)和g(x) 错误!未找到引用源。在 ( ) x → x0 或x → 时都存在极 限，则它们的和、差、积、商（当分母的极限不为零时）在 ( ) x → x0 或x → 时也存 在极限，且有 （1） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) （2） lim[ f (x) g(x)] = lim f (x)lim g(x) （3） ,(lim ( ) 0) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim = g x g x f x g x f x （4） lim cf (x) = c lim f (x) （ 5） m m m lim[ f (x)] =[lim f (x)] = A 例 1 求 lim ( 4 7) 2 1 + − → x x x 例 2 求 3 6 5 4 3 1 lim 2 2 1 − + − + →− x x x x x 例 3 4 2 lim 2 2 − − → x x x 例 4 求 2 5 3 2 4 lim 3 2 2 + + − − → x x x x x 例 5 求 3 2 4 2 5 lim 2 3 2 − − + + → x x x x x 例 6 求 2 2 4 3 lim x 5 2 x → x x − + 例 2 1 2 3 lim n n n + + + + → 第五节 两个重要极限 1. 第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x =
长春大学旅游学院课程教案用纸教学设计教案内容定理 1 若g(x)≤f(x)≤h(x), 且 limg(x)=limh(x)=A,则 limf(x)= A例 3 求lim tan xtanx例 2求limSin3x例1求lim→0x-→(x-→0xxx2.第二个重要极限：lim(1+-=e 或lim(I+x)=e例 4 求lim(1+例 5 求lim(1+2x)例 lim(1+2x)第六节无穷小量的比较定义：设α,β在x→x（或x→8）时均是无穷小量，且β±0B(1)若lim0，就说β是比α高阶的无穷小量，记作β=o(α)aβ(2)若lim0，就说β是比α低阶的无穷小量；Pαβ(3)若lim=c≠0，就说β是与α同阶的无穷小量；αβ(4)若 lim=1，就说β是与α等价的无穷小量，记作α～β，α定理1β与α是等价无穷小量的充分必要条件是β=α+o(α)B定理2设x→x（或x→0）时，α~α，β~β且lim存在，则αββlimQαtan3x例 2 求 lim nsin ≥例1求lim0sin5x0n第七节函数的连续性、函数连续性的概念设函数y=f(x)在含有点x的某个领域内有定义.当自变量x在这个邻域内从x变到x+△x时，函数y相应地从f(xo)变到f(x+Ax）称f(x+△r)-f(x）为函数的改变量或增量，记作Ay，即Ay=f(+Ar)-f(x)称△x为自变量的改变量或增量。10页
长春大学旅游学院课程教案用纸 教 案 内 容 教 学设 计 第 10 页 定理 1 若 g x f x h x ( ) ( ) ( ) ，且 lim ( ) lim ( ) g x h x A = = ，则 lim ( ) f x A = 例 1 求 0 tan lim x x → x 例 2 求 0 sin 3 lim x x → x 例 3 求 2 0 tan lim x x → x 2. 第二个重要极限： e x x x + = → ) 1 lim (1 或 1 0 lim(1 ) x x x → + = e 例 4 求 3 lim(1 ) . x x→ x + 例 5 求 1 0 lim(1 2 ) x x x → + 例 1 1 0 lim (1 2 ) − → + x x x 第六节 无穷小量的比较 定义：设 , 在 0 x x → （或 x → ）时均是无穷小量，且 0 ⑴若 lim 0 = ，就说 是比 高阶的无穷小量，记作 = o( ); ⑵若 lim = ，就说 是比 低阶的无穷小量； ⑶若 lim 0 c = ，就说 是与 同阶的无穷小量； ⑷若 lim 1 = ，就说 是与 等价的无穷小量，记作 ~ . 定理 1 与 是等价无穷小量的充分必要条件是 = + o( ). 定理 2 设 0 x x → （或 x → ）时， ~ ~ ˊ， ˊ，且 lim ˊ ˊ 存在，则 lim =lim ˊ ˊ 例 1 求 0 tan 3 lim x sin 5 x → x 例 2 求 lim sin n n n → 第七节 函数的连续性 一、函数连续性的概念 设函数 y f x = ( ) 在含有点 0 x 的某个领域内有定义.当自变量 x 在这个邻域内从 0 x 变到 0 x x + 时，函数 y 相应地从 0 f x( ) 变到 0 f x x ( ) + ， 称 0 0 f x x f x ( ) ( ) + − 为函数的改变量或增量，记作 y ， 即 0 0 = + − y f x x f x ( ) ( ) 称 x 为自变量的改变量或增量