体，使学生对实数运算形成基本完整的认识.教材充分注意到这一点，使学生在已有的基础上提高 认识.例如，对于二次根式的加减运算，在“实数”一章中已经以(3+√2)一√2,33+23为 例，使学生对“有理数的运算律和运算法则在实数的范围内仍然成立”有所体验。本章在此基础 上，利用分配律给出了二次根式加法、减法的运算法则，使学生进一步体会运算律在数的扩充过程 中的一致性 值得注意的是，《义务教育数学课程标准(2011年版)》（简称（课标(2011年版）》)对本 章的内容和要求规定为“了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数） 加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算”，这样就把本章的学习对象限定在 了“根号下为数的二次根式”，但这是最低要求.为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提高 学生的运算能力，也为今后高中阶段的数学学习打下必要的基础，教材在正文中设置了选学例题， 采用举例的方式，让那些学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算。由于数式 通性，只婴将二次根式中的实数看成字母，就可以类似地进行二次根式的运算，因此我们相信，这 样的内容是可以被大多数学生所接受的。 为了加强二次根式与整式之间的联系，强化用整式的运算法则、乘法公式等简化二次根式运算 的方法，进而培养学生的运算能力，教材采取举例的方式，在二次根式混合运算的例题中，强调了 利用多项式的乘法法则和乘法公式进行运算，突出了二次根式运算的本质，并用“小贴士”醒目地 标明：在小结中，引导学生概括，指出：“二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化 为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就可以了.二次根式的乘法与整式的乘 法类似，以往学过的乘法公式等都可以用.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子分母中含 有相同的因式，可以直接约去” 六、对本章教学的建议 1.注意代数学的整体性 作为初中阶段“数与式”内容的最后一章，本章不仅承担二次根式的知识教学任务，面且也有 整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务.因此，教学时一定要有整体观。具体包括： (Q)对于二次根式概念的教学，要从运算的角度提出学习任务，在分析开方运算的意义中使学 生认识被开方数为非负数的合理性，并通过简单的变式，使学生养成“看到根号就要注意被开方数 的符号”的习惯。 (2)对于二次根式的性质，要注意从“考察特例”的角度提出问题，并注意从联系性中发现它 们的关系.实际上，从算术平方根的意义可以直接得出(a)=a(a≥0)和√a=a(a≥0)；与二 次根式的乘法法则相联系，上述性质还可以看成是a·石=√ab在a=b时的特例. 4教师教学用书数学八年级下册
(3)对于二次根式的运算，要注意放在代数运算这个大系统下，加强“从概念到法则”“利用 运算律进行运算”“利用乘法公式简化运算”等思想方法的教学.总之，要在“二次根式是一类特 殊实数的一般形式，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用”的思想指导下， 展开二次根式运算法则的学习和运算技能的训练 (4)由于本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有 很多相通之处，因此，教学中一定要从联系性上多做文章，使学生通过本章学习建立完整的代数知 识结构，并进一步地体会代数问题的基本研究方法.当然，这种“联系性的教学”应该结合具体内 容进行。例如，通过具体例子，引导学生探索、发现，二次根式的加减运算核心是合并同类二次根 式，而同类二次根式可以类比同类项而得到：还可以通过具体例子，引导学生发现整式中的乘法公 式在二次根式的运算中也成立等等。 2。加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程 前已指出，教材对本章内容的处理，一以贯之地用“从具休数字的算术平方根的运算中观察规 律，归纳得出二次根式的性质、运算法则”的方式展开.因此，教学时一定要根据教材的这一编写 意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳得出有关结论。例如，对 于二次根式的乘法法则和除法法则，都应该先让学生利用二次根式的概念和性质进行一些具体数字 的计算，并观察所得结果，发现二次根式相乘（除）与积（商）的算术平方根之间的关系：然后让 学生自己举例，利用发现的规律进行验证性计算：最后归纳出二次根式的乘法、除法法则。 3。加强运算技能训蛛，提高运算能力 在《课标(2011年版)》提出的十个关键词中，与本章相关的关键词很多.例如，数感（数 及其运算结果估计方面)、符号意识（用符号表示数、进行运算和推理，得到具有一般性的结论）、 运算能力（根据法则和运算律正确、合理、简捷地进行运算）、推理能力（通过归纳和类比得出性 质、运算法则，从运算法则出发进行计算)等。这与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》 有较大的不同，我们应该关注到这种变化，在本章教学中更加注重运算能力的培养，具体地又要落 实在运算技能的训练上。 运算技能的训练是代数教学的基本任务，本章的“训练点”在两个方面：一是“用二次根式的 运算法则进行运算”，核心是有效地利用二次根式的性质和乘法法则、除法法则，其中将各式转化 为最简二次根式是关键步骤；二是运算习惯的培养，与“数感”“符号意识”等相关，具体可以从 “先观察，后计算”“先化为最简二次根式，后计算”“利用乘法公式进行计算”等方面着手 由于本章在整个中学阶段具有基础性地位，因此，虽然教材以“让学生理解二次根式的性质和 运算，并会熟练运用法则进行运算”为重点，突出二次根式的性质和法则的数学本质，而对分母有 理化、同类二次根式等概念采取谈化处理，只结合具体例子进行说明，但这并不意昧着可以削弱分 第十六章二次根式5
母有理化，以及将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式的方法等的教学，同时要注 意，《课标(2011年版)》作出的“根号下仅限于数的二次根式的四则运算”的限制是最低要求， 教学时应适当加强含有字母的二次根式的化简、四侧运算。当然，题目不能复杂化，不应过分关注 运算技巧. 6教师教学用书数学八年级下册
①散材分析 第十六章二次根式 [1门章引言从运算的角 度提出了本章的学习内容， 并指出了学习本章内容的必 要性 本章分为三节，第 活 16.1节是二次根式的概念 和性质，这节既是“实餐” 高合别是为，m,A,那盒它行的得语木径之 化司成个人手需要二文根人特有美标以我 学过处人的通幕、命人时随是，有意行二文征灵 根式的乘除运算法则和二次 的通算吧？成能是本争贵解决的土要网思.通性本 根式的化简，第16.3节是 二次根式的加减运算，主要 研究二次根式的加减运算法 则和进一步完善二次根式的 化简。 1.在“数与代数”中，二次根式是重要内学习，学生将加深对二次根式概念的认识，通过 容之一，前面学生较系统地学习了有理数及其运学习二次根式的四则运算法则，对实数的四侧喇运 算学习了平方根和算术平方根、立方根的概算有进一步的了解。因此，教学时应充分注意在 念、用根号表示数的平方根、立方根：知道了开“实数”一章的基础上讲行，并加深对平方根和 方与乘方互为逆运算，会用平方运算和立方运算算术平方根的概念、无理数和实数的概念以及运 求某些非负数的平方根以及某些数的立方根：了算等的理解和应用. 解了无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的 2。教科书由实际问题引出本章要讨论的问 点是一一对应的，并对有理数的运算性质和运算题，这既使学生感到研究本章内容是实际的需 法则在实数运算中仍然成立有所体验。通过本章要，也为从代数运算的角度提出问题作了铺垫， 第十六章二次根式7
[]这里指出“在实数 范围内”是从科学性角度叙 16.1二次根式 迷的，在学生未学习实数以 外的数时，对这句话不可能 有较深的理解，因此教学中 不必在这句话上多做文章， 滋导有候与的大子维空，看重等出的维果发什么特点： ,置候看9的正方形的过 是什么数时，式子√x一2有 ()里长为3的1方形特流长为 长为 竞义，这里不必过多强调在 2)一个长方形的图想，长是重的2造。吾积为10。则它的重 实数范围内，理由同「厂1 [3]工为任意实数时， )一个物体项有发自声系下，第列地面新用的时河（单， √x2都有意义；当x≥0 行开始事下时两地型的年度有（单：m)满说兴系名一如果国分有 时，√有意义 有的次子责拿，套么业为 上商图的站果分到是。S,V区。、宁.它打表本一香面前的算水 平加 我们据通。一个正数有两个平方梨：9的平方根为在实数道调内。负 数夜有平方配阴统。在实数道国片许平方时，被样为数见能是正数域8 一程地。我们把形如石(a>)的大子到维二次限式《一园 例1当，是2江样的实数时，一之在实数他相内有意文：21 解：南一0，骨 2 当>进时。一在实数是州内有意义 区 身：是怎样的实量时。公直丙鱼元器有有第又？，厅观门 1.本节主要内容是二次根式的定义和性质.际情况，选择其他有趣的实际问题引人，以调动 教科书先给出二次根式的定义，然后讨论了简单学生的学习兴趣. 的二次根式的性质.通过本节的学习，应该使学 3.对于二次根式的定义，应侧重让学生理 生对二次根式的定义以及性质有较深刻的认识，解开方数是非负数的要求.教学时，要注意引导 为下两节的学习打下基础 学生回忆“实数”一章所学习的平方根的意义利 2.教科书借助三个实际问题，引出二次根特征，帮助学生理解这一要求，而不必深究怎样 式的定义。设置这些实际问题的目的是让学生感判断一个式子是不是二次根式，特别是一些含有 受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实二次根式的式子是否也可叫做二次根式等问题， 际生活联系紧密。教学时，也可以根据学生的实 4.本节通过例1讨论了二次根式的被开方 8教师教学用书数学八年级下册