例1:证明(P∧_P)Q=Q 证明:画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出 等式是成立的。 PQP∧PP∧P)∨Q FFTT FTFT FTFT 图21.1
例1: 证明(P∧P)∨Q = Q 证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出 等式是成立的
例2:证明PV_P=Q∨_Q ■证明:画出P∨_PQ∨_Q的真值表,可看 出它们是等值的,而且它们都是重言式
例2: 证明P∨P = Q∨Q ◼ 证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看 出它们是等值的, 而且它们都是重言式
■从例1、2还可说明,两个公式等值并不要 求它们一定含有相同的命题变项。若仅在 等式一端的公式里有变项P出现,那么等式 两端的公式其真值均与P无关。例1中公式 (P∨_P)∨Q与Q的真值都同P无关,例2 中P∨_P,Q∨Q都是重言式,它们的真值 也都与P、Q无关
◼ 从例1、2还可说明, 两个公式等值并不要 求它们一定含有相同的命题变项。若仅在 等式一端的公式里有变项P出现, 那么等式 两端的公式其真值均与P无关。例1中公式 (P∨P) ∨Q与Q的真值都同P无关, 例2 中P∨P, Q∨Q都是重言式, 它们的真值 也都与P、Q无关
2.1.2等值定理 ■定理对公式A和B,A=B的充分必要条 件是A<>B是重言式。 若AQB为重言式(A、B不一定都是简单 命题,可能是由简单命题P1…,Pn构成的 对A,B的一个解释,指的是对P1…,Pn的 组具体的真值设定),则在任一解释下A 和B都只能有相同的真值,这就是定理的意 思
2.1.2 等值定理 ◼ 定理 对公式A和B, A = B的充分必要条 件是A B是重言式。 ◼ 若A B为重言式(A、B不一定都是简单 命题, 可能是由简单命题P1 , …, Pn构成的 对A, B的一个解释, 指的是对P1 , …, Pn的 一组具体的真值设定), 则在任一解释下A 和B都只能有相同的真值, 这就是定理的意 思
证明 若A<B是重言式,即在任一解释下,A <>B的真值都为T。依A<>B的定义只有 在A、B有相同的值时,才有A<>B=T。 于是在任一解释下,A和B都有相同的真值, 从而有A=B。反过来,若有A=B,即在 任一解释下A和B都有相同的真值,依A< B的定义,A<B只有为真,从而A<>B是 重言式
证明 ◼ 若A B是重言式, 即在任一解释下, A B的真值都为T。依A B的定义只有 在A、B有相同的值时, 才有A B = T。 于是在任一解释下, A和B都有相同的真值, 从而有A=B。反过来，若有A = B, 即在 任一解释下A和B都有相同的真值, 依A B的定义, A B只有为真, 从而A B是 重言式