数列的前n项和求解方法 知识图谱 分组求和 数列前n项和的求法( 第08讲_数列前n项和的求法 相消法求和 数列前n项和的求法( 错位相减法求和 数列前n项和的求法(一) 知识精讲 数列的求和方法 1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和 (1)等差数列的求和公式m+a≠n+2d 2 (q=1) (2)等比数列的求和公式Sn={a(-q") ≠ (切记:公比含字母时一定要讨论) 2.分组求和法:把数列的前n项和分成若干组,分别求和,再相加 3.合并求和法:如求1002-99+982-972+…+22-2的和为n2-(n-1)2=2n-1的求 和 4.倒序相加法:如等差数列求和公式的推导 1
1 数列的前 n 项和求解方法 一．数列的求和方法 1. 直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和． （1）等差数列的求和公式： 1 1 ( ) ( 1) 2 2 n n n a a n n S na d + − = = + ； （2）等比数列的求和公式 1 1 ( 1) (1 ) ( 1) 1 n n na q S a q q q = = − − （切记：公比含字母时一定要讨论）. 2. 分组求和法：把数列的前 n 项和分成若干组，分别求和，再相加． 3．合并求和法：如求 2 2 2 2 2 2 100 99 98 97 2 1 − + − + + − 的和为 ( ) 2 2 n n n − − = − 1 2 1 的求 和. 4. 倒序相加法：如等差数列求和公式的推导. ·知识图谱· · ·错题回顾· · 数列前 n 项和的求法（一） ·知识精讲· ·
5.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等. 吕受·三点剖析 必备公式 Sk=1+2+3+…+n=(n少 ∑k2=1+2+32+…+n2=m+)2n+ k3=13+23+33 n(n+1) 题模精选 题模一分组求和法 例L.1.1已知数列{an}的前n项和为Sn=2"-1,bn=an+ 则数列{bn}的前n项和为 D.2"1+n2+1 【答案】C 【解析】∵bn=an+2n-1, ∴数列{b}的前n项和=Sn+1+3+…+(2n-1) =2n-1+ n(1+2n-1) 例1.2已知数列{an}中,a=1,an=(-1)(an+1),记S为{an}前项的和,则S23= 【答案】-1005 【解析】∵a1=1,an+1=(-1)n(an+1), 从而可得数列{an}是以4为周期的数列 ∴S2013=a1+a2+a3+…+a201 (a1+a2+a3+a4)×503+a2013 2
2 5. 其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等. 一. 必备公式 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n = + = + + + + = ； 2 2 2 2 2 1 ( 1)(2 1) 1 2 3 6 n k n n n k n = + + = + + + + = ； 2 3 3 3 3 3 1 ( 1) 1 2 3 2 n k n n k n = + = + + + + = . 题模一：分组求和法 例 1.1.1 已知数列 { }n a 的前 n 项和为 2 1 n n S = − ， 2 1 n n b a n = + − ，则数列 { }n b 的前 n 项和为 （） A． 1 2 2 1 n n − + − B． 1 2 2 2 1 n n − + − C． 2 2 1 n + − n D． 1 2 2 1 n n − + + 【答案】C 【解析】∵bn＝an＋2n－1， ∴数列{bn}的前 n 项和＝Sn＋1＋3＋…＋（2n－1） (1 2 1) 2 1 2 n n n + − = − + ＝2 n－1＋n 2． 例 1.1.2 已知数列 an 中， 1 a = 1， 1 ( 1) ( 1) n n n a a + = − + ，记 n S 为 an 前项的和，则 2013 S = ________． 【答案】－1005 【解析】∵a1＝1，an＋1＝（－1）n（an＋1）， ∴a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，a6＝－2… 从而可得数列{an}是以 4 为周期的数列 ∴S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013 ＝（a1＋a2＋a3＋a4）×503＋a2013 ·三点剖析· · ·题模精选· ·
503×(1-2-1+0)+1=-1005 例1.13已知数列{an}为等差数列,a2=3,a4=7;数列{bn}为公比为q(q>1)的等比数列, 且满足集合{,b2b3}={1,2,4} (I)求数列{an},{bn}的通项公式 (Ⅱ)求数列{an+b}的前n项和S 【答案】(I)an=2n-1;bn= (Ⅱ)S=n2+2"-1 【解析】(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为a1、d, ∴an+d=3,a+3d=7, 解得:a1=1,d=2 ∴an=1+2(n-1)=2n-1 等比数列{bn}成公比大于1的等比数列且{b,b,b}={1,2,4} ∴b1=1,b2=2,b3=4, (Ⅱ)由(I)可知Sn=(a1+a2+.+an)+(b1+b2+.+bn) n(1+2n-1)1-2 2 n2+2n-1 题模二倒序相加法 例11已知f(x)=x+lnx一,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(9)的值为() A.5000 【答案】B 【解析】∵f(x)=X+ln ∵(x)+f(100-X)=x+n +100-X+ 100-x 100 100-x ∵f(1)+f(2)+f(3)+…:+f(99) 50f(1)+f(99)]-f(50) 3
3 ＝503×（1－2－1＋0）＋1＝－1005． 例 1.1.3 已知数列 { }n a 为等差数列， 2 4 a a = = 3, 7 ；数列 { }n b 为公比为 q q( 1) 的等比数列， 且满足集合 1 2 3 { , , } {1,2,4} b b b = ． （Ⅰ）求数列 { }n a ，{ }n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列 { } n n a b + 的前 n 项和 n S ． 【答案】（Ⅰ） 2 1 n a n = − ； 1 2 n n b − = （Ⅱ） 2 2 1 n n S n = + − 【解析】（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为 a1、d， ∵a2＝3，a4＝7， ∴a1＋d＝3，a1＋3d＝7， 解得：a1＝1，d＝2， ∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1， ∵等比数列{bn}成公比大于 1 的等比数列且{b1，b2，b3}＝{1，2，4}， ∴b1＝1，b2＝2，b3＝4， ∴b1＝1，q＝2， ∴bn＝2 n－1 ； （Ⅱ）由（I）可知 Sn＝（a1＋a2＋…＋an）＋（b1＋b2＋…＋bn） (1 2 1) 1 2 2 1 2 n n n + − − + − ＝n 2＋2 n－1． 题模二：倒序相加法 例 1.2.1 已知 ( ) ln 100 x f x x x = + − ，则 f f f f (1 2 3 99 ) + + ++ ( ) ( ) ( ) 的值为（） A．5000 B． 4950 C．99 D． 99 2 【答案】B 【解析】∵f（x）=x+ln 100 x − x ， ∴f（x）+f（100−x）=x+ln 100 x − x +100−x+ln 100 x x − =100， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99） =50[f（1）+f（99）]−f（50）
4950, 例1.2.2求sin210+sin2°+sin23° +sin289° 【答案】S=89 解 析 S=sin2l S=sin289°+sin288°+sin287°+………+sin21° S=89,S= 例1.23设f(x)= 利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法,可求得 f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 【答案】32 解析1()=2+-=2+万=2+52 (2+V2) ()+(-)=2++2+=2++2+2 设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6), 则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5), .22S=(6)+f(-5)+[f(5)+f(-4)+…+[(-5)+f(6)=62, S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=3y2 °随堂练习 随练11数列(}的前”项和为S=+n+1,b=(-ya(n∈N).则数列}的前50项 和为() D.100 【答案】A 【解析】当n=1时,4=S=3 当n≥2时,an=Sn-Sn1=2n(m≥2). a 2 +…+b=(-3+4)+(-6+8)+ 4
4 =50×100−50 =4950． 例 1.2.2 求 ． 【答案】 【解析】 ， ， ， ． 例 1.2.3 设 1 ( ) 2 2 x f x = + ，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f ( 5) ( 4) − + − + f + + + + f f f (0) (5) (6) 的值为__________． 【答案】 3 2 【解析】∵ 1 ( ) 2 2 x f x = + ，∴ 1 1 2 (1 ) 2 2 2 2 2 x x x f x − − = = + + ， ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x f x f x − + + − = + = + = = + + + + + 设 S = − + − f f ( 5) ( 4) + + + + + f (0) (5) f f (6) ， 则 S f = + + (6) (5 f ) + + + − + f f (0) f ( 4) (−5) ， ∴2 2 [ (6) ( 5)] [ (5) ( S f f = + − + + − f f 4)] + +[ ( 5) (6 f − + = f )] 6 2 ， ∴ S f f = ( 5) ( 4) − + − + + f f f (0) (5) (6) 3 2 + + + = ． 随练 1.1 数列 an 的前 n 项和为 2 1 n S n n = + + ， ( 1) ( *) n n n b a n = − N ．则数列 bn 的前 50 项 和为（）． A．49 B．50 C．99 D．100 【答案】A 【解析】当 n =1 时， 1 1 a S = = 3 ． 当 n≥2 时， 1 2 ( 2) n n n a S S n n = − = − ≥ ． ∴ 3, 1 2 , 2 n n a n n = = ≥ ． ∴ 1 2 50 b b b + + + = − + + − + + + − + ( 3 4) ( 6 8) ( 98 100) 2 2 2 2 sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 + + + + 89 2 S = 2 2 2 2 S = + + + + sin 1 sin 2 sin 3 sin 89 2 2 2 2 S = + + + + sin 89 sin 88 sin 87 sin 1 = 2 89 S 89 2 S = ·随堂练习· ·
1+2+2+…+2=49 随练L.2已知{an}是等比数列,满足a2=6,a3=-18,数列{bn}满足b=2,且{2bn+an}是 公差为2的等差数列 (I)求数列{an}和{bn}的通项公式 (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和 【答案】(I)b= cn-a=n+(-3/ () n(n+1).1-(-3)” 4 【解析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q, a3=a1q=-18 解得 3 所以,an=-2×(-3)n1 令 2+(n-1)×2=2 b,==n =n+(-3)- (1)∵bn=n+(-3)n1 数列仇b的前n项和 Sn=(1+2+3+…+n)+[(-3)0+[(-3)+(-3)2+(-3)3+…+(-3)m1 n(n+1).1-(-3) 1-(-3) n(n+1),1-(-3) 随练1.3已知函数f(x)=,则f①)+f(2)+f(3)+f(÷)+f()= 【答案】5 【解析】∵函数∫(x) ∵(-)=一 ∵f(x)+f(-)=1 ∵(1)+f(2)+f(3)+f()+f()=f(1)+1+1=, 5
5 24 = + + + + = 1 2 2 2 49 个 ． 随练 1.2 已知 { }n a 是等比数列，满足 2 a = 6 ， 3 a = −18 ，数列 { }n b 满足 1 b = 2 ，且 {2 } n n b a + 是 公差为 2 的等差数列． （Ⅰ）求数列 { }n a 和 { }n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列 { }n b 的前 n 项和． 【答案】（Ⅰ） 1 ( 3) 2 n n n n c a b n − − = = + − （Ⅱ） ( 1) 1 ( 3) 2 4 n n n n S + − − = + 【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q， 则 2 1 2 3 1 6 18 a a q a a q = = = = − 解得 a1＝﹣2，q＝﹣3 所以，an＝－2×（－3）n－1 令 cn＝2bn＋an，则 c1＝2b1＋a1＝2， cn＝2＋（n﹣1）×2＝2n 1 ( 3) 2 n n n n c a b n − − = = + − （Ⅱ）∵bn＝n＋（－3）n－1， ∴数列{bn}的前 n 项和： Sn＝（1＋2＋3＋…＋n）＋[（﹣3）0＋[（﹣3）＋（﹣3）2＋（﹣3）3＋…＋（﹣3）n﹣1 ] ( 1) 1 ( 3) 2 1 ( 3) n n n + − − = + − − ， ∴ ( 1) 1 ( 3) 2 4 n n n n S + − − = + ． 随练 1.3 已知函数 2 2 ( ) 1 x f x x = + ，则 1 1 1 2 3 ( ) 2 3 （f f f f f ）+ + + + = （ ） （ ） （ ） ____ ． 【答案】 5 2 【解析】∵函数 2 2 ( ) 1 x f x x = + ，∴f（ 1 x ）= 2 2 1 1 1 x x + = 2 1 x +1 ，∴f（x）+f（ 1 x ）=1． ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（ 1 2 ）+ 1 ( ) 3 f =f（1）+1+1= 5 2