第4章动能和势能习题解答 28 第4章动能和势能习题解答 第四章基本知识小结 4机械能定理适用于惯性系 ∑A外+∑A=A(E+E,) 1功的定义式： A12 F.dr 5机械能守恒定律适用于惯性系 XV2 直角坐标系中： Fdx A2=Fdx+F,dy 若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变，E,+E。=C A12= 乃 自然坐标系中：A2= 6.碰撞的基本公式 m1o+m2V20=m,y1+m2y2(动量守恒方程) n马 极坐标系中： A2=F,dr +Ford0 '2-=e(V1o-'2o) (牛顿碰撞公式) (分离速度=e接近速度) 对于完全弹性碰撞e=1 对于完全非弹性碰撞e=0 2动能E=支m2，势能E,o-￡，o=-d面 对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。 7克尼希定理 重力势能 E(y)=mgy 弹簧弹性势能E,)--)户 绝对动能=质心动能+相对动能 121 静电势能 E(r)= Qq 应用于二体问题 4π8r E.-2m'+24w 1m2 m=%1+m21= 3动能定理适用于惯性系、质点、质点系 m1+m2 ∑A外+∑A内=△E ”为二质点相对速率
第4章动能和势能习题解答 28 第4 章动能和势能习题解答 第四章基本知识小结 ⒈功的定义式： = 2 1 12 r r A F dr 直角坐标系中： = = + 2 2 1 1 2 1 , , 12 12 x y x y x y x x A Fxdx ，A F dx F dy 自然坐标系中： = 2 1 12 s s A F ds 极坐标系中： = + 2 2 1 1 , , 12 r r r A F dr F rd ⒉ = − = − b a k p p E mv E b E a F dr 动能 , 势能 ( ) ( ) 保 2 1 2 重力势能 E y mgy p ( ) = 弹簧弹性势能 2 ( ) 2 1 E (r) k r l p = − 静电势能 r Qq E r p 4 ( ) = ⒊动能定理适用于惯性系、质点、质点系 A外 +A内 = Ek ⒋机械能定理适用于惯性系 + = + ) A外 A非保内 （Ek Ep ⒌机械能守恒定律适用于惯性系 若只有保守内力做功，则系统的机械能保持不变， Ek + Ep = C ⒍碰撞的基本公式 （分离速度 接近速度） （牛顿碰撞公式） 动量守恒方程） e v v e v v m v m v m v m v = − = − + = + ( ) ( 2 1 10 20 1 10 2 20 1 1 2 2 对于完全弹性碰撞 e = 1 对于完全非弹性碰撞 e = 0 对于斜碰，可在球心连线方向上应用牛顿碰撞公式。 ⒎克尼希定理 = + 2 2 ' 2 1 2 1 k c i i E mv m v 绝对动能=质心动能+相对动能 应用于二体问题 2 2 2 1 2 1 Ek = mvc + u 1 2 1 2 1 2 m m m m m m m + = + = u 为二质点相对速率
第4章动能和势能习题解答 29 第4章动能和势能习题解答 4.2.2本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展 4.2.4一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动， 开跨过理想滑轮，下悬重物50kg,人用力向后蹬传送带而人的质心 线穿过桌中心光滑圆孔，用力F向下拉绳，证明力F对线做的功等 相对于地面不动，设传送带上侧以2s的速率向后运动，问运动员 与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸 对传送带做功否？功率如何？ 长。 解：人作用在传送带上的力有向下 证明：以园孔为顶点建立极坐标，设小球 的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向 的位置由r1,0,变为r2,02,由于忽略绳的质 与传送带位移方向垂直，所以压力不做 量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力T=F 功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相 同，所以静摩擦力对传送带做正功。 A =jFdr=-jTdr=Tjdr-TGr-n) 分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦 力的大小=mg,所以，人对传送带做功的功率为： AF=F(G-3)=T(-3),Ar=A N=fv=mgy=50×9.8×2=9.8×102(瓦) 4.2.5一辆卡车能够沿者斜坡以15km/h的速率向上行驶，斜 坡与水平面夹角的正切tga=0.02,所受阻力等于卡车重量的0.04， 4.2.3一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为f=kI+k,1,1 如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 表示弹簧的伸长量，k1为正，(1)研究当k2>0、k2<0和k2=0时弹簧 解：设卡车匀速上坡时，速率为V,牵引力为E,功率为N,由质 的劲度ddl有何不同：(2)求出将弹簧由山拉长至2时弹簧对外界所 点平衡方程有，F=(0.04+sina)mg,.N=Fv=(0.04+sina)mgv 做的功。 设卡车匀速下坡时，速率为v,牵引力为F,功率为N,由质点 解：弹簧的劲度ddl=k+3kP df/dl k2>0 平衡方程有F'+mg sin a=0.04mg,F=(0.04-sina)mg k2=0时，dd=女1，与弹簧的伸长量 .'.N'=(0.04-sin a )mgv'. 无关：当k2>0时，弹簧的劲度随弹簧 k2=0 令N=N,即(0.04+sina)mgv=(0.04-sina)mgy,可求得： 伸长量的增加而增大：k2<0时，弹簧 k0 v仁v(0.04+sina)M0.04sina).利用三角函数关系式，可求得： 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。 sina≈tga=0.02,∴.v=3y=3×15×103/602m/s=12.5m/s. 在以上三种情况中，劲度d!与弹簧伸长量1的关系如图所示。 4.3.1质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与 A=-(kl+kPydl=-k ldl-ka P'dl 一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用者大 =-k02-12)-k2024-1) 小不变的力T=50N,木块在A点时具有向右的速率vo=6m/s,求力T 将木块从A拉至B点时的速度。 =-k1+号k022+12(22-1,2) 解：以A为原点建立图示坐标0-x, 3m 木块由A到B,只有拉力T做功： ☑ 4m
第4章动能和势能习题解答 29 第4 章动能和势能习题解答 4.2.2 本题图表示测定运动体能的装置。绳拴在腰间沿水平展 开跨过理想滑轮，下悬重物 50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心 相对于地面不动，设传送带上侧以 2m/s 的速率向后运动，问运动员 对传送带做功否？功率如何？ 解：人作用在传送带上的力有向下 的压力和水平向后的静摩擦力，压力方向 与传送带位移方向垂直，所以压力不做 功，但静摩擦力方向与传送带位移方向相 同，所以静摩擦力对传送带做正功。 分析人受力情况，由质心定理可知，人与传送带之间的静摩擦 力的大小 f=mg，所以，人对传送带做功的功率为： N = fv = mgv = 50×9.8×2 = 9.8×102（瓦） 4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹性力的大小为 f k l k l ,l 3 = 1 + 2 表示弹簧的伸长量，k1 为正，⑴研究当 k2＞0、k2<0 和 k2=0 时弹簧 的劲度 df/dl 有何不同；⑵求出将弹簧由 l1 拉长至 l2 时弹簧对外界所 做的功。 解：弹簧的劲度 df/dl=k1+3k2l 2 . k2=0 时，df/dl=k1，与弹簧的伸长量 无关；当 k2>0 时，弹簧的劲度随弹簧 伸长量的增加而增大；k2<0 时，弹簧 的劲度随弹簧伸长量的增加而减小。 在以上三种情况中，劲度 df/dl 与弹簧伸长量 l 的关系如图所示。 [ ( )]( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 4 1 4 4 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 3 1 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 k k l l l l k l l k l l A k l k l dl k ldl k l dl l l l l l l = − + + − = − − − − = − + = − − 4.2.4 一细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动， 线穿过桌中心光滑圆孔，用力 F 向下拉绳，证明力 F 对线做的功等 与线作用于小球的拉力所做的功，线不可伸 长。 证明：以圆孔为顶点建立极坐标，设小球 的位置由 r1,θ1 变为 r2,θ2，由于忽略绳的质 量、伸长，不计摩擦，所以绳对球的拉力 T=F F T F r r r r r r T r A F r r T r r A A A F dr Tdr T dr T r r = − = − = = = − = = − ( ) ( ), ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以 15km/h 的速率向上行驶，斜 坡与水平面夹角的正切 tgα=0.02，所受阻力等于卡车重量的 0.04， 如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 解：设卡车匀速上坡时，速率为 v, 牵引力为 F, 功率为 N,由质 点平衡方程有，F = (0.04+sinα)mg，∴N = Fv = (0.04+sinα)mgv 设卡车匀速下坡时，速率为 v’,牵引力为 F',功率为 N', 由质点 平衡方程有 F'+ mg sinα= 0.04mg, F'=(0.04-sinα)mg, ∴N'= (0.04-sinα)mgv'. 令 N'= N, 即（0.04+sinα）mgv = (0.04-sinα)mgv'，可求得： v'= v(0.04+sinα)/(0.04-sinα). 利用三角函数关系式，可求得： sinα≈tgα=0.02 ,∴v'=3v =3×15×103 /602 m/s = 12.5m/s. 4.3.1 质量为 m=0.5kg 的木块可在水平光滑直杆上滑动，木块与 一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一固定的光滑小环，绳端作用着大 小不变的力 T=50N，木块在 A 点时具有向右的速率 v0=6m/s，求力 T 将木块从 A 拉至 B 点时的速度。 解：以 A 为原点建立图示坐标 o-x， 木块由 A 到 B，只有拉力 T 做功： F k2=0 k2＞0 k2＜0 df/dl k1 l 4m 3m A B T x θ
第4章动能和势能习题解答 30 第4章动能和势能习题解答 0.5 A-jF.dx-jTc00d-Tl (4-x 4-x+3 4,=F== =-50.52+05-02Ta0.5- =-(4-x)2+92d(4-x)2+9=-婴×204-x)2+9]26 =-50.52+(0.5-y2d0.52+0.5-yy21 =50V(4-x)2+96=50×(5-3)=100J =-5×2[0.52+(0.5-y)2]Ψ2185 =0.5F(N2-1)=0.5×60W2-1)=12.43J 设木块到达B时的速度为v,由动能定理：A=mw2- 由动能定理：Av+Ar+A=支mg2-m v=V24/m+。=V2×10010.5+62≈20.88m15,方向向右 代入数据，求得s=3.86m/s 4.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳 4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初m处于使弹簧既未 跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以 压缩也未伸长的位置，并以速度向右运动，弹簧的劲度系数为k, 恒力F,F=6ON,木块在A处有向上的速度vo=2m/s,求木块被拉至B时 物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离I 的速度。 为1=学(+-) 0.5m 0.5m 证明：质点m由弹簧原长位 置运动到最远位置1，弹力F和滑 M m .5m 动摩擦力∫对质点做负功，导致质 点动能由o22变为0。根据动能定理：Ar+A=0-o2① W 其中，A4=-kdl=-k,4=-umgl,代入①中，并整理， 有：k+2μmg-mvo2=0.这是一个关于1的一元二次方程，其根为： 解：以地为参考系，建立图示坐标A-xy,木块在由A到B的运 1=-24my2m4m元，负根显然不合题意，舍去，所以， 动过程中受三个力的作用，各力做功分别是： Aw=0:Aw=mg(yB-yA.1.2×9.8×0.5=-5.88J:F大小虽然不变， 1=-+umg+km-(+-) 但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 4.3.4圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为m的活塞
第4章动能和势能习题解答 30 第4 章动能和势能习题解答 − + − = = = 4 0 (4 ) 3 (4 ) 4 0 4 0 2 2 cos x x dx A Fxdx T dx T x J x d x x T 50 (4 ) 9 | 50 (5 3) 100 [(4 ) 9] [(4 ) 9] 2[(4 ) 9] | 4 0 2 4 0 2 1/ 2 2 50 4 0 2 1/ 2 2 2 = − + = − = = − − + − + = − − + − 设木块到达 B 时的速度为 v，由动能定理： 2 2 0 2 1 2 A = 1 mv − mv v 2A/ m v 2 100/ 0.5 6 20.88m/s 2 2 = + 0 = + ，方向向右 4.3.2 质量为 1.2kg 的木块套在光滑铅直杆上，不可伸长的轻绳 跨过固定的光滑小环，孔的直径远小于它到杆的距离。绳端作用以 恒力 F,F=60N,木块在 A 处有向上的速度 v0=2m/s,求木块被拉至 B 时 的速度。 解：以地为参考系，建立图示坐标 A-xy，木块在由 A 到 B 的运 动过程中受三个力的作用,各力做功分别是： AN = 0；AW = -mg(yB-yA)=-1.2×9.8×0.5= -5.88J；F 大小虽然不变， 但方向在运动过程中不断变化，因此是变力做功。 F J y y d y y d y A F dy F dy F dy F F F y y F y 0.5 ( 2 1) 0.5 60( 2 1) 12.43 2[0.5 (0.5 ) ] | [0.5 (0.5 ) ] [0.5 (0.5 ) ] [0.5 (0.5 ) ] (0.5 ) cos 0.5 0 2 2 1/ 2 2 0.5 0 2 2 1/ 2 2 2 2 0.5 0 2 2 1/ 2 2 2 0.5 0 0.5 (0.5 ) 0.5 0.5 0 0.5 0 2 2 = − = − = = − + − = − + − + − = − + − − = = = − − + − − 由动能定理： 2 2 1 2 2 1 AN + AW + AF = mvB − mvA 代入数据，求得 vB =3.86 m/s. 4.3.3 质量为 m 的物体与轻弹簧相连，最初 m 处于使弹簧既未 压缩也未伸长的位置，并以速度 v0 向右运动，弹簧的劲度系数为 k， 物体与支撑面间的滑动摩擦系数为μ求证物体能达到的最远距离 l 为 ( 1 2 1) 2 0 = + − mg k v k mg l 证明：质点 m 由弹簧原长位 置运动到最远位置 l，弹力 F 和滑 动摩擦力 f 对质点做负功，导致质 点动能由 mv0 2 /2 变为 0。根据动能定理：AF+Af=0 - mv0 2 /2 ……① 其中， A k ldl kl A mgl f l F = − = − = − , 2 2 1 0 ，代入①中，并整理， 有：kl2+2μmgl-m v0 2=0. 这是一个关于 l 的一元二次方程，其根为： k m g m g k mv l 2 2 (2 ) 4 2 0 2 − + = ，负根显然不合题意，舍去，所以， ( ) ( 1 2 2 1) 2 0 2 0 1 2 = − + + = + − m g k v k m g k k m g l m g kmv 4.3.4 圆柱形容器内装有气体，容器内壁光滑，质量为 m 的活塞 0.5m y 0.5m B θ 0.5m F N F W A A x m m k l
第4章动能和势能习题解答 31 第4章动能和势能习题解答 将气体密封，气体膨胀前后的体积各为V1,V2,膨胀前的压强为p, 活塞初速率为m.(1)求气体膨胀后活塞的末速率，已知气体膨胀时气 据动量定理：F△t=△p=mM2-V) 体压强与体积满足pv=恒量.(2)若气体压强与体积的关系为pv'=恒 量，Y为常量，活塞末速率又如何？ 所以，F=支m22-支mm,2 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为"， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力mg,气体 中平m 4.3.6在质量分析器中（详见教材），电量为e的离子自离子源 对活塞的压力N=pS(S为气缸横截面)，忽略重力所 A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速，设偏转磁感应强度 做的功（很小），对活塞应用动能定律： s 为B,偏转半径为R求证在D漂移管中得到的离子的质量为 Aw=支m2-m2,v=V。2+2Aw/m m=eB'R'/2U. 证明：正离子从离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的 (I)若pV=p1V1, 电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv/2-0=eU...v=(2eU/m)2 Ay pSd=jpdv=pVdv =p 正离子在半径为R的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转， 若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qB=R,也就是， (2)若pV'=pV1 eB=m/R,将v=(2eUm)P代入，并将方程两边平方，得： e'B'=2meU/R2,..m=eB'R2/2U. Ay-jpdv=pVjv-dv-PY-V) -1-y 4.3.7轻且不可伸长的线悬挂 质量为500g的圆柱体，圆柱体又套 4.3.5o坐标系与o坐标系各对应轴平行，o相对o沿x轴以vo 在可沿水平方向移动的框架内，框架 做匀速直线运动.对于0系质点动能定理为： 槽沿铅直方向，框架质量为200g.自 F△x=支，2-立m2,M,2沿x轴，根据伽利略变换证明：对于 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 平力F=20.0N作用下移至图中位置， 0系，动能定理也取这种形式。 求圆柱体的速度，线长20cm,不计摩擦。 证明：由伽利略变换：x=x+vot,v=v+vo,△x=△x'+vo△t① 解：设绳长1，圆柱质量m,框架质量m,建立图示坐标y: v1=v+vo,v2=v2+vo②，将①②代入Fr=22-m,2中，有 据题意，园柱在。点时，园柱和框架的速度均为零：圆柱在图示位 置时，设圆柱的速度为，方向与线1垂直，框架的速度为2，方向 FAX'+FATVo=m(v2'+Vo)2-im(v'+Vo) 水平向右，由园柱与框架的套接关系，可知2=vx,v1=v1g0 园柱体m1与框架m构成一质点系，此质点系在从竖直位置运 =m22-号m,2+m(y2'-y,')严。=m22-m2+m(y2-)o 动到图示位置的过程中，只有重力W1=g和拉力F做功：其中
第4章动能和势能习题解答 31 第4 章动能和势能习题解答 将气体密封，气体膨胀前后的体积各为 V1,V2，膨胀前的压强为 p1， 活塞初速率为 v0. ⑴求气体膨胀后活塞的末速率,已知气体膨胀时气 体压强与体积满足 pv=恒量. ⑵若气体压强与体积的关系为 pv γ =恒 量，γ为常量，活塞末速率又如何？ 解：以活塞为研究对象，设膨胀后的速率为 v， 在膨胀过程中，作用在活塞上的力有重力 mg，气体 对活塞的压力 N=pS（S 为气缸横截面），忽略重力所 做的功（很小），对活塞应用动能定律： AN mv mv , v v 2AN / m 2 0 2 2 0 2 1 2 1 = − = + ⑴若 pV=p1V1， 1 2 2 2 1 2 1 1 1 ln 1 1 1 V V V V V V V V V AN = pSdx = pdV = p V dV = p V ⑵若 pVγ =p1V1 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 − − − − − = = = V V p V A pdV p V V dV V V V V N 4.3.5 o'坐标系与 o 坐标系各对应轴平行，o'相对 o 沿 x 轴以 v0 做匀速直线运动. 对于 o 系质点动能定理为： 2 2 1 1 2 2 2 Fx = 1 mv − mv ，v1,v2 沿 x 轴，根据伽利略变换证明：对于 o'系，动能定理也取这种形式。 证明：由伽利略变换：x=x'+v0t , v=v'+v0，Δx=Δx'+v0Δt ① v1=v1'+v0，v2=v2'+v0 ②，将①②代入 2 2 1 1 2 2 2 Fx = 1 mv − mv 中，有 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0 2 1 2 2 0 1 0 ' ' ( ' ') ' ' ( ) ' ( ' ) ( ' ) mv mv m v v v mv mv m v v v F x F t v m v v m v v = − + − = − + − + = + − + 据动量定理： ( ) 2 1 Ft = p = m v − v 所以， 2 2 1 2 1 2 2 1 Fx' = mv ' − mv ' 4.3.6 在质量分析器中（详见教材）,电量为 e 的离子自离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U 的电场加速.设偏转磁感应强度 为 B,偏转半径为 R.求证在 D 漂移管中得到的离子的质量为 m=eB2R 2 /2U. 证明：正离子从离子源 A 引出后，在加速管中受到电压为 U 的 电场加速，正离子动能的增量等于电场力对正离子所做的功，即， mv2 /2-0=eU,∴v=(2eU/m)1/2 正离子在半径为 R 的弯管中受到洛仑兹力的作用而发生偏转， 若能进入漂移管道，根据牛顿二定律必须满足：qvB=mv2 /R,也就是， eB=mv/R，将 v=(2eU/m)1/2 代入，并将方程两边平方，得： e 2B 2=2meU/R2，∴m=eB2R 2 /2U. y 4.3.7 轻且不可伸长的线悬挂 质量为 500g 的圆柱体，圆柱体又套 30º l v1 在可沿水平方向移动的框架内，框架 30º 槽沿铅直方向，框架质量为 200g.自 o 悬线静止于铅直位置开始，框架在水 F x 平力 F=20.0N 作用下移至图中位置， v2 求圆柱体的速度，线长 20cm,不计摩擦。 解：设绳长 l，圆柱质量 m1，框架质量 m2，建立图示坐标 o-xy； 据题意，圆柱在 o 点时，圆柱和框架的速度均为零；圆柱在图示位 置时，设圆柱的速度为 v1，方向与线 l 垂直，框架的速度为 v2,方向 水平向右，由圆柱与框架的套接关系，可知 v2=v1x，v1y=v1xtg30º 圆柱体 m1 与框架 m2 构成一质点系，此质点系在从竖直位置运 动到图示位置的过程中，只有重力 W1=m1g 和拉力 F 做功：其中， p,v m S x
第4章动能和势能习题解答 32 第4章动能和势能习题解答 Am=·mg门-cos30=·013,AF=FIsn30=2J,由质点系动能定 解：运动员在整Ap 理，有Am+As=m2+m22=号m,(.2+,2)+m2y 个运动过程中，只有重 力做功，故机械能守恒， 25n =.2[m,1+g230)+m2].yx2=2(41+As)售m1+m2) 取B点为势能零点。 '.mgH mvg2/2 代入数据，2=4.3，u,2=(vg302=1.44∴.v(v.2+）12=2.4ms yg=√2g=V2×9.8×25=22.1m/s 运动员由B到C作斜抛运动，据题意，C点即为最高点。由斜 4.4.1两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 抛运动规律可知，=sc0s30°=19.1m/s 1和弹簧2的劲度系数各为k1,k2,它们自由伸展的长度相差1，坐标 ,mwa22=mve22+mgh.h=va2-ye2/2g=6.3m:由竖直方向 原点置于弹簧2自由伸展处，求弹簧组在0≤x≤1和x<0时弹性势 的速度公式可求跨越时间：，0=vgsin.30”-g对，t=vB/2g=1.13s,由 能的表达式。 水平方向的位移公式可求得跨越距离d=v'Bcos30°t=21.6m 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性 势能为零：弹簧2的势能表达式显然为： Ep2=kx2,x≤0：弹簧1的势能： wW 4.5.2装置如图所示，球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m, k20 A点距o点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆AB在水平位置时 恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球 Ep=-kiJ(I-x)dx=kiJ(I-x)d(I-x)=tk(I-x) 到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零， =k[0-x)2-1P]=kx2-kk,(x≤0 A 小球运动到竖直位置时的速度为，弹簧原 当0≤x≤1时，E。=Ep1=kx2-k 长：。=V0.52+0.12=0.51,在小球从 当x<0时，E。=En+Ep2=(k1+k)x2-kbx 水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保 B 守内力做功，因而机械能守恒： 0=m2-mgAB+k(OA+AC-)2,可求得： 4.5.1滑雪运动员自A自由下落，经B越过宽为d的横沟到达 平台C时，其速度刚好在水平方向，已知A、B两点的垂直距离 v=2gAB-k(OA+AC-lo)/m 为25m.坡道在B点的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦，求： (1)运动员离开B处的速率va:(2)B、C的垂直高度差h及沟宽d:(3) =V2×9.8×1-800(0.5+0.1-0.51)2/5=4.28m/s 运动员到达平台时的速率
第4章动能和势能习题解答 32 第4 章动能和势能习题解答 AW1= - m1gl(1-cos30º)= - 0.13J, AF = F l sin30º= 2J,由质点系动能定 理，有 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 ( ) W F x y x A + A = m v + m v = m v + v + m v [ (1 30 ) ] 2( )/( ) 3 1 2 4 1 2 2 1 2 1 2 2 1 = 1 v x m + tg + m v x = AW + AF m + m 代入数据,v1x2=4.3, v1y2=(v1xtg30º) 2=1.44∴v1=(v1x2+v1y2 ) 1/2=2.4m/s. 4.4.1 两个仅可压缩的弹簧组成一可变劲度系数的弹簧组，弹簧 1 和弹簧 2 的劲度系数各为 k1,k2，它们自由伸展的长度相差 l，坐标 原点置于弹簧 2 自由伸展处，求弹簧组在 0≤x≤l 和 x<0 时弹性势 能的表达式。 解：规定两个弹簧处在坐标原点时的弹性 势能为零；弹簧 2 的势能表达式显然为： , 0 2 2 2 1 Ep2 = k x x ；弹簧 1 的势能： [( ) ] , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 0 1 1 k l x l k x k lx x l E k l x dx k l x d l x k l x x x x p = − − = − = − − = − − = − 当 0≤x≤l 时， E E k x k lx p p 1 2 2 1 1 = 1 = − 当 x<0 时， E E E k k x k lx p p p 1 2 2 1 2 1 1 2 = + = ( + ) − 4.5.1 滑雪运动员自 A 自由下落，经 B 越过宽为 d 的横沟到达 平台 C 时，其速度 vc刚好在水平方向，已知 A、B 两点的垂直距离 为 25m.坡道在 B 点的切线方向与水平面成 30º角，不计摩擦，求： ⑴运动员离开 B 处的速率 vB；⑵B、C 的垂直高度差 h 及沟宽 d；⑶ 运动员到达平台时的速率 vc. 解：运动员在整 个运动过程中,只有重 力做功,故机械能守恒， 取 B 点为势能零点。 ∵mgH = mvB 2 /2 ∴ v gH m s B = 2 = 29.825 = 22.1 / 运动员由 B 到 C 作斜抛运动，据题意，C 点即为最高点。由斜 抛运动规律可知，vc = vB cos30º = 19.1m/s ∵mvB 2 /2 = m vc 2 /2+mgh ∴h = (vB 2 -vc 2 )/2g = 6.3m；由竖直方向 的速度公式可求跨越时间：∵0 = vBsin30º-gt ∴t = vB /2g =1.13s，由 水平方向的位移公式可求得跨越距离 d = vB cos30ºt = 21.6m. 4.5.2 装置如图所示，球的质量为 5kg，杆 AB 长 1m，AC 长 0.1m， A 点距 o 点 0.5m，弹簧的劲度系数为 800N/m，杆 AB 在水平位置时 恰为弹簧自由状态，此时释放小球，小球由静止开始运动，求小球 到铅垂位置时的速度，不计弹簧质量及杆的质量，不计摩擦。 解：取小球在水平位置时，势能为零， 小球运动到竖直位置时的速度为 v，弹簧原 长： 0.5 0.1 0.51 2 2 l 0 = + = ，在小球从 水平位置运动到竖直位置的过程中，只有保 守内力做功，因而机械能守恒： 2 2 0 2 1 2 1 0 = mv − mgAB + k(OA + AC −l ) ，可求得： m s v g AB k OA AC l m 2 9.8 1 800(0.5 0.1 0.51) / 5 4.28 / 2 ( ) / 2 2 0 = − + − = = − + − H=25m h d vB vc A 30º o x l k1 k2 B C A o