基本不等式 【复习指导】 1.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练 2.训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养. 基础梳理 1.基本不等式: (1).基本不等式成立的条件:a>0,b>0 (2).等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号 2.几个重要的不等式 (1).a2+b2≥2ab(a,b∈R) (3.ab≤a+b )(a,b∈R) (.q+b2、a+b (a,b∈R) 3.算术平均数与几何平均数 设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为2,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为两个正数 的算术平均数大于或等于它的几何平均数 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 (1).如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2VP.(简记:积定和最小) (2.如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是元2.(简记:和定积最大) 助学機博 一个技巧 运用公式解题时,既要掌摄公式的正用,也要注意公式的逆用,例如a2+b2≥2ab逆用就是 第1页共18页
第1页 共18页 基本不等式 【复习指导】 1．突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练． 2．训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养． 基础梳理 1．基本不等式： ab≤ a＋b 2 ． ⑴．基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0． ⑵．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 ⑴．a 2＋b 2≥2ab(a，b∈R)； ⑵． b a ＋ a b ≥2(ab＞0)； ⑶．ab≤( a＋b 2 ) 2 (a，b∈R)； ⑷． a 2＋b 2 2 ≥( a＋b 2 ) 2 (a，b∈R)． 3．算术平均数与几何平均数 设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为a＋b 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数 的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x＞0，y＞0，则 ⑴．如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时，x＋y 有最小值是 2 p．(简记：积定和最小) ⑵．如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时，xy 有最大值是1 2 p 2．(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a 2＋b 2≥2ab 逆用就是
a2+b2 atb 2=、aa>,b>0逆用就是mb≤(2Pa>0,b>0等.还要注意“添、拆项 技巧和公式等号成立的条件等 两个变形 a2+b2 a+b (2.-2≥(2)2ab(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号) .、√=≥12>0,b>0,当且仅当a=b时取等号 这两个不等式链用处很大,注意掌握它们 三个注意 1).使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要 利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可 (2).在运用基本不等式时,要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”、 “定”、“等”的条件 (3).连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 双基自测 1.函数y=x 0)的值域为 【解】因x>0,故y=x+x≥2,当且仅当x=1时取等号 2.下列不等式:①d+1>2a:②.、aba+b)≤2③,+x2+1>1,其中正确的个数是 【解】①②不正确,③正确,x2+ 3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为 【解】因a>0,b>0,a+2b=2,故a+2b=2≥2V2ab,即ab≤2 4.[1.厘庆若函数fx)=x+x-2x>2)在x=a处取最小值,则a等于 【解】当x>2时,x-2>0,x)=x-2+x-2+2≥2+2=4,当且仅当x-2+x-2(x>2),即x 3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3 r2-4t+1 5.已知1>0,则函数y= 的最小值为 r2-41+1 【解】因t>0,故 +7-4≥2-4=-2,当且仅当=1时取等号 考点一利用基本不等式求最值 第2页共18页
第2页 共18页 ab≤ a 2＋b 2 2 ； a＋b 2 ≥ ab(a＞0，b＞0)逆用就是 ab≤( a＋b 2 ) 2 (a＞0，b＞0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 ⑴． a 2＋b 2 2 ≥( a＋b 2 ) 2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)； ⑵． a 2＋b 2 2 ≥ a＋b 2 ≥ ab≥ 2 1 a ＋ 1 b (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)． 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 ⑴．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要 利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． ⑵．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”、 “定”、“等”的条件． ⑶．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 双基自测 1．函数 y＝ x＋ 1 x (x＞0)的值域为______________． 【解】因 x＞0，故 y＝ x＋ 1 x ≥2，当且仅当 x＝ 1 时取等号． 2．下列不等式：①．a 2＋1＞2a；②． 1 ab(a＋b)≤2；③．x 2＋ 1 x 2＋1 ≥1，其中正确的个数是__________． 【解】①②不正确，③正确，x 2＋ 1 x 2＋1 ＝ x 2＋1＋ 1 x 2＋1 － 1≥1． 3．若 a＞0，b＞0，且 a＋2b－ 2＝ 0，则 ab 的最大值为__________． 【解】因 a＞0，b＞0，a＋2b＝ 2，故 a＋2b＝ 2≥ 2 2ab，即 ab≤ 1 2 ． 4．[11 重庆]若函数 f(x)＝x＋ 1 x－2 (x＞2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于__________． 【解】当 x＞2 时，x－ 2＞0，f(x)＝x－ 2＋ 1 x－2 ＋2≥2＋2＝ 4，当且仅当 x－ 2＋ 1 x－2 (x＞2)，即 x ＝ 3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝ 3，即 a＝ 3． 5．已知 t＞0，则函数 y＝ t 2－4t＋1 t 的最小值为________． 【解】因 t＞0，故 y＝ t 2－4t＋1 t ＝ t＋ 1 t － 4≥ 2－ 4＝ － 2，当且仅当 t＝ 1 时取等号． 考点一 利用基本不等式求最值
、和定积最大 【例1】已知0<x<,则y=2x-5x2的最大值为 解】y=2x-5x2=-x(2-5)5x(2-5x),因0<x<5,故5x<2,2-5x>0,则5x2 -5x)≤[(5x+2-5x)2=1,故y≤,当且仅当5x=2-5x,即x=时, 【练习1】(1.已知x≥0,y≥0,且2x+3y=10,求y=√3xy最大值 2).已知x≥0,y≥0,且x2+5=1,求x1+y的最大值 (3).已知x>1,y>1,gx+1gy=4,求u= laxly的最大值 【解一】).由2x+3y=10得,3y=10-2x,故y=3x=√x(10-2x)≤)2,当且仅当x 5y2 , ymax 【解三】因x≥0,)>≥0,故y=322x+0s,当且仅当x=2,=时,ym=2 2【解1x20y0,故小+1++又x++(++=故中 s2×号-32,即+m (3).因x>1,y>1,故1gx>0,lgy>0,故=1glgv≤lgx+lgy)2=4,当且仅当x=100,y 100时,u= lgxlgy的最大值为4 注:lgx+lgy=4即xy=10000 【例2】已知x>0,y>0,且x+2y=4,求z=1gx+lgy最大值. 变:已知x>0,y>0,且x+2y=4,求z=logx+logy最小值 【解】因x>0,y>0,故=1gx+lgy=1gl2(2y≤lgx+2y)=lg2,当且仅当x=2,y= 时,ymx=lg2 变:因x>0,y>0,故=10g+bg=bpg(2)≥lgx+2)=-1,当且仅当x=2,y 1时 ymin 【练习2】如果34+9=18,那么a+2b的最大值为 【解】由3+9=18得,18=32+9≥2(3+2),则3a+2b≤81,故a+2b≤4,当且仅当a=2b, 即a=2,b=1时取等号 【例3】过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当△OB的面积 最小时,求直线l的方程 解】设点Aa,0,B0,ba>0,b>0,则直线l的方程为+1=1.由题意,点(1,2)在直线 上故+3=1.由基本不等式得,1=+2、Na故≥8,于是Sm=如≥小,当且仅 第3页共18页
第3页 共18页 一、和定积最大 【例 1】已知 0＜x＜ 2 5 ，则 y＝ 2x－ 5x 2 的最大值为______________． 【解】y＝ 2x－ 5x 2＝ － x(2－ 5x)＝ 1 5 •5x(2－ 5x)，因 0＜x＜ 2 5 ，故 5x＜2，2－ 5x＞0，则 5x(2 － 5x)≤ [ 1 2 (5x＋2－ 5x)] 2＝ 1，故 y≤ 1 5 ，当且仅当 5x＝ 2－ 5x，即 x＝ 1 5 时，ymax＝ 1 5 ． 【练习 1】⑴．已知 x≥0，y≥0，且 2x＋3y＝ 10，求 y＝ 3xy最大值． ⑵．已知 x≥0，y≥0，且 x 2＋ y 2 2 ＝1，求 x 1＋y 2的最大值． ⑶．已知 x＞1，y＞1，lgx＋lgy＝ 4，求 u＝ lgxlgy 的最大值； 【解一】⑴．由 2x＋3y＝ 10 得，3y＝ 10－ 2x，故 y＝ 3xy＝ x x (10 2 ) − ≤ 5 2 2 ，当且仅当 x ＝ 5 2 ，y＝ 5 3 时，ymax＝ 5 2 2 ． 【解二】因 x≥0，y≥0，故 y＝ 3xy≤ 2 2 [ 1 2 (2x＋3y)]＝ 5 2 2 ，当且仅当 x＝ 5 2 ，y＝ 5 3 时，ymax＝ 5 2 2 ． ⑵．【解一】因 x≥0，y≥0，故 x 1＋y 2≤ 2 2 [x 2＋( 1 2 ＋ y 2 2 )]，又 x 2＋( 1 2 ＋ y 2 2 )＝(x 2＋ y 2 2 )＋ 1 2 ＝ 3 2 ，故 x 1＋y 2 ≤ 2( 1 2 × 3 2 )＝ 3 2 4 ，即(x 1＋y 2 )max＝ 3 2 4 ． ⑶．因 x＞1，y＞1，故 lgx＞0，lgy＞0，故 u＝ lgxlgy≤ 1 4 (lgx＋lgy) 2＝ 4，当且仅当 x＝ 100，y＝ 100 时，u＝ lgxlgy 的最大值为 4． 注：lgx＋lgy＝ 4 即 xy＝ 10000！ 【例 2】已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝ 4，求 z＝ lgx＋lgy 最大值． 变：已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝ 4，求 z＝ log1 2 x＋log1 2 y 最小值； 【解】因 x＞0，y＞0，故 z＝ lgx＋lgy＝ lg[ 1 2 x(2y)]≤ lg[1 8 (x＋2y) 2 ]＝ lg2，当且仅当 x＝ 2，y＝ 1 时，ymax＝ lg2． 变：因 x＞0，y＞0，故 z＝ log1 2 x＋log1 2 y＝ log1 2 [ 1 2 x(2y)]≥ log1 2 [ 1 8 (x＋2y) 2 ]＝ － 1，当且仅当 x＝ 2，y ＝ 1 时，ymin＝ － 1． 【练习 2】如果 3 a＋9 b＝ 18，那么 a＋2b 的最大值为 ． 【解】由 3 a＋9 b＝ 18 得，18＝ 3 a＋9 b≥2(3 1 2 (a＋2b) )，则 3 (a＋2b≤81，故 a＋2b≤4，当且仅当 a＝ 2b， 即 a＝ 2，b＝ 1 时取等号． 【例 3】过点(1，2)的直线 l 与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当 ΔAOB 的面积 最小时，求直线 l 的方程． 【解】设点 A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线 l 的方程为x a ＋ y b ＝ 1．由题意，点(1，2)在直线 l 上，故1 a ＋ 2 b ＝ 1．由基本不等式得，1＝ 1 a ＋ 2 b ≥2 2 ab，故 ab≥8，于是 SΔAOB＝ 1 2 ab≥4，当且仅
即a=2,b=4时,取“=”,因此,当△OB的面积最小时,求直线的方程为+4= 1,即2x+y-4=0 【练习3】已知x≥0,y≥0,且3x+2y=10,求u=√3x+2最大值 解一】n2=(√3x+√2y)2=3x+2y+232y=10+2x②2y,因x≥0,y≥0,故2=10+23x ≤50+x+2)=20,.当且仅当x=3y=3 √5 【解二】因x≥0,y≥0,故n2=(3x+√2y)2≤2(3x+2y)=20,当且仅当x 注:本题用到的结论:2(a-2+b2)≥(a+b)2 方法总结》利用指对数的运算性质可以分别将积与和变为和与积 积定和最小 【例4】求y=x++1(x>-1)最小值 变:①.x<-1,求最大值: ②.若x>2-1,求y=log2(x+x+1+3)最小值 ③.求y=x2+ 4r2+最小值 解】因x>-1,故y=x+x+1=x+1+x+1-1≥2-1=1,当且仅当x=0时,等号成立, )的最小值为 变:①.因 1,故y=x+ 3,当且仅当 2时 等号成立,故y=r1(x-1)的最小值为-3 +3=x+1+-1+2≥4,故 当且仅当x=0时,等号成立,故y=10g2(x+x+1+5的最小值为2 =x2+元 当且仅当x=±时,等号成立,故y= 的最小值为 方法总结》利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最 小”,常用的方法为:拆、凑、代换、平方 【例5】当x>0时,则几x)=x2+1的最大值为 [审题视点]把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式 【解】因x>0,故x)=x2+1==151,当且仅当x=x,即x=1时取等号 第顿页共18页
第4页 共18页 当 1 a ＝ 2 b ，即 a＝ 2，b＝ 4 时，取“=”．因此，当 ΔAOB 的面积最小时，求直线 l 的方程为x 2 ＋ y 4 ＝ 1，即 2x＋y－ 4＝ 0． 【练习 3】已知 x≥0，y≥0，且 3x＋2y＝ 10，求 u＝ 3x＋ 2y最大值． 【解一】u 2＝ ( 3x＋ 2y) 2＝ 3x＋2y＋2 3x 2y＝ 10＋2 3x 2y，因 x≥0，y≥0，故 u 2＝ 10＋2 3x 2y≤10＋(3x＋2y)＝ 20，当且仅当 x＝ 5 3 ，y＝ 5 2 时，ymax＝ 2 5． 【解二】因 x≥0，y≥0，故 u 2＝ ( 3x＋ 2y) 2≤ 2(3x＋2y)＝ 20，当且仅当 x＝ 5 3 ，y＝ 5 2 时，ymax ＝ 2 5． 注：本题用到的结论：2(a 2＋b 2 )≥(a＋b) 2． 利用指对数的运算性质可以分别将积与和变为和与积． 二、积定和最小 【例 4】求 y＝ x＋ 1 x＋1 (x＞－ 1)最小值； 变：①．x＜－ 1，求最大值； ②．若 x＞－ 1，求 y＝ log2 (x＋ 1 x＋1 ＋3)最小值； ③．求 y＝ x 2＋ 2 1 4 1 x + 最小值； 【解】因 x＞－ 1，故 y＝ x＋ 1 x＋1 ＝ x＋1＋ 1 x＋1 － 1≥ 2－ 1＝ 1，当且仅当 x＝ 0 时，等号成立， 故 y＝ x＋ 1 x＋1 (x＞－ 1)的最小值为 1． 变：①．因 x＜－ 1，故 y＝ x＋ 1 x＋1 ＝ x＋1＋ 1 x＋1 － 1≤ － 2－ 1＝ － 3，当且仅当 x＝ － 2 时， 等号成立，故 y＝ x＋ 1 x＋1 (x＜－ 1)的最小值为－ 3． ②．因 x＞－ 1，故 u＝ x＋ 1 x＋1 ＋3＝ x＋1＋ 1 x＋1 ＋2≥4，故 y＝ log2 (x＋ 1 x＋1 ＋3)≥ log2 4＝ 2， 当且仅当 x＝ 0 时，等号成立，故 y＝ log2 (x＋ 1 x＋1 ＋3)的最小值为 2． ③．y＝ x 2＋ 2 1 4 1 x + ＝ x 2＋ 1 4 ＋ 2 1 4 1 x + － 1 4 ≥1－ 1 4 ＝ 3 4 ，当且仅当 x＝ ± 1 2 时，等号成立，故 y＝ x 2＋ 2 1 4 1 x + 的最小值为 3 4 ． 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最 小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方． 【例 5】当 x＞0 时，则 f(x)＝ 2x x 2＋1 的最大值为_____________． [审题视点]把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式． 【解】因 x＞0，故 f(x)＝ 2x x 2＋1 ＝ 2 x＋ 1 x ≤1，当且仅当 x＝ 1 x ，即 x＝ 1 时取等号．
【练习5】已知yx-2x>2),求最小值 变:x<2,求最大值 【解】设x-2=1(1>0),则x=t+2,故y=( 7(+2)=+7+4≥4+4=8,当且仅当 =2时,x=4时等号成立,故y=(-2)x2(x>2)的最小值为8 变:设x-2=1(<0),则x=t+2,故y=(x=)x2 2)2=1++4≤-4+4=0,当且仅 当1=-2时,x=0时等号成立,故y=(x2(x<2)的最大值为0 【例6】设x>0,y>0,且x+y=1,则 的最小值是 x+2y+1 【解】设x+2=s∈(2,3),y+1=t∈(1,2),则s+t=4,故 x+2 (s+-4)+(+1-2)=(+)-2.因(+)-2=(+)-2=1(415-22 故 y 【练习6】(1).设a>0,b>0,且ab=1,不等式-2,+ a2+1b2+1 ≤λ恒成立,则λ的取值范围是 解1a+1+b+1=(+b+=a+2+b2=a+b5b=1 【解二】-a +1b2 a+ba+ba+b√ab b b 2 ≤1,故λ≥1. a2+1b2+1a2+1 -+ (2.镇江市18高三期末统考设a,b∈R,且a+b=4,不等式1 a+1b2+的最大值为 18-2ab 【解】 a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)a2b-2ab+1>,由b≤a+b),故ab≤4,即求函数 18-t t2-2+17∈(-∞,4的最大值即可 【例7】已知x>0,y>0,x+2y=1,求,1的最小值 变():已知x>0,y>0 1,求u=x+y的最小值 第5页共18页
第5页 共18页 【练习 5】已知 y＝ ( 1 x－2 )x 2 (x＞2)，求最小值； 变：x＜2，求最大值． 【解】设 x－ 2＝ t(t＞0)，则 x＝ t＋2，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2＝ 1 t (t＋2) 2＝ t＋ 4 t ＋4≥ 4＋4＝ 8，当且仅当 t＝ 2 时，x＝ 4 时等号成立，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2 (x＞2)的最小值为 8． 变：设 x－ 2＝ t(t＜0)，则 x＝ t＋2，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2＝ 1 t (t＋2) 2＝ t＋ 4 t ＋4≤ － 4＋4＝ 0，当且仅 当 t＝ － 2 时，x＝ 0 时等号成立，故 y＝ ( 1 x－2 )x 2 (x＜2)的最大值为 0． 【例 6】设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝ 1，则 2 2 2 1 x y x y + + + 的最小值是 ． 【解】设 x＋2＝ s∈ (2，3)，y＋1＝ t∈ (1，2)，则 s＋t＝ 4，故 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 2 1 x y s t x y s t − − + = + = + + 4 1 4 1 ( 4) ( 2) ( ) 2 s t s t s t + − + + − = + − ．因 4 1 4 1 1 4 9 ( ) 2 ( )( ) 2 ( 5) 2 4 4 4 s t s t s t s t t s + + − = + − = + + − 1 2 4 − = ，故 2 2 1 2 1 4 x y x y + + + ． 【练习 6】⑴．设 a＞0，b＞0，且 ab＝1，不等式 2 2 1 1 a b a b + + + 恒成立，则 λ 的取值范围是 ． 【解一】 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 2 a b ab a a b b a b a b a b a b a b ab + + + + + = = = = + + + + + + + ； 【解二】 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b ab a b a b + = + = + = = + + + + + + + ； 【解三】 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 a b a a a a b a a a + = + = + + + + + ，故 1． ⑵．[镇江市 18 高三期末统考]设 a，b∈R，且 a＋b＝4，不等式 2 2 1 1 a b 1 1 + + + 的最大值为 ． 【解】 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 18 2 1 1 ( 1)( 1) 2 17 a b ab a b a b a b ab + + − + = = + + + + − + ，由 ab≤ 1 4 (a＋b) 2，故 ab≤4，即求函数 f(t)＝ 2 18 2 17 t t t − − + ，t∈(－∞，4]的最大值即可． 【例 7】已知 x＞0，y＞0，x＋2y＝ 1，求 u＝ 1 x ＋ 1 y 的最小值． 变⑴：已知 x＞0，y＞0， 1 x ＋ 2 y ＝ 1，求 u＝ x＋y 的最小值．