口定理22设R、S分别是X到Y及Y到Z的关系,则有 R=R,(R°S)=S。R R R。S R°S 另外的一些结论: (1)设R是X到Y的关系,QQ,分别是X和Y上的相等关 系,则有Q30R=R0Q=R 16
16 , Qx Qy Qx R R Qy R
(2)R°(R2∪R)=R°R2∪R1oR3 R(R2∩R∈界B2∩R。R (R2∪R)R=R2°R∪R3oR (R2∩R)R∈R20R∩R°R 注意:第二、四不是等式,以第二个式子说明为什么不是“=” A={12,3},B={a,b},C={x,y,- R={(1a),(1,b),R2={(a,x),R={(b,x) R2∩R=→R°(R^R)=⑦先取交集,再复合,交 (R。R)⌒(RR)={(1,x) 运算可能会把一些可用 的有序偶先给排除掉了 17
17 (2) 先取交集，再复合，交 运算可能会把一些可用 的有序偶先给排除掉了 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 4 2 4 3 4 2 3 4 2 4 3 4 R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R 1 2 3 1,2,3 , , , , , 1, , 1, , , , , A B a b C x y z R a b R a x R b x R2 R3 R1 R2 R3 R1 R2 R1 R3 1, x 注意：第二、四不是等式，以第二个式子说明为什么不是“=
(3)X×Y=Y×X 4)(R)=(R补集的逆关系 (5)R∪S=R∪S,R∩S=R∩S 注意,这个跟德·摩根律不一样 (6)R-S=R-S 18
18 (3) (4) 补集的逆关系 (5) 注意，这个跟德·摩根律不一样 (6) ~ X Y Y X ~ ~ ~ R ~ R ~ ~ ~ ~ ~ ~ R S R S, R S R S ~ ~ ~ R S R S
关系的重要性质 定义26:在集合X上的关系R,如果对任意x∈X, 有(x,x)∈R,则称R是自反的 如:整数集合上的相等关系、"<"关系等 1∵10 01、0 00 判断方法 1.关系图中,每个节点都有环; 2.关系矩阵中主对角线上的元素都是1(其它元素任意)。 19
19 n 定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 ， 有 ，则称R是自反的。 如：整数集合上的相等关系、 关系等； 判断方法： 1. 关系图中，每个节点都有环； 2. 关系矩阵中主对角线上的元素都是1（其它元素任意）。 xX x, x R "
定义27:在集合X上的关系R,如果对任意x∈X, 有(x,x)∈R,则称R是反自反的。 如:整数集合上的"<"、"≠"关系,等等 001 100 2 判断方法: 1.关系图中,每个节点都没有环; 2.关系矩阵中主对角线上的元素都是0。 20
20 n 定义2.7：在集合X上的关系R，如果对任意 ， 有 ，则称R是反自反的。 如：整数集合上的 、 关系， 等等 判断方法： 1. 关系图中，每个节点都没有环； 2. 关系矩阵中主对角线上的元素都是0。 xX x, x R " " "