西安电子科技大学：《大学物理》课程习题解答（力学）第2章 质点运动学基本知识小结

第二章基本知识小结 2.11质点运动学方程为：(1)F=(3+21)i+5j (2)F=(2-3)i+(41-1)j,求质点轨迹并用图表示. 解：(1)x=3+2t,y=5,轨迹方程为y=5的直线。 (2)x=2-3t,y=4t-1,消去参数t得轨迹方程4x+3y-5=0 53 5/4 2.1.2质点运动学方程为F=e2i+e2j+2k.(1)求质点轨迹：(2)求自t=-1到=1质点的位移。 解：（①）由运动学方程可知：x=e2,y=e2,z=2,xy=1,所以，质点是在=2平面内的第一像限 的一条双曲线上运动。 (2)△r-r-F(-10=(e2-e2)i+(e2-e2)j =-7.2537i+7.2537j。所以，位移大小： 1△r卡V(△x)2+(4y)2=V（-7.2537)2+7.25372=7.2537√2， 与x轴夹角 a=arccos Ax =arcos(-Y5)=1350 I△F 与y轴夹角B=arccos Ay arccos(- 2)=45° △F 与z轴夹角y=arccos. △z △F ,=arccos0=90° 2.1.3质点运动学方程为F=41分+(2t+3)j.(1)求质点轨迹：(2)求质点自=0至=1的位移. 解：()x=412,y=21+3,消去参数t得：x=(y-3)2 (2)△r=F1)-r(0)=4i+5j-3j=4i+2j

第二章基本知识小结 2.1.1 质点运动学方程为： r t i j ˆ 5 ˆ = (3 + 2 ) +  ⑴ r t i t j ˆ (4 1) ˆ = (2 − 3 ) + −  ⑵ ,求质点轨迹并用图表示. 解：⑴ x = 3 + 2t, y = 5, 轨迹方程为 y = 5 的直线. ⑵ x = 2 − 3t, y = 4t −1 ，消去参数 t 得轨迹方程 4x + 3y − 5 = 0 2.1.2 质点运动学方程为 r e i e j k t t ˆ ˆ ˆ 2 2 2 = + +  − .⑴求质点轨迹；⑵求自 t= -1 到 t=1 质点的位移。 解：⑴由运动学方程可知： , , 2, 1 2 2 = = = = − x e y e z xy t t ，所以，质点是在 z=2 平面内的第一像限 的一条双曲线上运动。 ⑵ r r r e e i e e j ˆ ( ) ˆ (1) ( 1) ( ) −2 2 2 −2  = − − = − + −    i j 2537 ˆ 7. 2537 ˆ = −7. + 。所以，位移大小： = =    = = =    = = − =    =  =  +  = − + = arccos 0 90 | | z arccos ) 45 2 2 arccos( | | y arccos ) 135 2 2 arccos( | | x arccos | | ( ) ( ) ( 7.2537) 7.2537 7.2537 2, 2 2 2 2 r z r y r x r x y        与 轴夹角 与 轴夹角 与 轴夹角 2.1.3 质点运动学方程为 r t i t j ˆ (2 3) 4 ˆ 2 = + +  . ⑴求质点轨迹；⑵求质点自 t=0 至 t=1 的位移. 解：⑴ 4 , 2 3 2 x = t y = t + ，消去参数 t 得： 2 x = ( y − 3) ⑵ r r r i j j i j 4 ˆ 5 ˆ 3 ˆ 4 ˆ 2 ˆ  = (1) − (0) = + − = +    x y 5 x y 5/3 5/4

2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为R=4100m,91=33.7° 0.75s后测得R,=4240m,0,=29.3°，R1,R2均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（a角) 0 R R2 02 01 解：下≈市=见-R-△顷 在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得： △1 △t AR=R+R2-2RR,cos(0-0, =V41002+42402-2×4100×4200c0s4.4° =349.58m v≈币=△R/△f=349.58/0.75≈465.8m/s 据正弦定理：△R/sm(0-02)=R2/sn(180°-8-) sim(180°-9-a)=R2sin(0,-02)/△R=4240sin4.4°/349.58 ≈0.931,180°-0-a≈111.41°，∴.a=34.89° 2.2.2一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道 为y=x200(长度：毫米)。第一次观 察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后，圆柱 体移到x=234mm处。求圆柱体瞬时 速度的近似值。 △F 解：由于△t很小，所以，下≈下= △t 0X1X2 其中，△1=2m5,△=△xi+△7，△x=x2-x1=234-249=-15 △y=y2-y1=(x22-x12)/200=(2342-2492)/200=-36.2 .≈（△x/△）i+(△y/△t)j=-7.5i-18.1j。其大小 |v=V(-7.5)2+(18.1)2=19.6mm/ms:与x轴夹角 a=ac0os￥=ac0s75=arc0s-0.38265)=-112.50 19.6 2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者17m:另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km,收听者离收音机2m,问谁先听到声音？声速为340ms,电磁波传播的速率为3.0×10°m/s

2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 = 4100 , = 33.7 R1 m 1 0.75s 后测得 = 4240 , = 29.3 R2 m  2 ，R1,R2 均在铅直面内，求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角） 解： t R t R R v v   =  −  =      2 1 ，在图示的矢量三角形中，应用余弦定理，可求得： m R R R R R 349.58 4100 4240 2 4100 4200cos 4.4 2 cos( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 = = + −     = + −  − v  v = R/t = 349.58/0.75  465.8m/s 据正弦定理： /sin( ) /sin(180 ) R 1 − 2 = R2  −1 −   − −    =   − − = −  =  0.931, 180 111.41 , 34.89 sin(180 ) sin( )/ 4240sin 4.4 / 349.58 1 1 2 1 2      R   R 2.2.2 一圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道 为 y=x2 /200(长度：毫米)。第一次观 察到圆柱体在 x=249mm 处，经过时间 2ms 后，圆柱 体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时 速度的近似值。 解：由于Δt 很小，所以， t r v v    =    ， 其中， t = 2ms,r = xi ˆ + y ˆ j,x = x2 − x1 = 234 − 249 = −15  ( )/ 200 (234 249 )/ 200 36.2 2 2 2 1 2 y = y2 − y1 = x2 − x = − = − v x t i y t j i j 1 ˆ 18. 5 ˆ 7. ˆ ( / ) ˆ   ( / ) +   = − −  。其大小 | v | ( 7.5) (18.1) 19.6mm/ ms 2 2 = − + =  ；与 x 轴夹角 = − = −  − = = arccos( 0.38265) 112.5 19.6 7.5 arccos arccos v vx  2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m；另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京 2320km，收听者离收音机 2m，问谁先听到声音？声速为 340m/s，电磁波传播的速率为 3.0×108m/s. y x 0 x1 x2 R θ θ1 R1 R2 ΔR θ1 θ2 α

解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间： 17m 340m/s t1=17/340=0.05s 广州人听到演奏声音所需时间： 2320km,3×108m/s 2320×103.2 340m/s 2= 30×10+340 ≈0.0136s 2m 2.2.5火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h速率行驶，3min后以70km/h速率向北偏西30° 方向行驶，求列车的平均加速度。 北 L30 解：a=2-亚-△ V2 △t△t △V V1=90km/h 对矢量三角形应用余弦定理： v2=70kmh西 Av=Vy,2+y22-2y,y2c0s30°=V902+702-90×70√5 =45.69km/h=12.69m/s a=4=12.69 △13×60 =0.07m/s2,由正弦定理：=△v sina sin30° sima=y2sn30°/△v=70×0.5/45.69≈0.766，a≈50° 2.2.6(I)产=Rcosti+Rsin tj+2tk,R为正常数，求t=0,π2时的速度和加速度。(2) F=3ti-4.5t2j+6t3k,求1=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：()i=di/d=-Rsin ti+Rcostj+2R a=dv/dt =-Rcosti-Rsin fj.:.=Rj+2k,almo=-Ri, (2) lims12=-Ri+2k,alm12=-Rj 币=d/d=3i-90+18t2k,ā=d1dt=-9j+36tk: limo=3i,alr-o=-9j,lm=3i-9j+18k,al=-9j+36k 2.3.1图中a、b和c表示质 x(m) 点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图像，试说明每种运动的特点 (即速度，计时起点时质点的位置坐 b 标，质点位于坐标原点的时刻) 30 解：质点直线运动的速度 10 30 020 人45° 0 30 t(s) -10 -20十

解：声音传播情况如图所示， 北京人听到演奏声音所需时间： t 17/340 0.05s 1 = = 广州人听到演奏声音所需时间： t 0.0136s 340 2 3.0 10 2320 10 8 3 2 +    = 2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶，3min 后以 70km/h 速率向北偏西 30° 方向行驶，求列车的平均加速度。 解： t v t v v a   =  − =     2 1 对矢量三角形应用余弦定理： k m h m s v v v v v 45.69 / 12.69 / 2 cos30 90 70 90 70 3 2 2 1 2 2 2 2 1 = =  = + −  = + −  2 0.07 / 3 60 12.69 m s t v a =  =   = ，由正弦定理：   = sin sin 30 2 v v  sin = sin 30/ = 700.5/ 45.69  0.766,  50  v2 v  2.2.6 ⑴ r R t i R tj tk ˆ = cos ˆ + sin ˆ + 2  ， R 为正常数，求 t=0, π /2 时 的 速 度 和 加 速 度 。 ⑵ r t i t j t k ˆ 3 ˆ 4.5 ˆ 6 2 3 = − +  ，求 t=0,1 时的速度和加速度（写出正交分解式）。 解：⑴ v dr dt R t i R tj k ˆ = / = − sin ˆ + cos ˆ + 2   v Ri k a R j a dv dt R t i R tj v R j k a Ri t t t t ˆ , | ˆ | ˆ 2 , ˆ , | ˆ / cos ˆ sin ˆ. | ˆ 2 / 2 / 2 0 0 = − + = − = = − −  = + = − = = = =         ⑵ v dr dt i tj t k a dv dt j tk ˆ , / 9 ˆ 36 ˆ / 3 ˆ 9 ˆ 18 2 = = − + = = − +     ； v i a j v i j k a j k t t t t ˆ , | 9 ˆ 36 ˆ | =0= 3 ˆ , | =0= −9 ˆ , | =1= 3 ˆ −9 ˆ +18 =1= − +     2.3.1 图中 a、b 和 c 表示质 点沿直线运动三种不同情况下的 x-t 图像，试说明每种运动的特点 （即速度，计时起点时质点的位置坐 标，质点位于坐标原点的时刻） 解：质点直线运动的速度 17m 340m/s 2320km,3×108m/s 340m/s 2m α v2 30° v1=90km/h v2=70km/h Δv 西 北 10 20 30 10 20 30° 120° 45° -10 -20 0 x(m) t(s) a b c

v=dk/dt,在xt图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线 与x轴正向夹角为a,则速度v=g=△x/△t 对于a种运动： v=1g120=-3m/s,x0=20m,t lm0=201g30=11.55s 对于b种运动： v=g30°=V3/3ms,xlo=10m,tlo=-10/tg30°≈-17.32s 对于c种运动： v=tg45°=1ms,tlk=0=25s,xl,-0=-25tg45°=-25m 2.3.2质点直线运动的运动学方程为x=Qcos1,a为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有 无周期性，运动范围，速度变化情况等) 解：x=acost,Vx=dk/dl=-asin t,a=dh/d=-acost 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： -a≤x≤a,-a≤vx≤a,-a≤ax≤a 233既伞运动员的定度为=B片V铅直向下，B日为正常量，求共加速度，时论时同足等长 时（即t→∞）速度、加速度的变化趋势。 解： =Bd 1-e dt M'+e） =p0+e")9e-1-e"X-9e9)-2Bqey (1+e-9r)2 (1+e-r)2 因为v>0,a心0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当t→∞时，v→B,a一0，说明经过较长时间后， 跳伞员将做匀速直线运动。 2.3.4直线运行的高速列车在电↑v(km/h) 子计算机控制下减速进站。列车原 运行速率为vo=l80kam/h,其速率变化v0 V=Vocos x/5 规律如图所示。求列车行至 x=l.5km时的加速度。 解 1.5 x(km) v='ocos(πx/5),w/d=-号vosn号x. a=密·需=v密=-bπ，2sin号0，将vo=l80km/hx=l.5km代入 a=-t×3.14×1802.sin108°=-9676km/h2=-0.75m/s2

v = dx / dt ，在 x-t 图像中为曲线斜率。由于三种图像都是直线，因此三种运动都是匀速直线运动，设直线 与 x 轴正向夹角为α，则速度 v = tg = x / t 对于 a 种运动： v tg m s x m t tg s = 120 = − 3 / , | t=0= 20 , | x=0= 20 30 =11.55 对于 b 种运动： v tg ms x m t tg s 30 3 / 3 , | t 0 10 , | x 0 10/ 30 17.32 1 =  = = = = = −   − − 对于 c 种运动： v tg45 1ms ,t | x 0 25s, x | t 0 25tg45 25m 1 =  = = = = = −  = − − 2.3.2 质点直线运动的运动学方程为 x=acost,a 为正常数，求质点速度和加速度，并讨论运动特点（有 无周期性，运动范围，速度变化情况等） 解： x a t v dx dt a t a dv dt a t x x x = cos , = / = − sin , = / = − cos 显然，质点随时间按余弦规律作周期性运动，运动范围： − a  x  a, − a  vx  a, − a  ax  a 2.3.3 跳伞运动员的速度为 qt qt e e v − − + − = 1 1  ，v 铅直向下，β,q 为正常量，求其加速度，讨论时间足够长 时（即 t→∞）速度、加速度的变化趋势。 解： 2 2 (1 ) 2 (1 ) (1 ) (1 )( ) ) 1 1 ( q t q t q t q t q t qtt q t q t q t e qe e e qe e qe e e dt d dt dv a − − − − − − − − − + = + + − − − = + − = =    因为 v>0，a>0，所以，跳伞员做加速直线运动，但当 t→∞时，v→β，a→0，说明经过较长时间后， 跳伞员将做匀速直线运动。 2.3.4 直线运行的高速列车在电 子计算机控制下减速进站。列车原 运行速率为 v0=180km/h，其速率变化 规 律 如 图 所 示 。 求 列 车 行 至 x=1.5km 时的加速度。 解 ： cos( / 5), / sin . 0 5 0 5 v v x dv dx v x   =  = − dx dv dt dx dx dv a =  = v  v x 5 2 2 10 0 1 = − sin ，将 v0=180km/h,x=1.5km 代入 2 2 2 1 0 1 a = − 3.14180 sin 108 = −9676k m/ h = −0.75m /s v(km/h) v=v0cosπx/5 x(km) 1.5 v0

2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C点与 桌面固定，己知物体A的加速度aA=0.5g,求物体B的加速度。 0.5g 0 X 解：设整个绳长为L,取图示坐标o-x,则3xA+(-4xB)=L 对时间求两次导数，3aA=4aB,所以aB=3aA/4=3X0.5g4=3g/8 2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.(1)将坐标原点沿0-x正方向移动2m,运动学方程如何？ 初速度有无变化？(2)将计时起点前移1$，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变 不变？ 解：x=10t+3t2,v=dx/dt=10+6t,=dv/d=6,t=0时，x=0,v=10 (1)将坐标原点向x轴正向移动2m,即令x=x-2,x=x'+2,则运动学方程为：x-10t+3t2-2,. v'=dx'/dt=10+6t,..v'=v (2)将计时起点前移1s,即令t=t+1,tt-1,则运动学方程变为：x=10(t-1)+3(代-1=10t-10+3t2-6t +3=4t+3t2-7 v=dx/dt=4+6t,t=0时，x=-7,v=4,加速度a不变。 2.4.1质点从坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度k=2t(cs2),求在下列两种情况下质 点的运动学方程，出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。(I)初速度Vo=0:(2)初速度0 的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。 解：dm,=a,di=21dh,了dw=2j1d山，y,=o+r2 dx=v,dt =(vo+12)dt,fdx vofdt+ft'dt,x=vot+ 0 0 (1)v。=0时，y=t2,x=t3;x(6)=号×62=72cm x=x(6-x(0)=72m路程S=x=72cm (2)o=-9时，yx=t2-9,x=}t3-9 x=x(6)-x(0)=18cm 令Vx=0,由速度表达式可求出对应时刻=3，由于3秒前质点沿x轴反向运动，3秒后质点沿x轴正 向运动，所以路程： Sx(3)-x(0)川+|x(6)-x(3)=x(6)-2x(3) =18-2(3×33-9×3)=18+36=54cm

2.3.5 在水平桌面上放置 A、B 两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来，C 点与 桌面固定，已知物体 A 的加速度 aA=0.5g，求物体 B 的加速度。 解：设整个绳长为 L，取图示坐标 o-x，则 3xA+(-4xB) = L 对时间求两次导数，3aA=4aB，所以 aB = 3aA/4=3×0.5g/4 = 3g/8 2.3.6 质点沿直线的运动学方程为 x=10t+3t2 . ⑴将坐标原点沿 o-x 正方向移动 2m，运动学方程如何？ 初速度有无变化？⑵将计时起点前移 1s，运动学方程如何？初始坐标和初速度发生怎样的变化？加速度变 不变？ 解：x=10t+3t2，v=dx/dt=10+6t，a=dv/dt=6，t=0 时，x=0,v=10 ⑴将坐标原点向 x 轴正向移动 2m，即令 x'=x-2，x=x'+2，则运动学方程为：x'=10t+3t2 -2，∵ v'=dx'/dt=10+6t，∴v'=v ⑵将计时起点前移 1s，即令 t'=t+1，t=t'-1，则运动学方程变为：x = 10(t'-1) + 3(t'-1)2 = 10t' – 10 + 3t'2 - 6t' + 3 = 4t' + 3t'2 – 7 v'=dx/dt'=4+6t'，t'=0 时，x= -7，v'=4，加速度 a 不变。 2.4.1 质点从坐标原点出发时开始计时，沿 x 轴运动，其加速度 ax = 2t (cms-2 )，求在下列两种情况下质 点的运动学方程，出发后 6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程。⑴初速度 v0=0；⑵初速度 v0 的大小为 9cm/s，方向与加速度方向相反。 解： 2 0 0 2 , 2 , 0 dv a dt tdt dv tdt v v t x v t v x x x x = =  =  = + 3 3 1 0 0 2 0 0 0 2 0 dx v dt (v t )dt, dx v dt t dt, x v t t x t t = x = +  =  +  = + ⑴ v 0 vx t , x t ; x(6) 6 72cm 2 3 3 1 3 2 1 0 = 时， = = =  = x = x(6) − x(0) = 72m 路程S = x = 72cm ⑵ v v t x t t 9 x 9, 9 3 3 2 1 0 = − 时， = − = − x = x(6) − x(0) = 18cm 令 vx=0，由速度表达式可求出对应时刻 t=3，由于 3 秒前质点沿 x 轴反向运动，3 秒后质点沿 x 轴正 向运动，所以路程： cm S x x x x x x 18 2( 3 9 3) 18 36 54 | (3) (0) | | (6) (3) | (6) 2 (3) 3 3 1 = −  −  = + = = − + − = − A B aA 0.5g 0 x