高中数学含参讨论，分离参数，取点问题与极值点偏移30例

例8.已知函数f(x)=x--+a1nx,a∈R,fx)有两个极值点x,x,其中 x=(2录)=)的最小懂 分析与解答:极值范围问题 利用韦达定理寻找极值点的内在联系,消元构建函数,求导研究最值 x+ ax +1 f(x)=1+ -,x>0,由韦达定理知 xx2 f(x)-f(x)=anx+(x1-x)+x-2消参数a,x构建函数 g(x) x+-|nx,0<x≤求导研究最值 例9.(2015年安徽理数)设函数f(x)=x-ax+b ()讨论函数f(sinx)在 内的单调性,并判断有无极值,有极值时求出极值 2)记(x)=x2-ax+b,求函数((sin)-(inx)在-x,上的最大 值D; (3)在()中,取a。=b=0,求z=b-4满足条件D51时的最大值 分析与解答: (1)复合函数的单调性问题 (2) A(sinr)-f(sinx)=siti x-a sin+b-siri x+a,sinx a-a)smx+b-bls-a+-b绝对值不等式

6 例 8. 已知函数   a x x f x  x   ln 1 ，a  R ,fx  有两个极值点 1 2 x ,x ，其中        2 1 0 1 x , ，求     1 2 f x  f x 的最小值. 分析与解答：极值范围问题 利用韦达定理寻找极值点的内在联系，消元构建函数，求导研究最值   0 1 1 1 2 2 2         x x x ax x a x f x , ，由韦达定理知        1 1 2 1 2 x x x x a ，       1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x x x x x x x x f x f x a    ln    消参数 a ， 2 x 构建函数   2 1 0 1 2 1             x x x x x g x x ln , 求导研究最值 例 9. （2015 年安徽理数）设函数 fx   x  ax  b 2 （1）讨论函数 fsinx 在        2 π 2 π , 内的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值； （2）记   0 0 2 0 f x  x  a x  b ，求函数 fsinx  f sinx  0  在     2 π 2 π , 上的最大 值D ； （3）在（2）中，取 0 0 0 a  b  ，求 4 2 a z  b  满足条件D  1时的最大值. 分析与解答： （1）复合函数的单调性问题 （2） fsinx  f sinx  0  0 0 2 2  sin x  a sinx  b  sin x  a sinx  b   0 0 0 0  a  a sinx  b  b  a  a  b  b 绝对值不等式

等号成立的条件。(a-a)b-b)≥20且x=或(a-a)-b)≤0且x=- (3)非线性规划问题已知a+b≤1,求z=b4(汗口向上的抛物线 例10.已知函数f(x)=x1nx+x2-ax+2(a∈R)有两个不同的零点x,x2 (1)求实数a的取值范围;(2)求证:x+x、>2;(3)求证:x,x> 分析与解答:分离参数法,导数法研究大致图像,对称差函数 (1)分离参数,引入函数,求导研究单调性及大致图像 a=hx+x+2,x>0入g()=hnx+x+2,g()1+-2=x+x2(+2 g(x)在(O.),在(+)↑→8(1=3→a>3函数的大致图像(略 (Ⅱ)构造函数k(x)=g(x)-g(2-x)整理得k(x)=hnx-ln(2-x)+2x-2+-、2 x 2 k(x)=2x-1)(x2-2x-4) 2(x-1)2(x2-2x-4) 当1<x<2时,易知k(x) x(2-x) 故k(x)=g(x)-g(2-x)<0即当1<x<2时g(x)<g(2-x) 设x<1<x2,则g(x)=g(x2)<g(2-x2) ∵g(x)在(0,1)为减函数故x>2-x2即x+x2>2 7分 (Ⅲ)构造函数(x)=g(x)-g()整理得(x)=2lnx-xx 2x-1-x2 当x>1时h(x)= 21 0 故当x>1时h(x)=2lnx-x+一为减函数,且h(1)=0,所以h(x)<0 即当x>1时,g(x)<g 设x<1<x2,则g(x)=g(x2)<g( ∵g(x)在(0,D)为减函数故x>二即x·x2>1 12 7

7 等号成立的条件：    2 π 0 0 0 a  a b  b  且x  或    2 π 0 0 0 a  a b  b  且x   （3）非线性规划问题 已知 a  b  1，求 4 2 a z  b  （开口向上的抛物线） 例 10. 已知函数 fx   x lnx  x  ax  2(a  R ) 2 有两个不同的零点 1 2 x ,x . （1）求实数a 的取值范围；（2）求证： 2 1 2 x  x  ；（3）求证： 1 1 2 x .x  分析与解答：分离参数法，导数法研究大致图像，对称差函数 （1）分离参数，引入函数，求导研究单调性及大致图像 , 0 2  ln   x  x a x x 引入   x g x x x 2  ln   ，      2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x g x           gx在0,1,在1,  g1  3 a  3 函数的大致图像（略）

例1.已知a∈R,函数f(x)=lnx-ax+1 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若函数(x)有两个不同的零点x,x(x<x2), ①求实数a的取值范围;②求证:x1+x2>2 分析与求解: (1)略 (2)分离参数法,讨论单调性,寻找零点的充要条件,放缩取点 方法一:单调性讨论 f(x)=1 ,x>0 当50时,f()在(0+2上单调递:当>0时,(在()个在(+∞)4 有两个零点的必要条件为 >0→0<a<1 a∠0 且 导数可证重要函数不等式如x<2x-1,x>0 4 +1<2 1--+1=0,且一> 1 综上所述,0<a<1 (3)对数平均不等式,构造对称差函数 方法一:对数平均不等式 In a-ln b b a+b’q≠b,a>0,b>0 ax,+1=0 →lnx2-nx1=a(x2-x) nx2-ax2+1=0 Inx -In x →x+x2>-> x2-x1 x1+x2 方法二:构造对称差函数

8 例 11. 已知 a  R ，函数 f x  ln x  ax 1 （1）讨论函数 f x 的单调性； （2）若函数 f x 有两个不同的零点   1 2 1 2 x , x x  x ， ①求实数 a 的取值范围； ②求证： 2 x1  x2  分析与求解： （1）略 （2）分离参数法，讨论单调性，寻找零点的充要条件，放缩取点 方法一：单调性讨论   0 1 1       x x ax a x f x , 当 a  0时，f x 在0, 上单调递增；当 a  0 时，f x 在        a 1 0, ，在        , a 1 有两个零点的必要条件为         0 1 a f 0  a  1 0 1          e a e f ，且 e a 1 1  ； 导数可证重要函数不等式 ln x  2 x  1, x  0           1 4 4 4 2 2 2 a a a a f ln . 1 0 4 1 4 2 2     a a ，且 a a 4 1 2  综上所述， 0  a  1 （3）对数平均不等式，构造对称差函数 方法一：对数平均不等式 a b a b a b    ln  ln 2 ， a  b, a  0, b  0          1 0 1 0 2 2 1 1 x ax x ax ln ln   2 1 2 1  ln x  ln x  a x  x 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1           a x x x x a x x lnx ln x 方法二：构造对称差函数