高中数学含参讨论，分离参数，取点问题与极值点偏移30例

含参讨论,分离参数,取点放缩,极值点偏移 〔衡水理数21题)已知函数f(x=)axex(-a-10x+1),a∈R 例1. (1)若f(x)只有一个极值点,求a的取值范围; (2)证明:当0<a<时,f(x)有两个零点,记为x与x,且一3<x+x2<2 分析与解答:分离参数法,放缩取点 (1)f(x)=(x+1)(ae2-2(a-1) 由题意知,ae2-2(a-1)=0在R上无解→e= ≤0→0≤a≤1 (2)由(1)知,0<a<时,fx)在(-a-1)↓,在(-1+)↑ 又f(-1)=--<0,f(0)=1-a>0 f(-2) a+1=-a+1+1>-a+1>-1+1=>0取点 由零点存在定理知,-2<x1<-1,-1<x2<0→x+x2> 下面用构造对称差函数证明x1+x2<-2极值点偏移的典型处理方法 x+x2<-2台x<-2-x2<-1分fx)>(-2-x)ex)>f2-x) 引入对称差函数=)-1(-2-x)=a[e+(x+2)e22]g(-)=0 6()=l(x+1) x+1 a(r+lle =a(x+1) →8x)在R上单调递增→8(x)>8(-1)=0→x十x2<-2 例2.(百校联考理数21)已知函数f(x)=x1nx-ax2,a∈R (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围;

1 例 1. 含参讨论，分离参数，取点放缩，极值点偏移 （衡水理数 21 题）已知函数f(x = )axe x ( −a −1()x +1) 2 ,a ∈R （1）若   xf 只有一个极值点，求a 的取值范围； （2）证明：当 2 1 0 a  时，   xf 有两个零点，记为 21与xx ，且 3 2 21 xx  分析与解答：分离参数法，放缩取点 （1）        aaexxf  121  x 由题意知，   aae  012 x 在R 上无解   100 12    a a a e x （2）由（1）知， 2 1 0 a  时，   xf 在  , 1  ，在  1,  又   1  0 e a f ，   af  010   11 2 1 2 2 2 2         e aa e a f 0 4 1 1 4 3 1 2 3 a  取点 由零点存在定理知， 12 1 x  ， 01 2 x  3 21 xx  下面用构造对称差函数证明 2 21 xx  极值点偏移的典型处理方法 2 21 xx  12 1 2 xx      1 2 2  xfxf     2 2 2  xfxf 引入对称差函数       2 xfxfxg      2 2   x x exxea g   01                       2 2 1 1 1 1 x x x x e exa e x exaxg      2 1 1 11 1      x x x e ee xa  0    xg 在R 上单调递增   gxg    01 2 21 xx  例 2. （百校联考理数 21）已知函数   ,ln  Raaxxxxf 2 （1）当a  1时，求函数   xf 的单调区间； （2）若函数   xf 有两个极值点，求实数a 的取值范围；

分析与解答:二次求导术,分离参数法,大致图像的三个细节,含参讨论与放缩取点 (1)略f(x)=1+1nx-2x二次求导术 2 →f(x)在0↑,在,+∞↓ f(x)sf1=-1n2<0→fx)在(+∞)↓ (2)f(x)=1+1nx-2ax,令f(x)=0在(Q,+)有两个不同的实数根 方法一:分离参数法,导数法研究函数的大致图像 分高参数2a1+n x>0导数法研究函数的大致图象问题(略 羽入8(x)=1+x=g()==x→g(x)580)=1=0<a<1 方法二:含参数讨论法+放缩取点 g(x)=lnx-2ax+1有两个不同零点,g(x)=--2a 当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增,不符合题意 当a>0时,g(x)0 >0→0<a< 2 又别/、<0,放缩取点,导数法可证:nx<2√x-1,x>0 In 2 +1<2 l=0 综上所述,0<a< 例3.(百校联考理数21题)已知函数f(x)=ax-e+ (1)曲线y=f(x)与x轴的交点为P(x,O),且在点P的切线为,证明:曲线 y=f(x)上的点都不在直线的上方 (2)当a=3时,若关于x的方程fx)=(m>0)有不等实根x,xx<x) 求证:x2-x1<2

2 分析与解答：二次求导术，分离参数法，大致图像的三个细节，含参讨论与放缩取点 （1）略 fx   1  lnx  2x 二次求导术   x x x f x 1 2 2 1       fx  在        2 1 0, ，在        , 2 1   2 0 2 1          f x  f ln  fx  在0,  （2） fx   1  lnx  2ax ，令 fx   0 在0,有两个不同的实数根 方法一：分离参数法，导数法研究函数的大致图像 分离参数 0 1 2    x x x a , ln 导数法研究函数的大致图象问题（略） 引入     2 1 x x g x x x g x ln  ln       gx  g1  1 2 1  0  a  方法二：含参数讨论法+放缩取点 gx  ln x  2ax 1有两个不同零点，   a x g x 2 1    当 a  0 时， gx在0,上单调递增，不符合题意 当 a  0 时，                  , 2 1 , 2 1 0, a a g x 在 在 2 1 0 0 2 1            a a g 又 0 1 2          e a e g ，放缩取点，导数法可证： ln x  2 x 1, x  0 1 0 2 1 1 1 2 1 2 . 1 ln 1 2 2 2 2               a a a a a a g 综上所述， 2 1 0  a  例 3. （百校联考理数 21 题）已知函数      1 x f x ax e （1）曲线 y  fx  与 x 轴的交点为  0 0 P x , ，且在点 P 的切线为 l ，证明：曲线 y  fx  上的点都不在直线l的上方； （2）当a  3 时，若关于x 的方程 fx   m m  0 有不等实根   1 2 1 2 x ,x x  x ， 求证：x x m 4 3 2 2 1   

分析与解答:函数不等式的证明,切线放缩法,类极值点偏移问题 (1)1:J=(a-e)x-x),且 问题等价于证明(a-e)(x-x)≥ax-e2+1,x∈R恒成立切线在函数的上方 构造差函数g(x)=(a-e)x-x)-ax+e-1 g(x)=a-e-a+e=e-e,显然g(x)=0,且(x)在R上单调递增 于是g(x)≥(x)=-arx+6-1=0 (2)b(x)=3x-e2+1-m有两个不等式实数根 h'(x)=3-e2→8(x)在(-a,1n3)↑,在(n3,)↓ 要有两个不等根的充要条件 h(1n3)>0 彐t∈(ln3+a)h(<0→0<m<31n3-2,(1n3约=110) 彐s∈(-∞,1n3b(s)<0 因为y=f(x)有两个零点,x1=0,x2=x,即 由(1)知,h(x)≥f(x) 在x,=0处的切线为y=2x→x,≥ m 在x2=x处的切线为y=(3-ex-x 03-≈23,1<x0<2→x,<2+令 m x2 2 →x2-x,<2-B-m 例4.已知函数f(x)= 1+1nx (1)求曲线y=f(x)在函数f(x)零点处的切线方程; (2)若关于x的方程f(x)=a恰有两个不同的实根x,x,且x,<x、,求证 X一X>

3 分析与解答：函数不等式的证明，切线放缩法，类极值点偏移问题 （1）    0 l y a e 0 x x x :    ，且 0 1 0 0    x ax e 问题等价于证明   1 0  0     x x a e x x ax e ，x  R 恒成立 切线在函数的上方 构造差函数gx      1 0  0     x x a e x x ax e   0 0 x x x x g x  a  e  a  e  e  e ，显然   0 0 g x  ，且gx  在R 上单调递增 于是     0 1 0 0 0       x g x g x ax e （2）h x  x e m x  3   1  有两个不等式实数根   x h  x  3  e  gx  在 ,ln3  ，在ln3,  要有两个不等根的充要条件                         3 0 3 0 3 0 s h s t h t h ,ln , ln , , ln  0  m  3ln3  2 ，（ln3 约  1.10 ） 因为y  fx  有两个零点， 0 1  ' x ， 2 0 x  x ' ，即 3 1 0 e 0  x  x 由（1）知，h x   fx  在 0 1  ' x 处的切线为y  2x  2 1 m x  在 2 0 x  x ' 处的切线为    0 y 3 e 0 x x x    令 0 2 0 0 3 0 2 3x m x e m x x x       ，1 2 0  x  4 2 2 6 2 2 m m x        m m m x x 4 3 2 4 2 2 2 1       例 4. 已知函数   x x f x  ln  1 （1）求曲线y  fx  在函数 fx  零点处的切线方程； （2）若关于 x 的方程 fx   a 恰有两个不同的实根 1 2 1 2 x ,x ，且x  x ，求证： 1 1 2 1    a x x

分析与解答:切线方程问题,零点个数求参数范围,类极值点偏移问题,放缩取点 (1)略 (2)转化命题,使问题更易于解决 原问题等价于g(x)=lnx-ax+1有两个不同的根 1-ax (x) 0 x 当a≤0时,g(x)在(O,+∞)上单调递增,不可能有两个零点,不符合题意 当a>0时,g(x)0.-个,在,+∞|↓→g>0→0<a<1 l →0<x<-<x2补充: 1=0|nx<2√x-1,x> 又g()=-a+1>0, <0,由零点存在定理知,<x1<1→x2-x1>--1 例5.已知函数f(x)=x(1nx-axa∈R (1)当a=0时,求函数f(x)的最小值 (2)若关于x的不等式f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围; 分析与解答:极值问题,分离参数法,含参最值问题,零点个数求参数范围,放缩取点 (1)略 (2)等价于g(x)=nx-ax≤0恒成立 (3)等价于f(x)=nx-2ax-1有两个异号零点

4 分析与解答：切线方程问题，零点个数求参数范围，类极值点偏移问题，放缩取点 （1）略 （2）转化命题，使问题更易于解决 原问题等价于 gx  ln x  ax 1有两个不同的根   , 0 1 1       x x ax a x g x 当 a  0 时， gx在0,上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意 当 a  0 时，                  , 1 , 1 0, a a g x 在 在 0 1         a g  0  a 1 1 2 1 0 x a   x   补充： 1 0 4 1 . 4 2 4 2 2 2            a a a a g ln x  2 x 1, x  0 又 g1a10， 0 1        e a e g ，由零点存在定理知， 1 1  x1  e 1 1  2  1   a x x 例 5. 已知函数 fx   x lnx  ax ,a  R （1）当a  0时，求函数 fx  的最小值； （2）若关于x 的不等式 fx   0 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数 fx  有两个极值点，求实数a 的取值范围； 分析与解答：极值问题，分离参数法，含参最值问题，零点个数求参数范围，放缩取点 （1）略 （2）等价于 gx  ln x  ax  0 恒成立 （3）等价于 f x  ln x  2ax  1有两个异号零点

例6.已知函数f(x)=x2-3x+2+k1nx,其中k∈R (1)试讨论函数f(x)的极值点的个数; (2)若对任意的x>1,不等式f(x)≥0恒成立,求实数k的取值范围 分析与解答:含参讨论单调性,恒成立的讨论最值法 k2x2-3 (1)f(x)=2x-3+-= ,x>0,Δ=9-8k x 当k≥-时,△≤0,∫(x)≥0,无极值点; (2)借助第一问结论∫(x)m≥0 例7.(2015级绵阳二诊理数20180121)已知函数f(x)=e-ax-1,a∈R,对 于x∈R,f(x)≥1-21n2 (1)求a的最大值 (2)当a取最大值时,若存在x。>1,使得不等式x-k +x+3<0成 立,求正整数k的最小值 分析与解答: (1)含参讨论a-a1na22-21n2→a=2 (2)含参讨论g(x)=x-k|(e2-2)+x+3<0能成立 6(2=2o(x-2k+)=0-4-6>k2x>1→k=2超越不等式

5 例 6. 已知函数 fx   x  3x  2  k lnx 2 ，其中k  R （1）试讨论函数 fx  的极值点的个数； （2）若对任意的x  1，不等式 fx   0 恒成立，求实数k 的取值范围. 分析与解答：含参讨论单调性，恒成立的讨论最值法 （1）   x k f  x  2x  3  x x  x  k  2 3 2 ， x  0，   9  8k 当 8 9 k  时，   0 ， f x  0 ，无极值点； （2）借助第一问结论    0 min f x 例 7. （2015 级绵阳二诊理数 20180121）已知函数 fx  e ax a R x    1,  ，对 于x  R ,fx   1  2 ln2 （1）求a 的最大值； （2）当a 取最大值时，若存在 1 0 x  ，使得不等式   3 0 2 1 0 0 0           x  k f x x 成 立，求正整数k 的最小值. 分析与解答： （1）含参讨论 a  a lna  2  2 ln2  a  2 （2）含参讨论    2 3 0 2 1           g x  x  k e x x 能成立    2 1 2 1 g x  e x  k  x 4 6 0 1 1 2 1        e k k x k , ,  k  2 超越不等式